Rnにおける直交補空間の基底・次元 [数学についてのwebノート]

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定理：ユークリッド空間Rⁿの部分空間の直交補空間の次元
舞台　設定	R ：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 v₁, v₂：実n次元数ベクトル　　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。　　　　　これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d）：n次元ユークリッド空間　　 W　：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　 W^⊥　：Wの直交補空間。したがって、Rⁿの部分ベクトル空間でもある（∵）。	[文献] 佐武『線形代数学』Ⅲ§3定理6(9) (pp.101-2):証明付; 佐和『回帰分析』2.1.4-式2.27(p.23); 柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2定理1.3(p.9);

本題	実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間Wの直交補空間の次元は、　　nから「Wの次元」を差し引いた値に等しい。　すなわち、　　dim (W^⊥) ＝ n－dimW

証明	Wは、実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間で、　 W^⊥は「Wの直交補空間」であるから、 Rⁿは、WとW^⊥に直和分解されて、　　と表せる。　（∵）これに対して、直和の次元に関する定理を適用して、　　　　dimＲⁿ ＝ dimW＋dim (W^⊥)　　　となる。 dimＲⁿ ＝ nであるから（∵）、　　　　n＝ dimW＋dim (W^⊥)

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定理：ユークリッド空間Rⁿ、その部分空間、その直交補空間の正規直交基底
舞台　設定	R ：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 v₁ , v₂：実n次元数ベクトル　　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。　　　　　これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d）：n次元ユークリッド空間　　 W　：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　 {u₁ , u₂ , …, u_r }　： Wの正規直交基底　 W^⊥　：Wの直交補空間	[文献1] 佐武『線形代数学』Ⅲ§3問2(p.102):証明なし;

本題	{u₁ , u₂ , …, u_r }が　実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間Wの正規直交基底を成しており、これに、Rⁿのなかから取り出した実n次元数ベクトルu_r＋1 , u_r＋2 , …, u_n を付け加えた　　{u₁ , u₂ , …, u_r , u_r＋1 , u_r＋2 , …, u_n }　が　　実n次元数ベクトル空間Rⁿの正規直交基底　を成すならば、　{u_r＋1 , u_r＋2 , …, u_n }　は、　　 Wの直交補空間W^⊥の基底をなす。

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。

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