| n次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間の定義：トピック一覧 ～ 数学についてのwebノート |
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・ 部分ベクトル空間の定義・部分ベクトル空間であるための必要十分条件：1/2 |
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※ 関連ページ・実n次元数ベクトル空間：実n次元数ベクトル空間の定義/一次独立･一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/基底/次元 ・Rnの部分ベクトル空間：具体例/部分空間における線型独立と線型従属/部分空間の集合算/～に張られた部分ベクトル空間/和･直和分解･補空間/部分空間の基底/部分空間の次元 ・部分ベクトル空間：体上のベクトル空間の部分空間/実ベクトル空間の部分空間 ※線形代数目次・総目次 |
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定義：実 n次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間・線形部分空間 |
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設定 |
R ：実数体(実数をすべて集めた集合）Rn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの： 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 u, v, w ：実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、u1, u2, …, un∈Rとして、u=( u1, u2, …, un )∈Ｒn 具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn )∈Ｒn 具体的に書くと、w1, w2, …, wn∈Rとして、w=( w1, w2, …, wn )∈Ｒn a, b ：スカラー。a, b ∈R |
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定義 |
「 Wが、実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間である」とは、1. Wが実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合であって、 なおかつ、 2.「実n次元数ベクトル空間Rnに定められた ベクトルの加法"+"とスカラー乗法」を以って 「Wにおけるベクトルの加法とスカラー乗法」と定義した場合に、 Wが実ベクトル空間となることをいう。 |
[ 文献]佐武 『線形代数学』Ⅲ§2(pp.93-99)§6(p.114); 柳井竹内 『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定義1.2(p.6); 佐和『回帰分析』2.1.1(p.16); ホフマン 『線形代数学I』2.2例6b(p.35);練習問題1;6(p.40); 布川 『線形代数と凸解析』例2.1(p.34);例2.2(p.35); グリーン 『計量経済分析』2.4.4(p.26); 草場『線形代数』2.7(pp.47); 木村『線形代数』3.1一次独立(p.51); 志賀 『線形代数30講』12講(p.78); 斎藤 『線形代数入門』４章§4問1(pp.107-8); 高橋 『経済学とファイナンスのための数学』附録A.1(p.176).] ; 戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.4.3(p.78) |
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このように、 Rnの部分ベクトル空間は、定義上、実ベクトル空間であるから、Rnの部分ベクトル空間にたいして、実ベクトル空間の性質をすべて適用してよい。 |
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定義の展開―実ベクトル空間の定義に遡って ※以下の定義には、条件の重複が多い。重複を省いた表現については、 部分ベクトル空間の必要十分条件1/部分ベクトル空間の必要十分条件2を参照。 実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間Wとは、 次の4条件を満たすRnの部分集合（つまり実n次元数ベクトルをあつめた集合）のこと。 |
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条件Ⅰ -1 |
「 Rnにおけるベクトルの加法"+"」が「Wにおける二項演算」の定義を満たし、したがって、 これをWにおけるベクトルの加法"+"と定義した場合に、 Wは、この+について代数系となること。 つまり、「Rnにおけるベクトルの加法"+"」によって、 任意のu,v∈Wに対して、それに対応するu+v∈Wが一つずつ定まること。 もっと具体的にいえば、 Wから、どんな実n次元数ベクトル( u1, u2, …, un ),( v1, v2, …, vn )をとろうが、 それに対して、 ( u1, u2, …, un )+( v1, v2, …, vn )＝( u1+v1 , u2+v2 , …, un+vn ) （右辺の+は実数体に定められている加法） が一つずつ定まって、 ( u1+v1 , u2+v2 , …, un+vn )は、「Wに属す実n次元数ベクトル」になること。 ※u,v∈Wならば、u+vもWに属し、u+vがWの外に飛び出すことはない、 という点がポイント |
