Rnの部分ベクトル空間の直和が定める射影：トピック一覧　　　　

　・定義：2つの部分空間の直和が定める射影、射影は一次写像、射影行列、多数の部分空間の直和が定める射影　
　・定理：射影行列は冪等行列、直和が定める射影の性質

※関連ページ：
・Rnの部分ベクトル空間：定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/部分空間の集合算/
　　　　　　　　　　　　　～に張られた部分ベクトル空間/部分空間の基底/部分空間の次元/直和分解と補部分空間　

・直交射影　
※線形代数目次・総目次

定義：2つの部分空間の直和が定める射影projection　

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　　
W1：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　
W2：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

[文献1]
佐武『線形代数学』
　　Ⅲ-研究課題I.冪等行列･射影子
　　　　　(pp.125-6; p.128脚注)。
柳井竹内
　『射影行列･一般逆行列･特異値分解』
　　　§2.1定義2.1(p.21)
佐和『回帰分析』2.1.4(p.22);
久米『数理統計学』1.36.射影(p.34)。


[文献2]
永田
　『理系のための線形代数の基礎』
　　4.3(p.120);
砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)

定義

実n次元数ベクトル空間Rnが、
Rnの部分ベクトル空間W1、W2に直和分解されるとする。
つまり、　　
　　　
とする。
このとき、直和分解の必要十分条件より、
任意の実n次元数ベクトルv∈Rnにたいして、
ある実n次元数ベクトルv1∈W1, v2∈W2が一意的に存在して、
　　v＝v1 +v2 　　
と表せる。　
したがって、
P1(v)=v1、P2(v)=v2を満たす写像P1:Rn→W1, 写像P2:Rn→W2を
考えてよい。
この写像：Rn→W1 を、
　直和
　　　
　が定めるRnからW1への射影・射影作用素・射影子、
この写像P2:Rn→W2を、
　直和
　　　
　が定めるRnからW2への射影・射影作用素・射影子
と呼ぶ。　

※

関連：直交射影　

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定理：射影は一次写像　

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　　
W1：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　
W2：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

定理

直和が定める射影は一次写像の定義を満たす。

[文献]
永田
　『理系のための線形代数の基礎』
　　　4.3問2(p.120);
佐武
　『線形代数学』
　　　Ⅲ-研究課題I(p.125):証明略。
柳井竹内
　『射影行列･一般逆行列･特異値分解』
　　　§2.1定義2.1(p.21):証明付
久米
　『数理統計学』
　　　1.36.射影(p.34)証明付。

※

活用例：射影行列の定義　

証明

・Rnが、
　Rnの部分ベクトル空間W1、W2に直和分解されるとする。
　　　…(0)
　この直和分解が定めるRnからW1への射影をP1とおき、
　　　　　　　　RnからW2への射影をP2とおく。
　このとき、直和分解の必要十分条件より、
　任意の実n次元数ベクトルu,v∈Rnにたいして、
　ある実n次元数ベクトルu1,v1∈W1, u2,v2∈W2が
　一意的に存在して、
　　u＝u1 +u2 　…(1)　
　　v＝v1 +v2 　…(2)　　
　と表せ、
　射影の定義より、
　P1(u)=u1、P1(v)=v1　
　P2(u)=u2、P2(v)=v2　　…(3)　
・(1)(2)より、
　任意の実n次元数ベクトルu,v∈Rnにたいして、
　u+v＝u1 +u2+v1 +v2 ＝（u1 +v1）+（u2+v2 ）∵結合則
　　　　　　　　　…(4)
・(0)より、W1、W2は、Rnの部分ベクトル空間であるから、
　u1,v1∈W1にたいして、u1 +v1∈W1　
　u2,v2∈W2にたいして、u2+v2∈W2　…(5)
・(2)より、
　任意の実n次元数ベクトルv∈Rnと、任意のスカラー（実数）cに対して、
　cv＝c（v1 +v2）＝cv1+cv2　∵ベクトルに関する分配則　
　　　　　　…(6)　
・(0)より、W1、W2は、Rnの部分ベクトル空間であるから、
　任意のv1∈W1,v2∈W2と任意のスカラー（実数）cにたいして、
　　cv1∈W1, cv2∈W2　…(7)
・任意の実n次元数ベクトルu,v∈Rnにたいして、　　
　　P1(u+v)=u1 +v1　∵(4)(5)と射影の定義　　
　　　　　　=P1(u)+P1(v)　∵(3)　　
・任意の実n次元数ベクトルu,v∈Rnにたいして、　　
　　P2(u+v)=u2 +v2　∵(4)(5)と射影の定義　　
　　　　　　=P2(u)+P2(v)　∵(3)　　
・任意の実n次元数ベクトルv∈Rnにたいして、　　
　　P1(cv)=cv1　∵(6)(7)と射影の定義　
　　　　　=c P1(v)　∵(3)　
・任意の実n次元数ベクトルv∈Rnにたいして、　　
　　P2(cv)=cv2　∵(6)(7)と射影の定義　
　　　　　=cP2(v)　∵(3)　
以上四点から、
　射影P1、P2が一次写像の定義を満たすことは、
明らか。

