・定理: 同型写像と一次独立/同型写像と基底/ベクトル空間と数ベクトル空間の同型の条件 |
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定理:同型写像と線形独立 (一次独立) |
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) f:V→V':実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への同型写像 |
[ 文献]・永田『理系のための線形代数の基礎』系1.3.5(p.21); ・志賀『線形代数30講』16講(p.102); ・砂田『行列と行列式』§5.3c補題5.49(p.176); ・斎藤『線形代数入門』4章§3[3.6](p.102) |
定理 |
任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の2つの命題は同値。 命題P:f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)が一次独立 命題Q: v1, v2, v3,…, vlが一次独立。 |
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定理:同型写像と基底 |
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) f:V→V':実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への同型写像 |
[ 文献]・永田『理系のための線形代数の基礎』系1.3.5(p.21); ・志賀『線形代数30講』16講(p.102); ・砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.52(p.178); |
定理 |
任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の2つの命題は同値。 命題P:f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)がV'の基底である。 命題Q: v1, v2, v3,…, vlがVの基底である。 |
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定理:実ベクトル空間と実 n次元数ベクトル空間の同型の条件 |
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Rn:実n次元数ベクトル空間 V :実ベクトル空間 |
[ 文献]・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.6(p.21); ・砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.51(p.177); ・『岩波数学辞典』項目210線形空間C(p.571); ・斎藤『線形代数入門』4章§3[3.7](p.102) |
定理 |
命題 P「実ベクトル空間Vに属すn個のベクトル{ u1, u2, …, un }が、実ベクトル空間Vの基底である」ならば、 命題Q「実ベクトル空間Vは、実n次元数ベクトル空間Rnに同型」。 つまり、が有限次元の実ベクトル空間は、実数体上の数ベクトル空間に同型。 |
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証明 |
《Vの基底》で決まる同型写像による。 |
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