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条件Ⅰ -2 |
W は、「Rnにおけるベクトルの加法"+"」に関して加法群(加法に関する可換群)をなすこと。つまり、 -1. Rnにおけるベクトルの加法"+"が、 Wにおいて、「結合則：( ∀u,v,w∈W ) ( ( u+v )+w = u+( v+w ) )」を満たすこと。 -2. Rnにおけるベクトルの加法"+"に関して、Wにおいて、 零ベクトル「( ∀v∈W ) ( ０+v = v かつ ０+v = v )を満たす０∈W」が存在すること。 ※Rnにおけるベクトルの加法"+"の零ベクトルは( ０,０,…,０ )だから、 零ベクトル０=( ０,０,…,０ )がWに属すように、Rnの部分集合Wを決めなければ、 Wは「Rnの部分ベクトル空間」の定義を満たさない。 -3. Wのすべての元vに対して、 Rnにおけるベクトルの加法"+"に関するvの逆ベクトル－v∈Wが存在すること。 ※Rnのベクトルの加法"+"において、 実n次元数ベクトル( v1, v2, …, vn )の逆ベクトルは、( －v1, －v2, …, －vn )であるから、 実n次元数ベクトル( v1, v2, …, vn )をWの元とするなら、 その逆ベクトル( －v1, －v2, …, －vn )もWの元となるように、 Rnの部分集合Wを決めてやらなければ、 Wは「Rnの部分ベクトル空間」の定義を満たさない。 -4. Rnにおけるベクトルの加法"+"が、Wにおいて、「可換則：( ∀u,v∈Ｗ ) (u+v =v+u )」を満たすこと。 |
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条件Ⅱ -1 |
「 Rnにおけるスカラー乗法」が、「Wにおけるスカラー乗法」の定義を満たすこと。つまり、「Rnにおけるスカラー乗法」が、 「任意の実数(実数体Rの元)a」と「Wの任意の元v」の組に対して、 Wの元を一意的に定める演算にもなっていること。 もっと具体的にいえば、 Wから、どんな実n次元数ベクトル( v1, v2, …, vn )をとろうが、 任意のスカラーa∈R とのあいだの「Rnに定められたスカラー倍」 ( av1 , av2 , …, avn ) は一意的に定まり、 ( av1 , av2 , …, avn )は「Wに属す実n次元数ベクトル」となること。 ※a∈Rn, v∈Wならば、avもWに属し、avがWの外に飛び出すことはない、という点が重要 |
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条件Ⅱ -2 |
「 Rnにおけるスカラー乗法」が次の4条件を満たすこと。-1. 任意のv∈Wに対して、1v=v ※左辺の"1"は実数体R上で定義された乗法の単位元を指す。 -2. 結合則： 任意の実数a,b∈R と、任意のv∈Wに対して、(ab)v=a(bv) -3. ベクトルに関する分配則： 任意の実数a∈R と、任意のu,v∈Wに対して、a(u+v)=au+av ※両辺の"+"はRn上の加法(→条件I-1)を指す。 -4. スカラーに関する分配則： 任意の実数a,b∈R と、任意のv∈Wに対して、(a+b)v=av+bv ※左辺の"+"は実数体R上で定義された加法、右辺の"+"はRn上の加法(→条件I-1)を指す。 |
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Rn の部分ベクトル空間の例：Rn、零部分空間、斉次型連立方程式の解空間、生成された部分ベクトル空間、有限個のベクトルと直交するベクトルの全体 R1の部分ベクトル空間、R2の部分ベクトル空間、R3の部分ベクトル空間 |
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上位概念： 体上のベクトル空間の部分空間、実ベクトル空間の部分空間 |
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R nの部分ベクトル空間であるための必要十分条件：1/2→これらの必要十分条件を、Rnの部分ベクトル空間の定義とするテキストが多い。 |
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設定 |
R ：実数体(実数をすべて集めた集合）Rn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 u, v ：実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、u1, u2, …, un∈Rとして、u=( u1, u2, …, un )∈Ｒn 具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn )∈Ｒn a ：スカラー。a ∈R |
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本題 |
W が「Ｒnの部分ベクトル空間」の定義を満たすことは、Wが次の命題Q1・命題Q2を満たすことと、 同値。 命題Q1：WはRnの空でない部分集合 つまり、Wは実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Ｒnを集めた集合であって、 Wは、実n次元数ベクトルを最低でも一個含んでいなければならない、 ということ。 命題Q2：Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルuと 任意のスカラーa∈R との「Rnで定められたスカラー積」auをとって、 これと任意のv∈Wとの「Rnで定められたベクトル和」au+v をとると、 au+v もWに属し、au+vがWの外に飛び出さない。 |
