実2次元数ベクトル空間の定義　―　トピック一覧　
・定義：実2次元数ベクトル・第i成分・スカラー / R２/基本ベクトル/零ベクトル
　　　　実2次元数ベクトル空間・ベクトル和・スカラー倍/逆ベクトル　
・定理：数ベクトル空間のベクトル和の性質/数ベクトル空間のスカラー乗法の性質/数ベクトル空間はベクトル空間の一例
　　　　零ベクトルのスカラー倍/ベクトルのスカラー0倍　　　　　　　　　　　　
※実2次元数ベクトル空間関連ページ：線形結合/一次独立･一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/基底/次元/部分ベクトル空間　
※上位概念：一般のベクトル空間/実ベクトル空間/ 一般の体上の数ベクトル空間/実n次元数ベクトル空間Rn　　　
※線形代数目次・総目次

定義：実2次元数ベクトル・2次元実ベクトル・2項実ベクトル、第i成分i-th component 、スカラー
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
[文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.1(pp.1-2);
・志賀『線形代数30講』4講(pp.22-23);5講(pp.29-30);
・志賀『固有値問題30講』1講(pp.1-2)
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.4.1(p.72)
・佐和『回帰分析』2.1.2(p.16);
・グリーン『計量経済分析』2.4.1(p.22);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1-注意2(p.20)。;

[文献]
・藤原『線形代数』1.1(p.4);
・草場『線形代数』2.3(p.39);



※実2次元数ベクトルの一般化1：実n次元数ベクトル/n次元数ベクトル 
※実n次元数ベクトルの一般化2：実行列/体上の行列　
定義1 ・実2次元数ベクトルとは、
　実数を2個並べたもの　
　すなわち、
　実数体Rから2個の実数x,yをとって順序をつけた順序対　
　　v= (x,y)　　ただし、x∈Rかつy∈R　　
　のこと。　
・つまり、実2次元数ベクトルとは、
　　実n次元数ベクトルで、次数nを2としたもの
　である。
定義2 上記のxをベクトルvの第1成分、
上記のyをベクトルvの第2成分
と呼ぶ。
図示
実2次元数ベクトル （ , ）は、
x-y座標平面上に、以下のように図示できる。
実2次元数ベクトルの図示

定義4 実2次元横ベクトル・2項実行ベクトルとは、
( x,y )のように実数を横に並べた2次元実ベクトルのこと。
実2次元縦ベクトル・2項実列ベクトルとは、

 ( x' )
y'
といった具合に、実数を縦に並べた実2次元ベクトルのこと。
横ベクトルと縦ベクトルの違いは、行列との演算において意味をもつ。
※縦ベクトルを、実際に縦に並べて表記する代わりに、行列の転置記号を用いて、
　横ベクトルの転置　　
　　　　t (x,y)　
　と表すことが多く見られる。
　書籍等では、
　　　縦ベクトルを実際に縦に並べて表すと、
　　　スペースを費やし、ページが増えて、印刷コストがかさむ
　といった理由から、
　webでは、テキストだけで、縦ベクトルを縦に並べて表すのは難しい、
　といった理由から、
　縦ベクトルを実際に縦に並べることを避ける傾向にある。
定義5 実数体Rからつくった上記の実ベクトルに対して、
　　「実数体Rの元」そのもの、すなわち実数をスカラーと呼ぶ。
※ 実2次元数ベクトルの上位概念：実n次元数ベクトル　
※ ここで「実2次元数ベクトル」というときの「2次元」のは、単に、「2個並べた」という意味。
　基底を構成するベクトルの個数として定義される「ベクトル空間の次元」とは、とりあえず無関係。
※ 用語が統一されていない。
・「実2次元数ベクトル」の名称を用いるテキスト→永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8);
・「2項実ベクトル」の名称を用いるテキスト→斎藤『線形代数入門』2章§1(p.31);　
・「2次元実ベクトル」の名称を用いるテキスト→藤原『線形代数』1.1(p.4);　
・以上の名称の使用を回避し、実数を成分とした数ベクトルなどとしているテキスト
　→佐武『線形代数学』;志賀『線形代数30講』5講(p.28);13講(p.83);14講(p.88);　　　
・このように様々な名称が案出されるのは、
　　　単に、「実ベクトル」というと、実ベクトル空間一般のベクトルを指す可能性があるため？
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
定義：ベクトルの相等

