[トピック一覧：連結性]
　定義：連結位相空間、連結部分集合･連結部分空間　
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※位相空間における連結性の具体例：R²上の連結性、Rⁿ上の連結性　

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定義：連結位相空間
[松坂『集合・位相入門』5章§1-A連結位相空間(p.195);斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.1 (p.160);矢野『距離空間と位相構造』5.1.1節連結空間(p.165);佐久間『集合・位相―基礎から応用まで―』4.11 (p.79);志賀『位相への30講』27講(p.187)]
(設定)
　X　　　:　　(普遍)集合　　
　O　　　:　　Xの開集合系　
　(X, O)　:　　Xを台にして位相としてOを入れた位相空間　　
(定義1)
・「位相空間(X, O)が連結ないし連結位相空間である」とは、
　2つの「空でない開集合」の直和としてXを表せないことをいう。　
・つまり、
　「Xが連結ないし連結位相空間である」とは、
　　次の4条件を同時に満たす「Xの開集合」U,Vが存在しないことをいう。
　　　条件1：U≠φ　
　　　条件2：V≠φ　
　　　条件3：X=U∪V　
　　　条件4：U∩V=φ　　
(定義2)
・「Xが連結ないし連結位相空間である」とは、
　「Xの開集合」であるとともに「Xの閉集合」でもある「Xの部分集合」が空集合とXに限られ、
　　空集合とXを除く全ての「Xの部分集合」が、「『Xの開集合』かつ『Xの閉集合』」を満たさない　　
　ことをいう。　　
(定義1と定義2の関係)
「連結位相空間」の定義1と、「連結位相空間」の定義2は、同値。　
※位相空間における連結性の具体例：R²上の連結性、Rⁿ上の連結性　

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定義：連結部分集合･連結部分空間
[松坂『集合・位相入門』5章§1-A連結位相空間(p.195-6);斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.2-3(p.160);矢野『距離空間と位相構造』5.1.1節連結空間(p.165);]
(設定)
　X:　　　　(普遍)集合　　
　(X, O) :　　位相空間　　
　A:　　Xの部分集合　
(定義1)　　
「『位相空間(X, O)の部分集合A』が連結部分集合ないし連結部分空間である」とは、
Aが、「Xの部分位相空間」として、連結であることをいう。
(定義2)[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.3(p.160)松坂『集合・位相入門』5章§1-A補題(p.196);]
「『位相空間(X, O)の部分集合』Aが連結部分集合ないし連結部分空間」であるとは、
次の4条件を同時に満たす「Xの開集合」U,Vが存在しないことをいう。
　　　条件1：U∩A≠φ　
　　　条件2：V∩A≠φ　
　　　条件3：A ⊂ ( U∪V )　
　　　条件4：A∩U∩V=φ　　
(定義1と定義2の関係)
「連結部分空間」の定義1と、「連結部分空間」の定義2は、同値。
　※証明→斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.3.3(p.160)松坂『集合・位相入門』5章§1-A補題(p.196)　
※位相空間における連結性の具体例：R²上の連結性、Rⁿ上の連結性　

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矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 5.1.1節連結空間(p.165)
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第5章位相空間(その2)5.3.1 (p.160)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。5章§1-A連結位相空間(p.195)。
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第27講コンパクト空間と連結空間(pp.187-)。
佐久間一浩『集合・位相―基礎から応用まで―』共立出版、2004年、4.11 (p.79)。