Rnにおける直交補空間の性質トピック一覧  〜  数学についてのwebノート

  直交補空間は部分空間部分空間とその直交補空間への直和分解Rn上の演算の部分空間と直交補空間への分解
  
直交補空間の直交補空間直交補空間の包含関係直交補空間と和空間    

ユークリッド空間Rnにおける直交補空間関連ページ:    
                 
直交補空間の定義/直交補空間の基底・次元/直交射影/部分空間の直交 
実ベクトル空間全般における直交補空間関連ページ:直交補空間の定義/直交補空間の性質/直交射影/部分空間の直交
ユークリッド空間Rn関連ページ:
   
ユークリッド空間Rnの定義〜内積・ユークリッドノルム・ユークリッド距離/内積の性質/
   正規直交系・正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系・正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/
   計量同型写像/
   部分空間の正規直交系・正規直交基底の定義/部分空間における正規直交基底の存在と構成
線形代数目次総目次

定理:ユークリッド空間Rnの部分空間の直交補空間は、Rnの部分空間

舞台
設定

R 実数体R  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2n次元数ベクトル
   具体的に書くと、v11, v12, , v1nRとして、v1=( v11, v12, , v1n )n  
           
v21, v22, , v2nRとして、v2=( v21, v22, , v2n )n  
v1v2n次元数ベクトルv1,v2自然な内積
     これによって、
n計量実ベクトル空間となる。 
v‖:計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
           (
自然な内積を用いて定義される) 
d (v1,v2)ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離  
Rn,d):n次元ユークリッド空間  
W :n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間 
W :W直交補空間    

[文献1]
佐武『
線形代数学』V§3(p.101):証明無;
木村
線形代数3.5(p.66);
佐和『回帰分析2.1.4(p.21):証明無;;

[
文献2]
砂田
行列と行列式』§7.1-(e)補題7.24(p.249):証明付;
志賀
固有値問題309(p.71):証明付;
永田
理系のための線形代数の基礎4.3(p.119)1;

本題

n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間W直交補空間Wも、    
n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間となる。   

証明

n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間W直交補空間Wが、    
n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間となることは、
Wが、Rnの部分ベクトル空間になるための必要十分条件 
  
Q1Wは、nでない部分集合論理記号で表すと、WRnかつWφ
  
Q2Wは「nに定められているベクトルの加法」について閉じている。
    つまり、
W属す限りで任意n次元数ベクトルu,v に対して、u+v W 
          
論理記号で表すと、( u,v W )( u+v W)。
  
Q3Wは「nに定められているスカラー乗法」について閉じている。
    
W属す限りで任意n次元数ベクトルvと、任意スカラーaRに対して、
       
avW   
    
論理記号で表すと、( vW )(aR )( avW )。
をすべて満たすことからわかる。
 
[Q1Wが満たすことの証明]  
 「
W直交補空間Wは、
     
W={ xRn | すべてのyWRnにたいして、xy= } 
 と定義された。
 このように、 「
W直交補空間Wとは、
 一定の条件を満たす
n次元数ベクトル空間Rn、すなわちn次元数ベクトル
 をあつめたものであるから、
 
Wは、n部分集合であることは明らか。
 また、
x零ベクトルとおくと、
   すべての
yWRnにたいして、xy=0 を満たすことから、 
 
Wには、少なくとも零ベクトル属すことがわかる。 
 したがって、
Wφである。 
 
[Q2Wが満たすことの証明]  
 ・「
W直交補空間W属す限りで任意n次元数ベクトルu,v は、
    すべての
yWRnにたいして、uy=0、vy=  …(1) 
  を満たす。   ∵
直交補空間の定義  
 ・「W直交補空間W属す限りで任意n次元数ベクトルu,v にたいして、
    
(u+v )yuyvy   ∵内積の線形性1 
         =0+0    ∵ 
(1) 
          =0    
  したがって、
直交補空間の定義より、
  「
W直交補空間W属す限りで任意n次元数ベクトルu,v ベクトル和 
     
u+v  
  も、「
W直交補空間W属す。   
  
[Q3Wが満たすことの証明]  
 ・「
W直交補空間W属す限りで任意n次元数ベクトルv は、
    すべての
yWRnにたいして、vy=  …(2) 
  を満たす。   ∵
直交補空間の定義  
 ・「W直交補空間W属す限りで任意n次元数ベクトルv
  
任意スカラーaRに対して、
    
( av )ya ( v )y   ∵内積の線形性2 
         =
a0    ∵ (1) 
          =0    
  したがって、
直交補空間の定義より、 
  「
W直交補空間W属す限りで任意n次元数ベクトルv 任意スカラー倍
       
avW  (aR ) 
    も、「
W直交補空間W属す

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

 

