| Rnの部分ベクトル空間の基底の諸定義：トピック一覧～数学についてのwebノート |
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定義：直交系、正規直交系、直交基底、正規直交基底 |
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※ 基底関連ページ：実n次元ベクトル空間Rnの基底/実n次元ベクトル空間Rnの部分空間の基底/計量実ベクトル空間の基底/ユークリッド空間Rnの基底 ※ユークリッド空間Rn関連ページ：ユークリッド空間Rn-内積･ノルム･距離/内積の性質/直交系・直交基底と内積/ 直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成 ※ユークリッド空間Rnの部分空間関連ページ：ユークリッド空間の部分空間の基底/直交補空間/直交射影/部分空間の直交 ユークリッド空間の部分空間の正規直交基底の存在 ※Rnの部分空間関連ページ：部分空間の定義/例/部分空間における線型独立と線型従属/～に張られた部分ベクトル空間/ 和･直和分解･補空間/部分空間の基底/部分空間の次元 →線形代数目次・総目次 |
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定義：ユークリッド空間 Rnの部分ベクトル空間の直交系 orthogonal system |
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設定 |
R ：実数体RRn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 v1, v2：実n次元数ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d ）：n次元ユークリッド空間 W：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間 すなわち、Wは以下を満たす。 1. W⊂Rn かつ W≠φ 2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。 3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。 （W,・ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間 （W,∥∥ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間 （W,d ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間 |
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定義 |
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが『Ｒnの部分ベクトル空間W』において直交系orthogonal systemであるとは、 ・v1,v2,…, vkがいずれも零ベクトルではなく、 ・v1,v2,…, vkからどのように異なる実n次元数ベクトルのペアをとっても、 そのペアが直交する ことをいう。 すなわち、 実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間』Wの直交系orthogonal systemであるとは、 ・v1,v2,…, vn≠〇 かつ ・任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj =vi1vj1+ vi2vj2+ …+ vinvjn =0 となることをいう。 |
[ 文献]柳井竹内 『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2(p.7); 佐武 『線形代数学』Ⅲ§3(pp.99-100); 佐和 『回帰分析』2.1.4(p.21); |
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計量実ベクトル空間の直交系/ユークリッド空間の直交系 | |
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[トピック一覧：ユークリッド空間Rnの部分空間の基底] →線形代数目次・総目次 |
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定義：ユークリッド空間 Rnの部分ベクトル空間の直交基底 orthogonal basis |
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設定 |
R ：実数体RRn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 v1, v2：実n次元数ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d ）：n次元ユークリッド空間 W：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間 すなわち、Wは以下を満たす。 1. W⊂Rn かつ W≠φ 2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。 3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。 （W,・ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間 （W,∥∥ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間 （W,d ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間 |
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定義 |
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間W』の直交基底orthogonal basisであるとは、 ・v1,v2,…, vnがいずれも零ベクトルではなく、 ・v1,v2,…, vnが、n次元ユークリッド空間（Rn,d ）において直交系であり、 ・v1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間W』の基底でもある ことをいう。 すなわち、 実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間』Wの直交基底orthogonal basisであるとは、 ・v1,v2,…, vn≠〇 かつ ・「任意のi,j=1,2,…,nについて、i≠j ならば vi・vj =0 」 かつ ・「v1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間』Wの基底である」こと をいう。 |
[ 文献]柳井竹内 『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2(p.7); 佐武 『線形代数学』Ⅲ§3(pp.99-100); 佐和 『回帰分析』2.1.4(p.21); |
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計量実ベクトル空間の直交基底/ユークリッド空間Rnの直交基底 | |
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実n次元ベクトル空間Rnの基底/実n次元ベクトル空間Rnの部分空間の基底 | |
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| Rnの部分ベクトル空間の正規直交系 orthonormal system | ||
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設定 |
R ：実数体RRn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 v1, v2：実n次元数ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d ）：n次元ユークリッド空間 W：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間 すなわち、Wは以下を満たす。 1. W⊂Rn かつ W≠φ 2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。 3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。 （W,・ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間 （W,∥∥ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間 （W,d ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間 |
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定義 |
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが『Ｒnの部分ベクトル空間W』において正規直交系orthonormal systemであるとは、 次の同値な条件のいずれかが満たされることをいう。 P1：v1,v2,…, vkが直交系であり、 かつ、 v1,v2,…, vkのそれぞれのユークリッドノルムが1であること P2：任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj =0 かつ ∥v1∥＝∥v2∥＝…＝∥vk∥＝1 」が満たされること P3：任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj =vi1vj1+ vi2vj2+ …+ vinvjn =0 かつ v1・v1＝v2・v2＝…＝vk・vk＝1 つまり、i=1,2,…,kについて、vi12+ vi22+ …+ vin2 ＝1 が満たされること P4：任意のi,j=1,2,…,kについて、vi・vj =δij （δはクロネッカーのデルタを表す） |
[ 文献]柳井竹内 『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2(p.7); 佐武 『線形代数学』Ⅲ§3(pp.99-100); 佐和 『回帰分析』2.1.4(p.21); |
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計量実ベクトル空間の正規直交系/ユークリッド空間の正規直交系 | |
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[トピック一覧：ユークリッド空間Rnの部分空間の基底] →線形代数目次・総目次 |
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定義：ユークリッド空間 Rnの部分ベクトル空間の正規直交基底 orthonormal basis |
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設定 |
R ：実数体RRn：実n次元数ベクトル空間 +：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法 v1, v2：実n次元数ベクトル 具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される） d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離 （Rn,d ）：n次元ユークリッド空間 W：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間 すなわち、Wは以下を満たす。 1. W⊂Rn かつ W≠φ 2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。 3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、 Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。 （W,・ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間 （W,∥∥ ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、Rnにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間 （W,d ）：Ｒnの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間 |
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定義 |
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnが 『Ｒnの部分ベクトル空間W』の正規直交基底orthonormal basisであるとは、 ・v1,v2,…, vnがいずれも零ベクトルではなく、 ・v1,v2,…, vnが正規直交系であり、 ・v1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間W』の基底でもある ことをいう。 すなわち、 実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間』Wの正規直交基底orthonormal basisであるとは、 ・v1,v2,…, vn≠〇 かつ ・「任意のi,j=1,2,…,nについて、vi・vj ==δij （δはクロネッカーのデルタを表す）」 かつ ・「v1,v2,…, vnが『Ｒnの部分ベクトル空間』Wの基底である」こと をいう。 |
[ 文献]柳井竹内 『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2(p.7); 佐武 『線形代数学』Ⅲ§3(pp.99-100); 草場『線形代数』定義5.4(p.131) 佐和 『回帰分析』2.1.4(p.21); |
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計量実ベクトル空間の正規直交基底/ユークリッド空間Rnの正規直交基底 | |
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実n次元ベクトル空間Rnの基底/実n次元ベクトル空間Rnの部分空間の基底 | |
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