実2次元数ベクトルu,vについてu＝v（実2次元数ベクトルu, v が等しい）
とは、
実2次元数ベクトルu,vの各成分の値が等しいことをいう。　
すなわち、
u ＝(xu, yu) , v ＝(xv, yv)について、u＝vとは、
xu=yuかつxv=yv であることをいう。		 [文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.1(p.2)

[文献]
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(pp.18-9)。
定義：R2
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　

[文献―R2限定]
・志賀『線形代数30講』4講(pp.22-23);
・グリーン『計量経済分析』2.4.1(p.22);


[文献]
『岩波数学辞典』210線形空間:A定義 例2 (p.570);
ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29);


※R2の一般化：Rn　

定義 ・R2は、実2次元数ベクトルをすべて集めた集合を指す。
・実2次元数ベクトルの定義に遡れば、
　　　R2は、実数の順序対をすべて集めた集合とも言いかえられる。
・これを直積の概念を使って、言い表せば、　　
　　　R2とは、RとRの直積：R×R　のことである。
　すなわち、
　　  R2＝R×R＝{ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　
・実2次元数ベクトルを図式化するとき、
　実2次元数ベクトルは、x-y座標平面上にプロットされるが、
　このx-y座標平面の全体が表しているのが、R2に他ならない。　
　　
※ R2にベクトル和とスカラー乗法という演算を定義したものが、
実2次元数ベクトル空間。

　
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
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定義：2次元零ベクトル

設定

 R：実数体(実数をすべて集めた集合）
[文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.2(p.6)
・志賀『線形代数30講』5講(p.29);
・志賀『固有値問題30講』1講(pp.1-2)
[文献]
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.19) 。;
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.1.2(p.49)

※実2次元零ベクトルの一般化：実n次元零ベクトル

定義

 実数体Rにおける加法の単位元「０」を2個並べた　
　　　　　　０= ( ０, ０ )　　　
　を、2次元の零ベクトルと呼ぶ。

確認

実数体Rにおける加法の単位元０は、当然０∈R 。　　
したがって、０=( ０, ０ )　は、
実2次元数ベクトルの定義を満たし、

０∈R2　
図解 2次元零ベクトル０= ( ０, ０ )は、
x-y座標平面上に、以下のように図示できる。
　　基本ベクトル
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
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定義：基本ベクトル
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　　
R2：実2次元数ベクトルをすべて集めた集合。
　　すなわち、R2＝R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　　
[文献―R2限定]
・志賀『固有値問題30講』1講(pp.1-2)


※実2次元基本ベクトルの一般化：実n次元基本ベクトル
本題

R2における基本ベクトルとは、
次の2個の「実2次元数ベクトル」e1, e2のことをいう。　

　e1＝(1,0)　　
　　　　　基本ベクトル

　e2＝(0,1)　
　　　　　基本ベクトル

性質 基本ベクトルの一次結合、基本ベクトルは一次独立、基本ベクトルは基底をなす　
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
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定義：実2次元数ベクトル空間・ベクトルの加法・スカラー乗法

設定
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトルをすべて集めた集合。
　　すなわち、R2＝R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　　　
 [文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.2(pp.3-5)
・志賀『線形代数30講』5講(pp.28-9);5講(p.30);6講(p.37);
・志賀『固有値問題30講』1講(pp.1-2)
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.4.1(p.72)
・グリーン『計量経済分析』2.4.1(p.22);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1-注意2(p.20)。;

[文献]
草場『線形代数』2.3(p.39)
ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29);
二階堂『経済のための線型代数』I§1(pp.18-9)

