実ベクトル空間のあいだの同型写像と線形独立・基底

・定理：同型写像と一次独立/同型写像と基底/ベクトル空間と数ベクトル空間の同型の条件　

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定理：同型写像と線形独立(一次独立)


設定


この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への同型写像　

[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』系1.3.5(p.21);
・志賀『線形代数30講』16講(p.102);
・砂田『行列と行列式』§5.3c補題5.49(p.176)；
・斎藤『線形代数入門』４章§3[3.6](p.102)　

定理

任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の２つの命題は同値。
　命題P：f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)が一次独立
　命題Q：　v1, v2, v3,…, vlが一次独立。　

定理：同型写像と基底


設定


この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への同型写像　

[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』系1.3.5(p.21);
・志賀『線形代数30講』16講(p.102);
・砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.52(p.178)；

定理

任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の２つの命題は同値。
　命題P：f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)がV'の基底である。　　
　命題Q：　v1, v2, v3,…, vlがVの基底である。　

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定理：実ベクトル空間と実n次元数ベクトル空間の同型の条件　


設定


この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
V ：実ベクトル空間

[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.6(p.21);
・砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.51(p.177);
・『岩波数学辞典』項目210線形空間C(p.571)；
・斎藤『線形代数入門』４章§3[3.7](p.102)

定理

命題P「実ベクトル空間Vに属すn個のベクトル{ u1, u2, …, un }が、実ベクトル空間Vの基底である」　
ならば、
命題Q「実ベクトル空間Vは、実n次元数ベクトル空間Rnに同型」。　
つまり、が有限次元の実ベクトル空間は、実数体上の数ベクトル空間に同型。

証明

《Vの基底》で決まる同型写像による。

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.20-21)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3c(p.176-8).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§3基底および次元(p.102)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。

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