定理:ユークリッド空間Rnは、その部分空間とその直交補空間に直和分解される

舞台
 設定

R 実数体R  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2n次元数ベクトル
   具体的に書くと、v11, v12, , v1nRとして、v1=( v11, v12, , v1n )n  
           
v21, v22, , v2nRとして、v2=( v21, v22, , v2n )n  
v1v2n次元数ベクトルv1,v2自然な内積
     これによって、
n計量実ベクトル空間となる。 
v‖:計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
           (
自然な内積を用いて定義される) 
d (v1,v2)ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離  
Rn,d):n次元ユークリッド空間  
W :n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間 
W :W直交補空間    

[文献1]
佐武
線形代数学』V§3定理6(p.101):証明付;p.102;
佐和『回帰分析
  
2.1.4(p.22-3);
久米『数理統計学1.9.(p.9)

[文献2]
砂田
行列と行列式』§7.1-(e)補題7.25(1)(p.249):証明付;
志賀
固有値問題30
9(p.71):証明付;
永田
理系のための線形代数の基礎
定理
4.3.1(p.119);

定理1

n次元数ベクトル空間Rnは、
Rn部分ベクトル空間Wと、「W直交補空間W直和分解され、
   
と表せる。   

定理2

Wが「n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間」であるならば、 
任意のxRnにたいして、
 ある
x'Wと、ある x''W が一意に存在して、  
  
xx'x''   
       
*右辺のは、n次元数ベクトル空間Rnに定められたベクトル和 
と一意的に表せる。 (
直和分解の定義に遡って、定理1を書き下すと、明らか)  
    

計量実ベクトル一般において
※活用例:
直交射影  

定理1
証明

Rnが、「Rn部分ベクトル空間Wと、「W直交補空間W直和分解されることを示すには、直和分解の定義より、以下の2点について示せばよい。
(T) WW={}  
(U) Rnは、WWとの和空間。すなわち、Rn=WW 。  
    つまり、
任意のxRnにたいして、
        ある
x'Wと、ある x''W が存在して、  
        
xx'x''  と表せる。 

[文献]
佐武『線形代数学』V§3定理6(p.102):証明付
砂田『
行列と行列式

(T) WW={} を示す。 
  
Wとは、Wに属すすべてのn次元数ベクトル直交するn次元数ベクトルの集合として定義された。
  したがって、
  
(WW)に属すn次元数ベクトル、すなわち、Wに属し、かつ、Wにも属すn次元数ベクトルは、
  
Wに属す自分自身とも直交しなければならない。
  ところが、
自然な内積の正値性から、自分自身と直交するのは、零ベクトルだけ。
  したがって、
  
WW={}   
(U) Rn=WW 、すなわち、(xRn) (x'W) (x''W)xx'x'')を示す。
 
Step1: 準備
  Rn任意の部分ベクトル空間には、正規直交基底が存在する()。   
  したがって、「
Rn部分ベクトル空間Wにも正規直交基底が存在する。
  
W正規直交基底の一つを、{ v1 , v2 , , vn }とおく。 
 
Step2: 主張  
  「
Rn=WW 」すなわち、(xRn) (x'W) (x''W)xx'x''
  を示すためには、
  
任意のxRnにたいしてxx'x''かつx'Wかつx''Wを満たすx'x''の実例を一つあげればよい。 
  ここでは、
  
任意のxRnにたいして、
     
x' (xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vn   
     
x'' xx' )  
  とすると、
  これが、
  
任意のxRnにたいしてxx'x''かつx'Wかつx''Wを満たすx'x''の実例となっていることを示す。
 Step3: x'Wを示す。  
  {
v1 , v2 , , vn }は、「W正規直交基底」であるから、
  
任意のxRnにたいして、
     
x' (xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vn   
  と定めると、
x'W となる。
  なぜなら、
   
xv1, xv2,, xvnは、自然な内積の定義により、スカラー(実数)となるから、
   
x' (xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vn 
   は、
v1 , v2 , , vn 一次結合であり、したがって、W基底一次結合。 
   
基底の定義によって、W基底一次結合は、Wに属すn次元数ベクトルを表すから、
   
x' (xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vnW 
 
Step4: x''Wを示す。  
  
任意のxRnにたいして、
     
x'' xx' )=x(xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vn)  
  と定めると、
   
x''W、つまり、任意のyWに対して、x''y=0 となる。
  なぜなら、
  
1. { v1 , v2 , , vn }は、「W基底」であるから、 
    
任意のyWは、 v1 , v2 , , vn 一次結合として表せる。
     つまり、
任意のyWについて、ya1v1a2v2anvn (a1,a2,,anR)  
  