[ 文献]佐和『回帰分析』2.1.1(p.16); ホフマン『線形代数学I』2.2例6b(p.35);練習問題1;6(p.40); 草場『線形代数』2.7(pp.47); 木村『線形代数』3.1一次独立(p.51); |
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※ |
命題 Q2を具体的に書くと、｜Wから、どんな実n次元数ベクトル( u1, u2, …, un ), ( v1, v2, …, vn )をとろうが、 ｜ 任意のスカラーa∈R とのあいだで計算した、 ｜ a( u1, u2, …, un )+( v1, v2, …, vn )＝( au1+v1 , au2+v2 , …, aun+vn ) ｜ （右辺の+は実数体に定められている加法） ｜もまたWのなかに属し、Wの外に飛び出さない となる。 |
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※ |
「命題 Q1かつ命題Q2」を論理記号等で表すと、W⊂Rn かつ W≠φ かつ （ ∀u,v ∈W ） （∀a∈R ）（ au+v ∈W） |
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※ |
「命題 Q1かつ命題Q2」を、「部分ベクトル空間の定義」とするテキストもある。 |
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[トピック一覧：部分ベクトル空間] →線形代数目次・総目次 |
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定理：部分ベクトル空間であることの必要十分条件 2 |
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設定 |
R ：実数体(実数をすべて集めた集合）Rn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 u, v ：実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、u1, u2, …, un∈Rとして、u=( u1, u2, …, un )∈Ｒn 具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn )∈Ｒn a ：スカラー。a∈R |
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本題 |
W が「Ｒnの部分ベクトル空間」の定義を満たすことは、Wが、次の命題Q1・命題Q2・命題Q3をすべて満たすことと、 同値。 命題Q1：Wは、Ｒnの空でない部分集合。 論理記号で表すと、W⊂Rn かつ W≠φ。 つまり、Wは実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Ｒnを集めた集合であって、 Wは、実n次元数ベクトルを最低でも一個含んでいなければならない、 ということ。 命題Q2：Wは「Ｒnに定められているベクトルの加法」について閉じている。 つまり、Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v ∈W 論理記号で表すと、（ ∀u,v ∈W ）（ u+v ∈W）。 具体的に書くと、 ｜Wから、どんな実n次元数ベクトルu=( u1, u2, …, un ), v=( v1, v2, …, vn )をとろうが、 ｜ u+v ＝( u1+v1 , u2+v2 , …, un+vn ) （右辺の+は実数体に定められている加法） ｜もまたWのなかに属し、Wの外に飛び出さない となる。 命題Q3：Wは「Ｒnに定められているスカラー乗法」について閉じている。 つまり、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvと、任意のスカラーa∈Rに対して、 av∈W 論理記号で表すと、（ ∀v∈W ）（∀a∈R ）（ av∈W ）。 具体的に書くと、 ｜Wから、どんな実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )をとろうが、 ｜ 任意のスカラーa∈R とのあいだで計算した、 ｜ av ＝( av1 , av2 , …, avn ) ｜もまたWのなかに属し、Wの外に飛び出さない となる。 |
[ 文献]柳井竹内 『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定義1.2(p.6); 佐武 『線形代数学』Ⅲ§2(pp.93-99);§6(p.114); 布川 『線形代数と凸解析』例2.1(p.34);例2.2(p.35); グリーン 『計量経済分析』2.4.4(p.26); 志賀 『線形代数30講』12講(p.78); 草場 『線形代数』2.7(pp.47); 斎藤 『線形代数入門』４章§4問1(pp.107-8); |
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この定理が言わんとしていることは、 「部分ベクトル空間の定義」の条件I-2,条件II-2も成立するので、 「部分ベクトル空間の定義」の定義を満たすかどうかは、 条件I-1,条件II-1の成立の可否のみを見ればよい、 ということ。 |
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「命題 Q1かつ命題Q2かつ命題Q3」を、「部分ベクトル空間の定義」とするテキストも多い。 |
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[yahooo:yoko] |
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