開集合系・開集合 [数学についてのwebノート]

開集合の公理

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での普遍集合。

「『集合Xの部分集合系』 𝔒は、『集合Xの開集合系 system of open sets』である」とは、
「集合Xの部分集合系」 𝔒が下記3条件を満たすということ。

(条件1)
𝔒 は、集合X自体と空集合∅ を自らの元として持っていること。
つまり、　集合X自体と空集合∅ が 𝔒 に属す。
すなわち X ∈ 𝔒 かつ ∅ ∈ 𝔒

(条件2)　
𝔒 に属す任意の二つの集合の重複部分も、 𝔒 に属す。
すなわち、
∀ O₁ , O₂ ( O₁ ∈ 𝔒 かつ O₂ ∈ 𝔒 ⇒ O₁ ∩ O₂ ∈ 𝔒 )
ないし、
∀ O₁ , O₂ ∈ 𝔒 (O₁ ∩ O₂ ∈ 𝔒 )

「集合Xの開集合系 𝔒」とは、「『集合Xの部分集合系』 𝔒は『集合Xの開集合系』である」と言える「集合Xの部分集合系」 𝔒のこと。

「集合Xの開集合 open set ないし 開部分集合」とは、「集合Xの開集合系𝔒」に属す集合のこと。

距離空間における開集合：
距離空間上の開集合は、距離を用いて定義された。位相では、以上のように距離をつかわずに開集合が定義される。

『岩波数学事典』項目14B
ブルバキ『位相　要約』§1-1( p.3 )
矢野『距離空間と位相構造』2.1.1位相(p.56)
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』項目4.1.1 (p.99.)
松坂『集合・位相入門』第4章§2-A (p.152)
彌永『集合と位相』II.§2.2閉集合開集(p.180)
西村『経済数学早わかり』第六章位相数学§1位相空間とは1.1-1.2 (pp.272-8) :「開集合の公理：条件3」で「任意の合併」を、あのように表現せざるをえない理由が説明されている。
大田春外『はじめよう位相空間』定義10.1(p.126)定義10.2(p.127).
大田春外『はじめての集合と位相』定義11.1(p.143)

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での普遍集合。

「集合X の開集合系」 𝔒 に属す集合 O₁ , O₂, O₃ , … の補集合 O₁ ^c , O₂ ^c , O₃ ^c , … がなす「X の部分集合系」は、集合X の閉集合系となる（だからこのとき、 O₁ ^c , O₂ ^c , O₃ ^c , … は閉集合）。　

集合X の閉集合系 𝔉 に属す集合 F₁ , F₂, F₃ , … の補集合 F₁ ^c , F₂ ^c , F₃ ^c , … がなす「X の部分集合系」は、「集合X の開集合系」となる（だからこのとき、 F₁ ^c , F₂ ^c , F₃ ^c , … は開集合）。

→ 松坂『集合・位相入門』第4章§2-C (p.156) 『岩波数学事典』項目14B;

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での普遍集合。
𝑥 :　Xに属す要素(点)

「集合X の開集合系」 𝔒 が予め定められているとする。
X に属す要素(点) 𝑥に対して、
𝑥 ∈ O ⊂ Uを満たす開集合Oが存在するような「X の部分集合」U　
をすべてかき集めた「集合Xの部分集合系」は、 𝑥 の近傍系となる。

集合Xの各要素(点) 𝑥に対して、近傍系が予め定められているとする。
以下の条件を満たす「集合X の部分集合」 Oをすべてかき集めた「集合Xの部分集合系」は、「集合X の開集合系」となる。
(条件) 「集合X の部分集合」 Oが、O自身の任意の要素(点) の近傍であること。

下記参照。