※実2次元数ベクトル空間の一般化：
　　　　　実n次元数ベクトル空間/数ベクトル空間/実ベクトル空間/ベクトル空間　
本題 実2次元数ベクトル空間とは、
集合R2に、次の２つの演算を定義したもののこと。　　
（演算１：ベクトルの加法）　　
任意のu＝(xu, yu)∈R2　と、任意のv ＝(xv, yv)∈R2に対して、
そのベクトル和u＋vを、次のように定義する。　　
　u＋v＝(xu, yu)＋(xv, yv)=( xu＋xv, yu＋yv )　
　　※最右辺の＋は、実数体Rに定められている加法を指す。
（演算２：スカラー乗法）　　　
Rの任意の元aと、R2の任意の元v＝(x,y)に対して、
そのスカラー倍avを、次のように定義する。
　av=a(x,y)=( ax,ay )　
　　※最右辺のax,ayは、実数体Rに定められている乗法を指す。
図解 [スカラー倍の図解]
実2次元数ベクトル（ , ）の
は、
x-y座標平面上に、以下のように図示できる。
実2次元数ベクトルのスカラー倍の図示



x-y平 面上において、
《v＝(x,y)のス カラーa倍》av=( ax,ay )は、
　原点(0,0)と(x,y)と を結ぶ直線上にあって、
　(0,0)から、《(0,0)と(x,y)と の間の距離》のa倍の距離に位置する点として示される。
なお、このとき、
aが正ならば、av=(ax,ay)は、v＝(x,y)と 同じ側にあるが、
aが負ならば、av=(ax,ay)は、原点をはさんで、v＝(x,y)と 反対側に位置する。
図解
[ベ クトル和の図解]
x-y座標平面上に、
u＝（ , ）と v＝（ , ）との
実2次元数ベクトルの和の図示

x-y座標平 面上において、
ベクトル和u＋v＝(xu, yu)＋(xv, yv)=( xu＋xv, yu＋yv )
は、どのように、表されるか？
　step1: 原点(0,0)とu＝(xu, yu)　とを線分で結ぶ。　
　step2: 原点(0,0)とv＝(xv, yv)　とを線分で結ぶ。　　
　step3: 上記二つの線分を二辺とする平行四辺形、
　　　　　つまり、原点,u,vを頂点とする平行四辺形を描く。
　　　　　具体的には、
　　　　　　・線分「原点(0,0)―u」と平行に、vを起点とする線分を描く。
　　　　　　・線分「原点(0,0)―v」と平行に、uを起点とする線分を描く。
　step4: 上記の平行四辺形において、原点と向き合う頂点が、
　　　　　　ベクトル和u＋v＝(xu, yu)＋(xv, yv)=( xu＋xv, yu＋yv )
　　　　　である。
ただし、
　・原点(0,0)、u＝(xu,yu)　、v＝(xv,yv)　が
　　同一直線上かつ同一象限にある場合は、
　　その直線上で、原点-u間の距離と、原点-v間の距離を足した位置
　・原点(0,0)、u＝(xu,yu)　、v＝(xv,yv)　が
　　同一直線上にはあるが、異なる象限に位置している場合は、
　　u,vのうち原点から遠いほうから、
　　u,vのうち原点から近いいほうの原点との距離だけ、
　　原点との直線上を、原点へ戻った位置
が、ベクトル和u＋vとなる。
※ ここで「実2次元数ベクトル空間」というときの「2次元」は、単に、数を「2個並べた」という意味。
基底を構成するベクトルの個数として定義される「ベクトル空間の次元」とは、とりあえず無関係。
数を「2個並べた」ベクトルの集合に上記の演算を定義しただけの「2次元数ベクトル空間」が、
ベクトル空間になるかどうか、そのベクトル空間としての次元が2次元であるかどうかは、
別に説明を要す。
→実2次元数ベクトル空間がベクトル空間になることの証明　　
→実2次元数ベクトル空間のベクトル空間としての次元が2次元であることの証明　
※ このように定義すると、
　「任意のu,v∈R2に対して、u＋v∈R2」「任意のa∈R, v∈R2に対して、av∈R2」となる。
なぜなら、　　　　　
(step1)　　
実数体Rの定義より、
　　実数体Rは、加法, 乗法という二項演算が定められた代数系である。
　したがって、二項演算の定義から、　　　
　　p,q∈Rを満たす限りで任意の(p,q)にたいして、p+q∈R, pq∈Rが定められていることになる。　
(step2)
R2は、{ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }と定義されたから、　
　　任意のu＝(xu,yu)∈R2と、任意のv＝(xv,yv)∈R2に対して、　
xu,yu,xv,yv∈Rである。　　
(step3)
任意のu＝(xu,yu)∈R2と、任意のv＝( xv,yv )∈R2に対して、
　step1, step2より、 xu＋xv∈R, yu＋yv ∈R　となるから、　
u＋v=(xu＋xv, yu＋yv)は、
　　　R2＝{ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }
に属す。
(step4)
任意のa∈Rと、任意のv＝( xv,yv )∈R2に対して、
　step1, step2より、 axv∈R, ayv∈R　となるから、　
 av=( axv, ayv  )は、
　　　R2＝{ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }
に属す。
※ 実2次元数ベクトル空間の上位概念：実n次元数ベクトル空間/数ベクトル空間/実ベクトル空間/ベクトル空間　
※ ・実2次元数ベクトル空間はベクトル空間の一例→詳細
・実ベクトル空間が実n次元数ベクトル空間と同型となるための条件：有限次元実ベクトル空間であること
※ 実n次元数ベクトル空間の下位概念：内積空間・ノルム空間・ユークリッド空間
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
定義：逆ベクトル
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　　　　R2=R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
[文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.2(p.6)
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.4.1(p.72)