2. 任意のyWに対して、
     
x''yx''a1v1a2v2anvn)  
        =
x''a1v1)+x''a2v2)+…+x''anvn)  ∵内積の線形性1  
        =
a1x''v1a2x''v2+…+anx''vn        ∵内積の線形性2  
        =0                   ∵
x''v1x''v2=…=x''vn=0 
  なお、最後の、          
    
x''v1x''v2=…=x''vn=0     
  は、次のようにして、確かめられる。
   
x''v1x(xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vnv1 
      =
xv1+((xv1 )v1v1+((xv2 )v2v1+…+((xvn )vnv1 ∵内積の線形性1 
      =
xv1+(−(xv1 )v1v1+(−(xv2 )v2v1+…+(−(xvn )vnv1 ∵逆ベクトルの定義 
      =
xv1(xv1 )v1v1)−(xv2 )v2v1)…−(xvn )vnv1) ∵内積の線形性2  
      =
xv1xv1 (xv2 )0…−(xvn )0 
           ∵{
v1 , v2 , , vn }は、「W正規直交基底」であるから、  
                   
v1v11v2v1v3v1=…=vnv1=0 
      =
xv1xv1  
      =0   
  
x''v2 =x(xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vnv2   
      =
xv2+((xv1 )v1v2+((xv2 )v2v2+…+((xvn )vnv2 ∵内積の線形性1 
      =
xv2+(−(xv1 )v1v2+(−(xv2 )v2v2+…+(−(xvn )vnv2 ∵逆ベクトルの定義 
      =
xv2(xv1 )v1v2)−(xv2 )v2v2)…−(xvn )vnv2) ∵内積の線形性2  
      =
xv2(xv1 )0−(xv2 )1(xv3 )0…−(xvn )0  
           ∵{
v1 , v2 , , vn }は、「W正規直交基底」であるから、  
              
v2v21v1v2v3v2v4v2=……=vnv2=0 
      =
xv2xv2  
      =0   
    : 
   
x''vn =x(xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vnvn   
      =
xvn+((xv1 )v1vn+((xv2 )v2vn+…+((xvn )vnvn ∵内積の線形性1 
      =
xvn+(−(xv1 )v1vn+(−(xv2 )v2vn+…+(−(xvn )vnvn ∵逆ベクトルの定義 
      =
xvn(xv1 )v1vn)−(xv2 )v2vn)…−(xvn )vnvn) ∵内積の線形性2  
      =
xvn(xv1 )0−(xv2 )0…−(xvn )1  
           ∵{
v1 , v2 , , vn }は、「W正規直交基底」であるから、  
              
vnvn1v1vnv2vn=…=vn−1vn=0 
      =
xvnxvn  
      =0   
 
Step5: xx'x''を示す。  
   
x'' xx' ) と定めたのだから、明らか。  
 
Step6: 結論  
  以上から、
  
任意のxRnにたいして、
     
x' (xv1 )v1(xv2 )v2(xvn )vn   
     
x'' xx' )  
  とすると、
  これが、
  
任意のxRnにたいしてxx'x''かつx'Wかつx''Wを満たすx'x''の実例となっていることが、
  明らかになった。
   
  したがって、
  
(xRn) (x'W) (x''W)xx'x'') が成立する。
  つまり、
Rn=WW である。 

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

定理:ユークリッド空間Rn上のベクトル和・スカラー乗法・内積は、その部分空間とその直交補空間に分解される

舞台
 設定

R 実数体R  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2n次元数ベクトル
   具体的に書くと、v11, v12, , v1nRとして、v1=( v11, v12, , v1n )n  
           
v21, v22, , v2nRとして、v2=( v21, v22, , v2n )n  
v1v2n次元数ベクトルv1,v2自然な内積
     これによって、
n計量実ベクトル空間となる。 
v‖:計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
           (
自然な内積を用いて定義される) 
d (v1,v2)ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離  
Rn,d):n次元ユークリッド空間  
W :n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間 
W :W直交補空間    

[文献]

佐武
線形代数学』V§3(p.102);

定理

Wが「n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間」であるならば、
任意のx,y Rnにたいして、
 ある
x',y'W あるx'',y''W が一意に存在して、
  
xx'x'' ( x'W, x''W )  
  
yy'y'' ( y'W, y''W )  
       
