n次元ユークリッド空間における直交系・直交基底と内積　：　トピック一覧　　　
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　　　・定理：直交系の一次結合のあいだの内積
　　　・定理：正規直交系の一次結合のあいだの内積　
　　　・定理：直交基底の一次結合のあいだの内積
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定理：直交系の一次結合のあいだの内積　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);]

(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　

(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であって、
なおかつ、　　
実n次元数ベクトルx,yが、実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkの一次結合
　x＝a1v1+a2v2+…+akvk　（a1,a2,…,akは実数）　　　　
　y＝b1v1+b2v2+…+bkvk　（b1,b2,…,bkは実数）　　　　　
として表されるならば、
実n次元数ベクトルx,yの自然な内積 x・yは、
　　　x・y＝a1b1‖v1‖2+a2b2‖v2‖2+…+akbk‖vk‖2　　　　
と表される。
※なぜ？　
　x・y＝ ( a1v1+a2v2+…+akvk )・ ( b1v1+b2v2+…+bkvk )　　　
　　　　　＝ a1v1 ・ ( b1v1+b2v2+…+bkvk) + a2v2・ ( b1v1+b2v2+…+bkvk)+…+akvk・ ( b1v1+b2v2+…+bkvk)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵自然な内積の線形性１　
　　　　　＝a1v1・b1v1+ a1v1・b2v2+…+a1v1・bkvk+　　
　　　　　　a2v2・b1v1+a2v2・b2v2+…+a2v2・bkvk+…　　　　
　　　　　　…+akvk ・ b1v1+akvk ・ b2v2+…+akvk ・ bkvk　　∵自然な内積の線形性１　　
　　　　　＝a1b1 (v1・v1) + a1b2(v1 ・ v2)+…+a1bk(v1 ・ vk)+　　
　　　　　　a2b1(v2・v1)+a2b2(v2・v2)+…+a2bk(v2・ vk)+…　　　　
　　　　　　…+akb1(vk ・ v1)+akb2(vk・ v2)+…+akbk(vk・vk)　　∵自然な内積の線形性２　　
　　　　　＝a1b1(v1・v1)+a2b2(v2・v2)+…+akbk(vk・vk)　　　　∵実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkは直交系　
　　　　　＝a1b1‖v1‖2+a2b2‖v2‖2+…+akbk‖vk‖2　　　　　∵ユークリッドノルムの定義より　

　

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定理：正規直交系の一次結合のあいだの内積　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　
(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが正規直交系であって、
なおかつ、　　
実n次元数ベクトルx,yが、実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkの一次結合
　x＝a1v1+a2v2+…+akvk　（a1,a2,…,akは実数）　　　　
　y＝b1v1+b2v2+…+bkvk　（b1,b2,…,bkは実数）　　　　　
として表されるならば、
実n次元数ベクトルx,yの自然な内積 x・yは、
　　　x・y＝a1b1+a2b2+…+akbk　　　　
と表される。
※なぜ？　　　
　x・y＝a1b1‖v1‖2+a2b2‖v2‖2+…+akbk‖vk‖2　　　　
　　　　　　　　　∵v1,v2,…, vkが正規直交系ならば、v1,v2,…, vkは直交系でもあるから、
　　　　　　　　　　　直交系の一次結合のあいだの内積を適用。　　　　
　　　　　＝a1b1+a2b2+…+akbk　　　　　　

　　　　　∵v1,v2,…, vkが正規直交系ならば、v1,v2,…, vkそれぞれのユークリッドノルムはすべて1。　

　

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定理：直交基底の一次結合のあいだの内積　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.124);砂田『行列と行列式』§7.1-(c)内積 (p.245).]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　　
(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnがＲnの直交基底であるならば、
任意の実n次元数ベクトルx,yは、実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnの一次結合
　x＝a1v1+a2v2+…+anvn　（a1,a2,…,anは実数）　
　y＝b1v1+b2v2+…+bnvn　（b1,b2,…,bnは実数）　
として表せて、
実n次元数ベクトルx,yの自然な内積 x・yは、
　　　x・y＝a1b1‖v1‖2+a2b2‖v2‖2+…+anbn‖vn‖2　　　　
となる。
※なぜ？　
　v1,v2,…, vnがＲnの直交基底であるならば、v1,v2,…, vnはＲnの基底であり、
　　したがって、Ｒnに属す任意の実n次元数ベクトルを、v1,v2,…, vnの一次結合
　　　　　x＝a1v1+a2v2+…+anvn　（a1,a2,…,anは実数）
　　　　　y＝b1v1+b2v2+…+bnvn　（b1,b2,…,bnは実数）　
　　で表せる。　
　よって、直交系の一次結合のあいだの内積を適用して、
　　　　x・y＝a1b1‖v1‖2+a2b2‖v2‖2+…+anbn‖vn‖2としてよい。　
　

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定理：正規直交基底の一次結合のあいだの内積　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.124);
　　砂田『行列と行列式』§7.1-(c)内積 (p.245).]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　　
(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnがＲnの正規直交基底であるならば、
任意の実n次元数ベクトルx,yは、実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnの一次結合
　x＝a1v1+a2v2+…+anvn　（a1,a2,…,anは実数）　
　y＝b1v1+b2v2+…+bnvn　（b1,b2,…,bnは実数）　
として表せて、
実n次元数ベクトルx,yの自然な内積 x・yは、
　　　x・y＝a1b1+a2b2+…+anbn　　　　
となる。
※なぜ？　
　v1,v2,…, vnがＲnの正規直交基底であるならば、v1,v2,…, vnはＲnの基底であり、
　　したがって、Ｒnに属す任意の実n次元数ベクトルを、v1,v2,…, vnの一次結合
　　　　　x＝a1v1+a2v2+…+anvn　（a1,a2,…,anは実数）
　　　　　y＝b1v1+b2v2+…+bnvn　（b1,b2,…,bnは実数）　
　　で表せる。　
　よって、正規直交系の一次結合のあいだの内積を適用して、
　　　x・y＝a1b1+a2b2+…+anbn　　　　
　としてよい。　　　　　　　　　

　

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.2正規直交基底の存在と計量同型(p.116-);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121-)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(c)内積 (p.245).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。