※実n次元数ベクトルの逆ベクトル
定義 ・v＝( x,y )∈R2の逆ベクトル－vとは、
　v＝( x,y )∈R2を、「－１」によってスカラー倍したもの。
　すなわち、　
　　－v=(-1)v＝(-1)(x,y )＝( (-1)x,(-1)y )＝( -x,-y )　　

[逆ベクトルの図解]
実2次元数ベクトル( , ）の 逆ベクトル
は、
x-y平面上に、以下のように図示できる。
実2次元数ベクトルのスカラー倍の図示



性質 「任意のa∈R, v∈R2に対して、av∈R2」だから（∵）、　　
　－v=(-1)v＝∈R2　

→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次		 　
定理：実2次元数ベクトル空間におけるベクトルの加法の性質
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　　　　R2=R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　　　　

[文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.2(p.6)
・志賀『線形代数30講』5講(p.29);

[文献]
二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.19)


※一般化：
　　・実n次元数ベクトル空間のケース　　
　　・一般の体上の数ベクトル空間のケース
　　・一般の実ベクトル空間のケース　
 　　　　　（実ベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
　　・一般のベクトル空間のケース
 　　　　　（一般のベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
1. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているベクトルの加法＋は、
　　「結合則：( ∀u,v,w∈Rn) ( ( u+v )+w ＝ u+( v+w ) )」を満たす。
2. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているベクトルの加法＋と、
　　R2における2次元零ベクトル０＝(0,0)は、
　　　　任意のv∈R2にたいして、 v+０＝ v を満たす。
3. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているベクトルの加法＋は、
　　　　任意のv∈R2 にたいして、 v+(－v)＝０ を満たす。　
4. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているベクトルの加法＋は、
　　「可換則：( ∀u,v∈R2 ) (u＋v ＝v＋u )」を満たす。　
証明1
証明2
証明3
証明4
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次		 　
定理：実2次元数ベクトル空間におけるスカラー乗法の性質
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　　　　R2=R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　

[文献―R2限定]
・川久保『線形代数学』1.2(p.7)
・志賀『線形代数30講』5講(p.29);
[文献]
・杉浦『解析入門I』I章§4命題4.1(p.34);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.19);