*右辺のは、n次元数ベクトル空間Rnに定められたベクトル和 
 と一意的に表せて(
)、 
1.  xy=(x'y'x''y'') 
2.
 cxcx'cx''   
3.
 xyx'y'x''y''   
が成り立つ。 

意義

この定理が意味していること:
 
n次元数ベクトル空間Rnに定められた
   
1. ベクトル和
   
2. スカラー乗法
   
3. 内積
 の三演算は、それぞれ、
 
Rn部分ベクトル空間におけるベクトル和・スカラー乗法・内積と、
 その
直交補空間におけるベクトル和・スカラー乗法・内積との、
 
ベクトル和に分解できる。

 

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

定理:ユークリッド空間Rnの部分空間の直交補空間の直交補空間は、Rnの部分空間

舞台
 設定

R 実数体R  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2n次元数ベクトル
   具体的に書くと、v11, v12, , v1nRとして、v1=( v11, v12, , v1n )n  
           
v21, v22, , v2nRとして、v2=( v21, v22, , v2n )n  
v1v2n次元数ベクトルv1,v2自然な内積
     これによって、
n計量実ベクトル空間となる。 
v‖:計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
           (
自然な内積を用いて定義される) 
d (v1,v2)ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離  
Rn,d):n次元ユークリッド空間  
W :n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間 
W :W直交補空間    

[文献1]
佐武『
線形代数学』V§3(10)(p.102-3):証明付;
久米『数理統計学1.9.(p.9)


[文献2]
砂田『行列と行列式』§7.1-(e)補題7.25(2)(p.250);
永田『理系のための線形代数の基礎』系4.3.2(p.120);
志賀『固有値問題309(p.71):証明付;

本題

n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間W直交補空間直交補空間W)は、W。   

計量実ベクトル一般において

証明

佐武『線形代数学』V§3(10)(p.102-3);砂田『行列と行列式』 

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

 

定理:直交補空間の包含関係

舞台
 設定

R 実数体R  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2n次元数ベクトル
   具体的に書くと、v11, v12, , v1nRとして、v1=( v11, v12, , v1n )n  
           
v21, v22, , v2nRとして、v2=( v21, v22, , v2n )n  
v1v2n次元数ベクトルv1,v2自然な内積
     これによって、
n計量実ベクトル空間となる。 
v‖:計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
           (
自然な内積を用いて定義される) 
d (v1,v2)ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離  
Rn,d):n次元ユークリッド空間  
S1 , S2   :n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間 
S1 , S2 :S1 , S2直交補空間    

[文献1]


[文献2]
砂田『行列と行列式』§7.1-(e)8(p.250);
永田『理系のための線形代数の基礎4.3(p.119)1;

本題

  S1 S2  S2S1     

計量実ベクトル一般において

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

 

定理:ユークリッド空間Rnの直交補空間と和空間

舞台
 設定

R 実数体R  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2n次元数ベクトル
   具体的に書くと、v11, v12, , v1nRとして、v1=( v11, v12, , v1n )n  
           
v21, v22, , v2nRとして、v2=( v21, v22, , v2n )n  
v1v2n次元数ベクトルv1,v2自然な内積
     これによって、
n計量実ベクトル空間となる。 
v‖:計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
           (
自然な内積を用いて定義される) 
d (v1,v2)ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離  
Rn,d):n次元ユークリッド空間  
S1 , S2 :n次元数ベクトル空間Rn部分ベクトル空間 
S1 S2  :n次元数ベクトル空間Rn部分空間S1 , S2和空間 
S1 , S2 :S1 , S2直交補空間    

[文献1]
佐武『
線形代数学』V§3(11)(12)(p.102-3);
柳井竹内
射影行列・一般逆行列・特異値分解』§1.21.43(p.8);
[
文献2]
砂田
行列と行列式』§7.1-(e)8(p.250);

本題

 ・ ( S1 S2 ) = S1 S2   
 ・ 
( S1 S2 ) = S1 S2         

計量実ベクトル一般において

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

 

 

定理:直交補空間とゼロベクトル 
  
[志賀『固有値問題309(p.71);永田『理系のための線形代数の基礎4.3(p.119)1;] 

[トピック一覧:直交補空間の性質]

線形代数目次総目次

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、19864.3(p.119);
佐武一郎『
線形代数学(44)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学
30講シリーズ:線形代数30』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学
2線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『
線形代数入門』東京大学出版会、1966年、4章§6計量線形空間(p.123)
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)

数理統計学のテキスト
佐和隆光『
回帰分析 朝倉書店、1979年、。
久米均『
数理統計学』コロナ社、1984年、1.線形代数1.9.直交補空間(p.9)

[トピック一覧:直交補空間の性質]

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