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証明：一次写像f：V→V'にたいして、Kerf は、V'の部分ベクトル空間。

(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　
(命題)　　
一次写像f：V→V'にたいして、Ker f は、Vの部分ベクトル空間となる。
(証明)　[志賀『線形代数30講』21講(p.133)]　　　
Ker f がVの部分ベクトル空間であることを示すには、
次の三点を示せば十分。∵部分ベクトル空間になるための必要十分条件　
　1. Ker fは、Vの空でない部分集合。
　2. 任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、v1 +v2 ∈Ker f　
　　　[ Ker fは「Vに定められているベクトルの加法」について閉じている]
　3. 任意のベクトルv∈Ker fとスカラーc∈Rに対して、cv∈ Ker f　
　　　[ Ker fは「Vに定められているスカラー乗法」について閉じている]　
step1:　Ker fは、V'の空でない部分集合　　
　・実ベクトル空間の定義―条件I-2-2により、
　　あらゆる実ベクトル空間は、零ベクトルを備えたものとして定義されている。
　　したがって、V にもV'にも、零ベクトルは備わっている。…(1-1)　
　・一次写像f：V→V'は、f ( 〇 ) =〇　を満たす。（∵）…(1-2)　
　・(1-1) (1-2)より、fは、〇∈Vを〇∈V'　に写すことがわかる。
　　したがって、〇∈Ker f　
　　Ker fには、少なくとも、〇∈V'が含まれているから、Vの空でない部分集合である。　
step2:　Ker fは「Vに定められているベクトルの加法」について閉じている　　
・任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f 　は、
　Ker f の定義により、　f ( v1 ) =f ( v2 ) =０　を満たす。…(2-1)　
・任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f 　は、
　一次写像f の定義―要件1:ベクトル和の保存により、
　　　　　f ( v1 ) + f ( v2 )=f ( v1 +v2 )を満たす。…(2-2)　
・(2-1) (2-2)より、　
　任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f 　は、f ( v1 +v2 )=０　を満たす。…(2-3)　
・任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f は、Ker f の定義によって、v1,v2 ∈Vでもある。
　したがって、 v1 +v2 ∈V　…(2-4)　
　　　∵ Vは実ベクトル空間だから、実ベクトル空間の定義－条件Ⅰ-1によって。　　　
・(2-3) (2-4)より、
　任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、f ( v1 +v2 )=０　かつ　v1 +v2 ∈V　。
　つまり、任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、　
　　v1 +v2は、fによる像がV'上の零ベクトルとなる「Vに属すベクトル」
　になっている。
　このことは、Ker fの定義により、次のように、言い換えられる。
　　　任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、v1 +v2 ∈Ker f　　
step3:　Ker fは「Vに定められているスカラー乗法」について閉じている　　
・任意のベクトル v∈Ker f は、Ker f の定義により、　
　　　f ( v ) =０　を満たす。…(3-1)　
・任意のベクトル v∈Ker f と、任意のスカラーc∈Kは、
　一次写像f の定義―要件2:スカラー積の保存により、
　　　　　f ( cv ) = c f ( v )を満たす。…(3-2)　
・(3-1) (3-2)より、　
　任意のベクトル v∈Ker f と、任意のスカラーc∈Rは、　　
　　　f ( cv ) = c f ( v )= c０　　　
　　　　　　　　　　= ０　　∵零ベクトルのスカラー倍　　
　を満たす。　…(3-3)　
・任意のベクトル v∈Ker f は、Ker f の定義によって、v∈Vでもある。
　したがって、任意のベクトル v∈Ker fと、任意のスカラーc∈Rにたいして、
　　 cv∈V　…(3-4)　
　　　∵ Vは実ベクトル空間だから、実ベクトル空間の定義―条件Ⅱ-1によって。　
・(3-3) (3-4)より、
　任意のベクトル v∈Ker fと、任意のスカラーc∈Rにたいして、　　
　cv　は、fによる像がV'上の零ベクトルとなる「Vに属すベクトル」になっている。
　このことは、Ker fの定義により、次のように、言い換えられる。
　任意のベクトルv∈Ker fとスカラーc∈Rに対して、cv∈ Ker f　　　

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