一次写像の階数の性質　：　トピック一覧　


・定義域の基底とKerf･Imagefの基底/階数と退化次数、定義域の次元の関係

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定理：一次写像の定義域の基底と、Ker f の基底・Image f の基底　　　　

　　　　　
【舞台設定】

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。　　
V' ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。　　
「f ：V→V'」：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　　

【本題】

「Ker f の基底」に、「Image f の基底のf による逆像」を付け加えたものは、Vの基底の定義を満たす。　

※どういうこと？→定理の置かれた文脈　
※なぜ？→証明　
※活用例→一次写像の行列表示の標準形の存在の証明

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37)
　・斎藤正彦『線形代数入門』４章§4[4.5]§5[5.1](p.116)]

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定理：一次写像の階数と退化次数、定義域の次元の関係　　　


【舞台設定】

 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。　。　
V' ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。　。　
「f ：V→V'」：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　　

【本題】

「一次写像 f ：V→V'」の階数と退化次数の和は、Vの次元に等しい。
　　すなわち、　　　dimV＝rank f ＋dim(Ker f)　　　
このことはもちろん、次のように言換えられる。
「一次写像 f ：V→V'」の階数は、Vの次元と「一次写像 f ：V→V'」の退化次数の差である。　　、
　　すなわち、　　　rank f ＝dimV－dim(Ker f)　　

※なぜ？→証明　
※活用例→一次写像の行列表示の標準形の存在の証明　　　

【文献】
　
　・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付
　・斎藤正彦『線形代数入門』４章§5(p.116)
　・藤原『線形代数』4.2性質5(p.100-101)
　・砂田『行列と行列式』§5.3-d定理5.65(p.180))　



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(reference)

永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.6ベクトル空間(pp.36-7)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§5線形写像とくに線形変換(pp.113-9)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.2線形空間と写像(p.100-101)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-d(p.179);§5.5-d(p.194).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§4一次写像の階数(ただし数ベクトル空間において)§7底の変換、直交変換。