閉包作用素・閉包
[トピック一覧：閉包作用素・閉包]
・閉包作用素・閉包の定義、
・閉包作用素と開集合系の関係、閉包作用素と閉集合系の関係、
閉包作用素と近傍系、閉包作用素と開核作用素の関係、
※位相関連ページ：開集合系・開集合、閉集合系・閉集合、近傍系・近傍、
開核作用素・開核、閉包作用素・閉包
位相空間・位相の定義、誘導位相、部分位相空間・相対位相、
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定義：閉包作用素の公理 (クラトウスキの公理)
[『岩波数学事典』項目14B; 彌永『集合と位相』II.§2.1閉包写像と位相空間 (p.173);
矢野『距離空間と位相構造』2.1.1位相:定理2.2(p.60);斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』項目4.1.13 (p.105.);
松坂『集合・位相入門』第4章§2-C (p.158-9);]
(舞台設定)
X: 集合(空間)。ここでの考察の範囲での普遍集合。
(本題)
Xのベキ集合からXのベキ集合への写像：A→Aaのなかで、
(つまり、Xのすべての部分集合Aに対しXの部分集合Aaを対応させる写像：A→Aaのなかで)
以下の4条件を満たす写像A→Aa を、閉包作用素・閉包作用子・閉包写像closure mappingなどと呼ぶ。
また、このAaをAの閉包closure、Aaに属す点をAの触点adherent pontと呼ぶ。
(条件1)
すなわち、φa=φ
(条件2)
すなわち、(A∪B) a= A a∪B a
(条件3)
すなわち、 Aa⊃A
(条件4)
すなわち、 Aaa = Aa
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定理：
閉包作用素と開集合系
[彌永『集合と位相』II.§2.2閉集合開集合 (pp.179-180;183-4);松坂『集合・位相入門』第4章§2-C (pp.159);
矢野『距離空間と位相構造』2.1.1位相(pp.60-61);『岩波数学事典』項目14B ]
位相(開集合系)Oに同伴する閉包作用素・閉包写像(彌永『集合と位相』II.§2.2 (p. 184)
閉包作用素・閉包写像によって定まる位相(開集合系)O (彌永『集合と位相』II.§2.2 (p. 184)
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定理：
閉包作用素と閉集合系
[『岩波数学事典』項目14B; 彌永『集合と位相』II.§2.2閉集合開集合 (pp.179-180) ;
松坂『集合・位相入門』第4章§2-C (pp.157-8) 矢野『距離空間と位相構造』2.1.1位相(pp.60-61);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』項目4.1.11-13 (p.104-5);]
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定理：
閉包作用素と近傍系
[『岩波数学事典』項目14B;彌永『集合と位相』II.§2.4近傍系と位相 (p.194) ;]
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定理：
閉包作用素と開核作用素
[『岩波数学事典』項目14B; ;松坂『集合・位相入門』第4章§2-C 補題(pp.157);]
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Reference
日本数学会編集『
岩波数学事典(第三版)』岩波書店、1985年、項目14位相空間。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 2章位相空間2.1位相構造2.1.1位相(pp.56-62)
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第4章位相空間(その1)§1位相空間の定義・開集合と閉集合4.1.1-(pp.99-)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。第4章§2位相空間(pp.152-165)。P.164での著者による注意を読みおとさないように。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：集合と位相 I・II』 岩波書店、1977年。 II.位相第2章位相空間§2.1閉包写像と位相空間-§2.3近傍(pp.173-190)
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第24講位相空間(pp.166-172)。
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