ユークリッド空間Rnの基底の諸定義 ： トピック一覧
・定義：直交系、正規直交系、直交基底、正規直交基底
・定理：基本ベクトルは正規直交系・正規直交基底の一例
※計量実ベクトル空間Rn関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義
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定義：ユークリッド空間における直交系 orthogonal system
[永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);布川『線形代数と凸解析』定義4.4(p.68);]
(舞台設定)
R ：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
v1, v2：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn
v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間
(定義)
n次元ユークリッド空間において、
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vk（ただし、v1, v2,…, vk≠〇 ）が直交系orthogonal systemであるとは、
v1,v2,…, vkがいずれも零ベクトルではなく、
v1,v2,…, vkからどのように異なる実n次元数ベクトルのペアをとっても、そのペアが直交することをいう。
つまり、
n次元ユークリッド空間において実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系orthogonal systemであるとは、
v1,v2,…, vk≠〇
かつ
任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj =vi1vj1+ vi2vj2+ …+ vinvjn =0
となること
をいう。
※直交系からの正規直交系のつくりかた
定義：正規直交系 orthonormal system
[永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.121);
佐武『線形代数学』Ⅰ§6(p.34);砂田『行列と行列式』§7.1-(b)(p.243);布川『線形代数と凸解析』定義4.4(p.68);]
(舞台設定)
R ：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
v1,v2：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn
v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間
(定義)
n次元ユークリッド空間において、
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが正規直交系orthonormal systemであるとは、
次の同値な条件のいずれかが満たされることをいう。
P1： v1,v2,…, vkが直交系であり、かつ、v1,v2,…, vkのそれぞれのユークリッドノルムが1であること
P2：任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj =0
かつ
∥v1∥＝∥v2∥＝…＝∥vk∥＝1 」が満たされること
P3：任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj =vi1vj1+ vi2vj2+ …+ vinvjn =0
かつ
v1・v1＝v2・v2＝…＝vk・vk＝1 つまり、i=1,2,…,kについて、vi12+ vi22+ …+ vin2 ＝1
が満たされること
P4：任意のi,j=1,2,…,kについて、vi・vj =δij （δはクロネッカーのデルタを表す）
※直交系からの正規直交系のつくりかた
定義：直交基底 orthogonal basis
[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125);永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);]
(舞台設定)
R ：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
v1,v2：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn
v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間
(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnがＲnの直交基底orthogonal basisであるとは、
・v1,v2,…, vnがいずれも零ベクトルではなく、
・v1,v2,…, vnが直交系であり、
・v1,v2,…, vnが実n次元数ベクトル空間Rnの基底でもある
ことをいう。
すなわち、
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vnが直交基底orthogonal basisであるとは、
・v1,v2,…, vn≠〇
かつ
・「任意のi,j=1,2,…,nについて、i≠j ならば vi・vj =0 」
かつ
・「v1,v2,…, vnが実n次元数ベクトル空間Rnの基底である」こと
をいう。
定義：正規直交基底 orthonormal basis
[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125);永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);
砂田『行列と行列式』§7.1-(c)(p.245).斎藤『線形代数入門』４章§6(p.121);志賀『固有値問題30講』9講(p.68);
草場『線形代数』定義5.4(p.131)。]
(舞台設定)
R ：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
v1,v2：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn
v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間
(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vk（ただし、v1,v2,…, vk≠〇 ）がＲnの正規直交基底orthonormal basisであるとは、
・v1,v2,…, vkが正規直交系であり、かつ、v1,v2,…, vkが実n次元数ベクトル空間Rnの基底でもあること
すなわち、
・任意のi,j=1,2,…,kについて、 vi・vj ==δij （δはクロネッカーのデルタを表す）
かつ
「v1,v2,…, vkが実n次元数ベクトル空間Rnの基底である」こと
をいう。
定理：基本ベクトルは、正規直交系、正規直交基底 の一例
[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125);永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);
佐武『線形代数学』Ⅰ§6(p.34);砂田『行列と行列式』§7.1-(c)例7.15(p.245);草場『線形代数』定義5.4(p.131)]
(舞台設定)
R ：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
v1,v2：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn
v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
∥v∥：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間
(本題)
n次元ユークリッド空間Rnにおいて、
つまり、自然な内積、ユークリッドノルムが定義された実n次元数ベクトル空間Rnにおいて、
基本ベクトルは、Ｒnの正規直交系・正規直交基底 の一例をなす
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).
草場公邦『線形代数(増補版)』（森毅、斉藤正彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻）朝倉書店、1999年、5.2(p.131)。
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。