部分ベクトル空間の次元 ：　トピック一覧　

・定理：ベクトル空間とその部分空間の次元,ベクトル空間の２つの部分空間の次元,
・定理： 和空間の次元、直和と線形独立、直和の次元　
※関連ページ：
　部分ベクトル空間：定義、部分ベクトル空間の性質、～が張る部分空間、和･直和、直和が定める射影　
　実ベクトル空間関連ページ：実ベクトル空間の定義、一次結合、線形従属･線形独立、基 底、次元　

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定理：ベクトル空間とその部分空間の次元　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.1(p.32):証明付;志賀『線形代数30講』21講(p.132);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』2.3基底と次元定理5系1(p.47);
　　砂田『行列と行列式』§5.3-d定理5.62(p.179).]

【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
　W：Vの部分ベクトル空間　
【本題】
1.　Vの部分ベクトル空間の次元が、Vの次元より大きくなることはない。　　　
　　つまり、
　　任意の「実数体R上の有限次元ベクトル空間」について、　　
　　　　　Wが「Vの部分ベクトル空間」ならば、　　　　
　　　　　dimW≦dimV　　　
2.　「Vの部分ベクトル空間」で、次元が「Vの次元」に等しいものがあるなら、それは、V自身。
　　つまり、
　　任意の「実数体R上の有限次元ベクトル空間」について、　　
　　　　　Wが「Vの部分ベクトル空間」、かつ、dimW=dimV　ならば、　　　　
　　　　　W=V　　

定理：ベクトル空間の２つの部分空間の次元

　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.5.2(p.32);;斎藤『線形代数入門』４章§4[4.6](p.109);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』2.3基底と次元定理6(p.47)]
【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の有限次元ベクトル空間」）　　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　

【本題】
　　任意の「実数体R上の有限次元ベクトル空間」Vの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、　　
　　　　　W1⊆W2　かつ、dimW1=dimW2　ならば、　　
　　　　　W1=W2　　 

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定理：和空間の次元

　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.3(p.33):証明付;;斎藤『線形代数入門』４章§4[4.7](p.109)]

【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　

【本題】
任意の「実数体R上の有限次元ベクトル空間」Vの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2－dim(W1∩W2) 　　

定理：直和と線形独立性　　

　[砂田『行列と行列式』§5.3-a定理5.35(p.171):証明付]
【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
　W1,W2,…,Wk：Vの部分ベクトル空間　

【本題】
1.
　実ベクトル空間Vが、その部分ベクトル空間W1 ,W2 ,…,Wkの直和に分解される　
　　　　　　
　ならば、　
　W1 に属す任意のベクトルv1 　
　W2 に属す任意のベクトルv2 　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　Wk に属す任意のベクトルvk 　
　のなかで、零ベクトルでないベクトルは、線形独立となる。
2.　
　V=W1＋W2＋…＋Wn　
　かつ　　
　W1 に属す任意のベクトルv1 　
　W2 に属す任意のベクトルv2 　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　Wk に属す任意のベクトルvk 　
　のなかで、零ベクトルでないベクトルが線形独立となる　　
　ならば、　
　実ベクトル空間Vが、その部分ベクトル空間W1 ,W2 ,…,Wkの直和に分解される　
　　　　　　　　　 

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定理：直和の次元　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.5.4(p.34);砂田『行列と行列式』§5.3-d例題5.67(p.181):証明付]
【舞台設定】
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
　W1,W2,…,Wk：Vの部分ベクトル空間　

【本題】
1.　
　実ベクトル空間Vが、その部分ベクトル空間W1 ,W2の直和に分解される　
　　　　　　
　ならば、　
　dim(V)=dimW1＋dimW2　
2.　　
　実ベクトル空間Vと、その部分ベクトル空間W1,W2について、
　　・V=W1＋W2　　
　　かつ　　
　　・dim(V)=dimW1＋dimW2　
　が成り立つならば、　
　実ベクトル空間Vは、部分ベクトル空間W1 ,W2の直和に分解される　
　　
3.　　
　実ベクトル空間Vが、その部分ベクトル空間W1 , W2 , …,Wkの直和に分解される　
　　　　　　
　ならば、　
　dim(V)=dimW1＋dimW2＋…＋dimWk　　　
4.　　
　実ベクトル空間Vと、その部分ベクトル空間 W1 ,W2 , …,Wk について、
　　・V=W1＋W2＋…＋Wk 　　
　　かつ　　
　　・dim(V)=dimW1＋dimW2＋…＋dimWk 　　　
　が成り立つならば、　
　実ベクトル空間Vは、部分ベクトル空間 W1 , W2 , …,Wkの直和に分解される　
　　　　　　　


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元定理5-6(pp.46-9)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-d(p.179).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§4線形部分空間(p.107-112)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。

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