※一般化：
　　・実n次元数ベクトル空間のケース　　
　　・一般の体上の数ベクトル空間のケース
　　・一般の実ベクトル空間のケース　
 　　　　　（実ベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
　　・一般のベクトル空間のケース
 　　　　　（一般のベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
1. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているスカラー乗法と、
実数体R上で定義された乗法の単位元"1" は、　
　　　　　任意のv∈R2に対して、1v=v　
を満たす。　
2. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているスカラー乗法は、
　　　　結合則：任意のa,b∈Rと、任意のv∈R2に対して、(ab)v=a(bv)　
を満たす。
3. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているスカラー乗法とベクトルの加法＋は、
　　　　ベクトルに関する分配則：任意のa∈Rと、任意のu,v∈R2に対して、a(u+v)=au+av　　
を満たす。
4. 実2次元数ベクトル空間R2において定義されているスカラー乗法とベクトルの加法＋は、
　　　　スカラーに関する分配則：任意のa,b∈Rと、任意のv∈R2に対して、(a+b)v=av＋bv
を満たす。
証明1
証明2
証明3
証明4
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次		 　
定理：実2次元数ベクトル空間は実ベクトル空間・ベクトル空間の一例である。
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　　　　R2=R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。

[文献]
・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);
・ホフマン『線形代数学I』2.1例1(p.29);
・志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
・松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133);

※一般化：
　　・実n次元数ベクトル空間のケース　　
　　・一般の体上の数ベクトル空間のケース
本題

実2次元数ベクトル空間R2は、
実数体R上のベクトル空間（すなわち実ベクトル空間）の一具体例であり、
体K上のベクトル空間の一具体例である。
なぜ？

・実数体Rは、体Kの一具体例である。　
・実2次元数ベクトル空間R2には、
　　任意のu,v∈R2に対して、u＋v∈R2、任意のa∈R, v∈R2に対して、av∈R2　
　を一つずつ定めるベクトルの加法とスカラー乗法が定められており、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-1,II-1を、
　実2次元数ベクトル空間R2は、満たしている。　　　
・実2次元数ベクトル空間R2では、
　実2次元数ベクトル空間におけるベクトルの加法の性質と、
　実2次元数ベクトル空間におけるスカラー乗法の性質の8つの条件が
　成り立っている。
　この8条件は、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-2,II-2は満たすものである。
　したがって、実2次元数ベクトル空間R2は、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-2,II-2を満たしている。

　
→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
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定理：零ベクトルのスカラー倍
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　　　　R2=R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
０：R2上の零ベクトル。　　
a：スカラー。つまり、a∈R


[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.3);

※一般化：実n次元数ベクトル空間のケース
本題 零ベクトルのスカラー倍は、すべて、零ベクトル。
つまり、任意のa∈Rにたいして、a０＝０

[図解―操作可能]
実2次元零ベクトル( 0,0 ）の スカラー 倍は、
は、
x-y平面上に、以下のように図示できる。
実2次元数ベクトルのスカラー倍の図示




定理：ベクトルのスカラー０倍
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R2：実2次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　　　　R2=R×R={ (x,y)｜x∈Rかつy∈R }　　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
０：R2上の零ベクトル。
a：スカラー。つまり、a∈R

　

[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.3);


※一般化：実n次元数ベクトル空間のケース
本題 任意の実2次元数ベクトルのスカラー0倍は、すべて、零ベクトル。
　すなわち、任意のv∈R2 にたいして、０v＝０　　

[図解―操作可能]
実2次元数ベクトル( , ）の スカラー0倍は、
x-y平面上に、以下のように図示できる。
実2次元数ベクトルのスカラー倍の図示





→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次		 　

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1-b(p.155).
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(p.83);14講ベクトル空間の例と基本概念(p.88)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、1.1ベクトルとベクトルの演算(p.4)、4.1線形空間と写像(p.91)。


数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§1ベクトル(pp.26-)。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,1.
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、2.4基底と次元(pp.36-41)。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、1.2Ⅲ定義1.2.2(p.10)。
二階堂副包『経済のための線型代数』培風館、1961年、I§1(pp.18-9)。


数理統計学のテキスト
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。

→[トピック一覧：実2次元数ベクトル空間の定義]
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