実ベクトル空間の線形部分空間・部分ベクトル空間の定義 ： トピック一覧
・
部分ベクトル空間の定義
・部分ベクトル空間であることの必要十分条件：
1
/
2
※
実ベクトル空間の部分空間関連ページ：
部分ベクトル空間の性質
/
～に張られた部分ベクトル空間
/
和･直和
/
部分空間の次元
※
実ベクトル空間関連ページ：
実ベクトル空間の定義
/
一次結合
/
線形従属･線形独立
/
基底
/
次元
※
実ベクトル空間の部分空間の一般化：
体上のベクトル空間の部分空間
※
実ベクトル空間の部分空間の具体例：
R
n
の部分空間
→
線形代数目次
→
総目次
定義：線形部分空間
linear subspace
・部分ベクトル空間
【舞台設定】
R
：
実数体
(
実数をすべて集めた集合
）
V
：
実ベクトル空間
（
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」）
+
：
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの：
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
【本題】
「Wが、
実ベクトル空間
Vの
部分ベクトル空間
である」とは、
Wが
実ベクトル空間
Vの
部分集合
であって、
なおかつ
、
「
実ベクトル空間
Vに定められた
ベクトルの加法
"
+
"と
スカラー乗法
」を以って「Wにおける
ベクトルの加法
と
スカラー乗法
」と定義した場合に、Wが
実ベクトル空間
となる
ことをいう。
つまり、
実ベクトル空間
Vの部分ベクトル空間Wとは、次の4条件を満たすVの
部分集合
のこと
。
【条件Ⅰ-1】
「Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"」が「Wにおける
二項演算
」の定義を満たし、
したがって、
これをWにおける
ベクトルの加法
"
+
"と定義した場合に、
Wは、この
+
について
代数系
となること。
つまり、「Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"」によって、
任意
の
u,v
∈
Wに対して、それに対応する
u
+
v
∈
Wが一つずつ定まること。
【条件Ⅰ-2】
Wは、「Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"」に関して
加法群
(
加法に関する可換群
)をなすこと。
つまり、
-1. Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"が、「結合則：
(
∀
u,v,w
∈
W
)
(
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
)
」を満たすこと。
-2. Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"に関して、
零ベクトル
「
(
∀
v
∈
W
)
(
０
＋
v
=
v
かつ
０
＋
v
=
v
)
を満たす
０
∈
W
」が存在すること。
-3. Wのすべての
元
v
に対して、
Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"に関する
v
の
逆ベクトル
－
v
∈
Wが存在すること。
-4. Vにおける
ベクトルの加法
"
+
"が、「可換則：
(
∀
u,v
∈
Ｗ
)
(
u
+
v
=
v
+
u
)
」を満たすこと。
【条件Ⅱ-1】
「Vにおける
スカラー乗法
」が、「Wにおける
スカラー乗法
」の定義を満たすこと。
つまり、「Vにおける
スカラー乗法
」が、
任意
の
実数
(
実数体
R
の
元
)
a
と、Wの
任意
の
元
v
の組に対して、
Wの
元
を一意的に定める演算にもなっていること。
【条件Ⅱ-2】
「Vにおける
スカラー乗法
」が次の4条件を満たすこと。
-1.
任意
の
v
∈
W
に対して、
1
v
=
v
※左辺の
"1"
は
実数体
R
上で定義された
乗法の単位元
を指す。
-2.
結合則：
任意
の
実数
a,b
∈
R
と、
任意
の
v
∈
W
に対して、
(
ab
)
v
=
a
(
b
v
)
-3.
ベクトルに関する分配則：
任意
の
実数
a
∈
R
と、
任意
の
u
,
v
∈
W
に対して、
a
(
u
+
v
)=
a
u
+
a
v
※両辺の
"
+
"
は
V
上の加法
(
→条件
I-1)
を指す。
-4.
スカラーに関する分配則：
任意
の
実数
a,b
∈
R
と、
任意
の
v
∈
W
に対して、
(
a
+
b
)
v
=
a
v
+
b
v
※左辺の
"+"
は
実数体
R
上で定義された加法、右辺の
"
+
"
は
V
上の加法
(
→条件
I-1)
を指す。
【文献】
・『
岩波数学辞典
』項目210-F(p.571);
・永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.5(p.31)
・砂田『
行列と行列式
』定義5.19(p.161)
・神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1.2(p.106)
・ホフマン『
線形代数学I
』2.2部分空間(pp.34-5)
・佐武『
線形代数学
』Ⅲ§6(p.114)
・志賀『
線形代数30講
』21講(p.132):わかりやすい;
・藤原『
線形代数
』4.1(p.93):きちんとした定義なし
・斎藤『
線形代数入門
』４章§4線形部分空間(p.107)
【関連事項】
・部分ベクトル空間の例：
一次写像の像image
/部分空間の和空間
、
・部分ベクトル空間であるための必要十分条件：
1
/
2
・
体上のベクトル空間の部分空間
/
R
n
の部分空間
→[
トピック一覧：部分ベクトル空間
]
→
線形代数目次
・
総目次
定理：部分ベクトル空間であることの必要十分条件1
【舞台設定】
R
：
実数体
(
実数をすべて集めた集合
）
V
：
実ベクトル空間
（
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」）
+
：
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの：
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
【本題】
以下の２命題は、
同値
。
命題P：Wは、Vの
部分ベクトル空間
。
命題Q：WはVの
空
でない
部分集合
であり、
かつ、
任意
の
ベクトル
u,v
∈
Wと、
任意
の
スカラー
（
実数
）
c
∈
R
に対して、
c
u
+
v
∈
W
【文献】
・砂田『
行列と行列式
』定義5.19(p.162)
・ホフマン『
線形代数学I
』2.2部分空間:定理1(p.35)
【関連事項】
・
体上のベクトル空間の部分空間のケース
/
R
n
の部分空間のケース
→[
トピック一覧：部分ベクトル空間
]
→
線形代数目次
・
総目次
定理：部分ベクトル空間であることの必要十分条件2
【舞台設定】
R
：
実数体
(
実数をすべて集めた集合
）
V
：
実ベクトル空間
（
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」）
+
：
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの：
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
【本題】
以下の２命題は、
同値
。
命題P：Wは、Vの
部分ベクトル空間
。
命題Q：Wが次の3条件を満たす。
1. Wは、Vの
空
でない
部分集合
。
2.
任意
の
ベクトル
u,v
∈
Wに対して、
u
+
v
∈
W
[Wは「Vに定められている
ベクトルの加法
」について閉じている]
3.
任意
の
ベクトル
v
∈
Wと
スカラー
c
∈
R
に対して、
c
v
∈
W
[Wは「Vに定められている
スカラー乗法
」について閉じている]
※永田『
理系のための線形代数の基礎
』は、これを、
部分ベクトル空間
の定義としている。
【文献】
・永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.5(p.31)
・砂田『
行列と行列式
』定義5.19(p.161)
・松坂『
集合・位相入門
』3章§5C(p.133)
【関連事項】
・
体上のベクトル空間の部分空間のケース
/
R
n
の部分空間のケース
→[
トピック一覧：部分ベクトル空間
]
→
線形代数目次
・
総目次
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
【線形代数のテキスト】
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I
』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：
行列と行列式
』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『
線形代数学
(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：
線形代数30講
』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)21講線形写像の核と行列の階数(p.132):。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：
線形代数
』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91-)。
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、1966年、第４章§4線形部分空間(p.107).
【代数学のテキスト】
本部均『新しい数学へのアプローチ5：
新しい代数
』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：
環と体の理論
』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。
【数理経済学のテキスト】
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。