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定義：射影行列　projection matrix　

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　　
W1：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　
W2：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);
佐武『線形代数学』Ⅲ-研究課題I(p.125):証明略。
柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』
　　　　　　§2.1定義2.1(p.21)
久米『数理統計学』1.36.射影(p.34);定理1.5(p.35)。

定義

直和が定める射影は一次写像であるから（∵）、
直和が定める射影には、ひとつの行列が対応する（∵）。
この行列を、射影行列projection matrixと呼ぶ。
射影行列は冪等行列であり、逆に冪等行列は射影行列である[久米『数理統計学』定理1.5(p.35)]。

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定理：射影行列は冪等行列　　

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　　
W1：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　
W2：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ-研究課題I(p.125)
柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』
　　　　　　§2.1定義2.1(p.21)
久米『数理統計学』1.36.射影(p.34);定理1.5(p.35)。

定理1

射影行列は冪等行列であり、
逆に冪等行列は射影行列である。

定理2

直和
　　　
が定める
RnからW1への射影をP1とおき、
RnからW2への射影をP2とおく。
射影P1とそれ自身との合成写像P1〇P1をとったところで、
射影P1とかわらない。
射影P2とそれ自身との合成写像P2〇P2をとったところで、
射影P2とかわらない。


[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』
　　4.3問2(p.120);
砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.168)

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定理：直和が定める射影の性質

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　　
W1：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　
W2：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

2.

直和
　　
が定めるRnからW1への射影をP1とおく。
P1は、次を満たす。
　任意の実n次元数ベクトルv1∈W1にたいして、
　　　　P1 ( v1 )= v1 　
　任意の実n次元数ベクトルv2∈W2にたいして、
　　　　P1 ( v2 )=〇 　


[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』　4.3問2(p.120);

2'.

直和
　　
が定めるRnからW2への射影をP2とおく。
P2は、次を満たす。
　任意の実n次元数ベクトルv1∈W1にたいして、
　　　　P2 ( v1 )=〇 　
　任意の実n次元数ベクトルv2∈W2にたいして、
　　　　P2 ( v2 )= v2 　


[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』4.3問2(p.120);

3.

直和
　
が定める
RnからW1への射影をP1とおき、
RnからW2への射影をP2とおく。
　　射影P1と射影P2の合成写像：P2〇P1　
　　射影P2と射影P1の合成写像：P1〇P2　
は、零写像となる。　　　　
　　P2〇P1＝P1〇P2＝〇　　


[文献]
砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)

4.

直和
　
が定める
RnからW1への射影をP1とおき、
RnからW2への射影をP2とおく。
射影P1と射影P2の（一次写像としての）和　　
　　　P1＋P2　　
は、恒等写像である。　


[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』
　4.3問2(p.120);
砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)

5.

直和
　　
が定める
RnからW1への射影をP1とおき、
RnからW2への射影をP2とおく。
射影P1の像はW1であり、射影P2の像はW2である。　　


[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』
　4.3問2(p.120);
砂田『行列と行列式』§5.2-c(p.169)

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定義：多数の部分空間の直和が定める射影projection　

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　　
W1 , W2 , … ,Wk ：Rnの部分ベクトル空間　

[文献1]
佐武『線形代数学』
　Ⅲ-研究課題I(p.126; p.128脚注)。
柳井竹内
　『射影行列･一般逆行列･特異値分解』
　　　§2.1定義2.1(p.21)


[文献2]
砂田
　『行列と行列式』
　　§5.2-c(p.169)

定義

実n次元数ベクトル空間Rnが、
Rnの部分ベクトル空間W1 , W2 , … ,Wkに直和分解されるとする。
つまり、　　
　　　
とする。
このとき、直和分解の必要十分条件より、
任意の実n次元数ベクトルv∈Vにたいして、
ある実n次元数ベクトルv1∈W1, v2∈W2 , … ,vk∈Wkが一意的に存在して、
　　v＝v1 +v2 +…+vk　　　
と表せる。　
したがって、
　　P1(v)=v1、P2(v)=v2、…、Pk(v)=vkを満たす写像P1:Rn→W1、写像P2:Rn→W2、…、写像Pk:Rn→Wk
を考えてよい。　
この写像P1:Rn→W1、写像P2:Rn→W2、…、写像Pk:Rn→Wkを、
　直和
　　　
　が定めるRnからW1、W2、…、Wkへの射影　　　
と呼ぶ。　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
集合論のテキスト
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第1章集合と写像§3-E写像(pp.27-29);§4-C写像の合成(pp.34-36)。
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).§5.3(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間-研究課題I.冪等行列･射影子(pp.125-6; p.128脚注)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§2.1射影行列とその定義(p.21):実n次元数ベクトル空間のみ。

数理統計学のテキスト
佐和隆光『回帰分析』 朝倉書店、1979年、。
久米均『数理統計学』コロナ社、1984年、1.線形代数1.36.射影(p.34)。

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