ユークリッド空間Rnにおける正規直交基底の存在と構成　：　トピック一覧　

　・定理：シュミットの直交化法　
　・定理：n次元ユークリッド空間における正規直交基底の存在
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定理：シュミットの直交化法　　Orthogonalization of Schmidt, Orthonormalization of Schmidt　

　
【舞台設定】
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Ｒnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　
【本題】　
実n次元数ベクトルv1, v2, …, vnが、実n次元数ベクトル空間Rnの基底をなすならば　
実n次元数ベクトルv1, v2, …, vnから、n次元ユークリッド空間Rnの正規直交基底u1,u2,…, unを構成できる。

【文献】
　・砂田『行列と行列式』§7.1-(c)(p.246);
　・斎藤『線形代数入門』４章§6(pp.121-2);
　・布川『線形代数と凸解析』定理4.3(p.68)
　・志賀『固有値問題30講』9講(p.69);
　・永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.24;系4.25(p.118).


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定理：n次元ユークリッド空間における正規直交基底の存在　　

　
【舞台設定】　
R　　：実数体R　　
Rn　：実n次元数ベクトル空間　
x,y　：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Ｒnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　

【本題】
・n次元ユークリッド空間Rnには、正規直交基底が存在する。
　なぜなら、少なくとも、Rnの基本ベクトルが正規直交基底をなすから（∵）。

【文献】
　・永田『理系のための線形代数の基礎』系4.2.6(p.118);
　・斎藤『線形代数入門』４章§6定理6.3(p.122);
　・砂田『行列と行列式』§7.1-(c)定理7.17(p.245);
　・志賀『固有値問題30講』9講(p.68).

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定理：n次元ユークリッド空間における正規直交系と正規直交基底の存在　　


【舞台設定】　
R　　：実数体R　　
Rn　　：計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実n次元数ベクトル空間でもある。　　
x,y： 実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Ｒnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　

【本題】

　・n次元ユークリッド空間Rnには、正規直交系が存在し、
　　これにいくつかの実n次元数ベクトルを加えることで正規直交基底とすることができる。

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』系4.2.6(p.118)
　・砂田『行列と行列式』§7.1-(c)定理7.17(p.245)


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)

線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.2正規直交基底の存在と計量同型(p.116-);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121-)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。