直交補空間の性質 : トピック一覧


 ・直交補空間は部分空間 
 ・部分空間とその直交補空間への直和分解 
 ・直交補空間の直交補空間 
 ・直交補空間の包含関係 
 ・直交補空間と和空間  


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定理:Vの部分空間の直交補空間は、Vの部分空間 

【舞台設定】

 R  :実数体 
 V  :計量実ベクトル空間


定理:直交補空間の包含関係 

【舞台設定】

 R  :実数体 
 V  :計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。
 S1 , S2  :V部分空間 
 S1 , S2 :S1 , S2直交補空間 

【本題】 

  S1 S2  S2S1   

【文献】

 ・砂田『行列と行列式』§7.1-(e)問8(p.250)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』4.3(p.119)問1
 ・布川『線形代数と凸解析』定理4.10(p.74):証明付
 

定理:直交補空間と和空間 

【舞台設定】

 R  :実数体 
 V  :計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。
 S1 , S2  :V部分空間 
    
 S1 , S2 :S1 , S2直交補空間 

 S1S2  :Vの部分空間S1 , S2和空間 

【本題】 

 ・ ( S1 S2 ) = S1 S2   
 ・ ( S1 S2 )= S1 S2  

【文献】

 ・砂田『行列と行列式』§7.1-(e)問8(p.250)
 ・布川『線形代数と凸解析』定理4.10(p.74):証明付
 

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定理:直交補空間とゼロベクトル 


【舞台設定】

 R  :実数体 
 V  :計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。
 S  :V部分空間  
 S :S直交補空間  

【文献】

 ・志賀『固有値問題30講』9講(p.71);
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』4.3(p.119)問1    

reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、4章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門:行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。


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