ユークリッド空間Rnの部分空間の直交：トピック一覧　　

　・定義：部分空間の直交性、直交分解　
　・定理：部分空間の直交の必要十分条件　　　　　

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定義：ユークリッド空間Rnの部分空間の直交　

舞台
設定

R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2：実n次元数ベクトル
　　具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn　
　　　　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　
W1、W2　：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田『行列と行列式』§7.1-(e)補題7.25(2)(p.250);

定義

実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間W1 , W2が互いに直交するとは、
W1 の任意の元と、W2 の任意の元が、直交することをいう。
すなわち、（∀x∈W1）（∀y∈W2）（x･y=０）　　　

記号

実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間W1 , W2が互いに直交する
ということを、
　　　「 W1⊥W2 」
　で表す。　　

定理：部分空間の直交の必要十分条件　

舞台
設定

R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2：実n次元数ベクトル
　　具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn　
　　　　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　
W1、W2　：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田『行列と行列式』§7.1-(e)(p.250);

定理

S1⊥S2　　⇔　　S1⊂S2⊥　　⇔　　S2⊂S1⊥　　

定義：ユークリッド空間Rnの直交分解　

舞台
設定

R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2：実n次元数ベクトル
　　具体的に書くと、v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )∈Ｒn　
　　　　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )∈Ｒn　
v1・v2：実n次元数ベクトルv1,v2の自然な内積。
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖v‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム
　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　
d (v1,v2)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　
W1、W2　：実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田『行列と行列式』§7.1-(e)(p.250);

定義

直和分解
　　　　
が直交分解であるとは、　
　W1⊥(W2＋…＋Wn)　　
　かつ　
　W2⊥(W1＋W3＋…＋Wn)　　
　かつ　
　W3⊥(W1＋W2＋W4＋…＋Wn)　　
　かつ
　W4⊥(W1＋W2＋W3＋W5＋…＋Wn)　　
　かつ
　：　　　
　かつ
　Wk⊥(W1＋…＋Wk−1＋Wk＋1＋…＋Wn)　　
　かつ
　：　　　
　かつ
　Wn⊥(W1＋…＋Wn−1)　　
が満たされることをいう。　　

　

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。