自然な内積の性質　：　トピック一覧　

・定理：零ベクトルとの内積/スカラー倍したベクトルのそれ自身との内積　　
・定理：ベクトルと行列との積とベクトルとの内積　　
・定理：シュヴァルツの不等式/三角不等式　　
　【関連ページ】
　　※計量実ベクトル空間Rn関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義
　　※ユークリッド空間Rn関連ページ：ユークリッド空間Rn-内積･ノルム･距離/内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/計量同型写像 
　　※ユークリッド空間Rnの部分空間関連ページ：ユークリッド空間の部分空間の基底/ユークリッド空間の部分空間の正規直交基底の存在/直交補空間/直交射影/部分空間の直交  
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定理　：　零ベクトルとの内積は０　　

　[砂田『行列と行列式』§7.1(a)定理7.9 (p.239);]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx, yの（自然な）内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
(本題)　　　
任意の実n次元数ベクトルxと零ベクトルとの（自然な）内積は０．
　　（∀x∈V）（　x・〇=〇・x=０）　
※活用→同じベクトルどおしの内積の平方根はノルムの定義を満たす。　　
※なぜ？　
　　x・〇=( x1, x2, …, xn )・( ０, ０, …, ０ )　
 　　　　　＝x1・０＋ x2・０＋ …＋ xn・０　　∵（自然な）内積の定義　　
　　　　　＝０　　

定理：線形性　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.1問2(p.114);砂田『行列と行列式』§7.1(a)定理7.9 (pp.240-1);
　　志賀『ベクトル解析30講』第11講(p.79);]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx, yの（自然な）内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
(本題)　　　
任意の実n次元数ベクトルxと任意の実数aに対して、
　　　　　　
※活用→同じベクトルどおしの内積の平方根はノルムの定義を満たす。　　
※なぜ？　　　　　
　　　　　∵自然な内積の線形性２　
　　　　　　　　　∵絶対値の性質　　　


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定理　：　ベクトルと行列との積とベクトルとの内積　

　[佐武『線形代数学』Ⅰ§6 (p.32);松坂『解析入門4』18.2補第(p.103)]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
Rm：実m次元数ベクトル空間　　　
x：実n次元縦ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=t( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
y：実m次元縦ベクトル
　　　具体的に書くと、y1, y2, …, ym∈Rとして、y=t( y1, y2, …, ym )∈Ｒm　　
・： Ｒnに定義された（自然な）内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
〈 , 〉：Ｒmに定義された（自然な）内積。これによって、Ｒmは計量実ベクトル空間となる。
A：n行m列の実行列　　　
(本題)　　　
任意の実n次元縦ベクトルx, 任意の実m次元縦ベクトルy,任意のn行m列の実行列Ａに対して、
　x・(Ay )=〈 ( tA)x , y 〉　　
※なぜ？→双一次形式を参照せよ。　
※活用例→定理「直交変換は直交行列で表現される」の証明　


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シュヴァルツの不等式　　　

　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);
　　砂田『行列と行列式』§7.1(a)定理7.9 (pp.240-1)志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.78-9);
　　志賀『固有値問題30講』8講(p.61);草場『線形代数』定理5.1(p.128);布川『線形代数と凸解析』定理4.1(p.66);;
　　佐和『回帰分析』2.1.4内積と射影(p.21);柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.1(p.2)]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx, yの（自然な）内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
(本題)
任意の実n次元数ベクトルx,yについて、次の不等式が成立する。　
　　｜x・y｜≦　　　　　
　　つまり、
　　　実n次元数ベクトルx,yの（自然な）内積の絶対値は、
　　　「実n次元数ベクトルxのノルム」と「実n次元数ベクトルyのノルム」の積をこえない。　　
※なぜ？　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);砂田『行列と行列式』§7.1(a)定理7.9 (pp.240-1)]
・xが零ベクトルであるときは、両辺０で成立。∵零ベクトルとの内積、(自然な)内積の性質3：正値性　　
・以下、xが零ベクトルでないケースを考える。　　…(1)　
・任意の実数cにたいして、(cx＋y)・ (cx＋y)≧０　　…(2)　
　　　　　　　　∵(自然な)内積の性質3：正値性　
・(cx＋y) ・(cx＋y)　　
　　　　＝(cx・cx＋y)＋(y・cx＋y)　　∵内積の線形性1　
　　　　＝(cx・cx)＋(cx・y)＋(y・cx＋y)　　∵内積の線形性1　
　　　　＝(cx・cx)＋(cx・y)＋(y・cx)＋(y・y)　　∵内積の線形性1　
　　　　＝(cx・cx)＋2(cx・y)＋(y・y)　　　∵内積の対称性　
　　　　＝c(x・cx)＋2(cx・y)＋(y・y)　　　∵内積の線形性2　
　　　　＝c2(x・x)＋2(cx・y)＋(y・y)　　　∵内積の線形性2　
　　　　＝c2(x・x)＋2c(x・y)＋(y・y)　　　∵内積の線形性2　
　　　　　　　　　…(3)
・ここまで、cは、任意の実数とされていたのだから、
　c=－x・y/x・x　とおいたところで、(2)（3）に変更はない。　　
　(3)に、c=－x・y/x・x　を代入すると、　
　(cx＋y)・(cx＋y)＝(x・y)2 /(x・x)－2 (x・y)2/(x・x)＋(y・y)　
　　　　　　　　　＝（(x・y)2 －2(x・y)2）/(x・x)＋(y・y)　
　　　　　　　　　＝－(x・y)2/(x・x)＋(y・y)　　　
　これに(2)を適用して、
　　－(x・y)2/(x・x)＋(y・y)≧０
　　　　　(y・y)≧(x・y)2/(x・x)　∵両辺に(x・y)2/(x・x)を加える　
　　　　　(x・x) (y・y)≧(x・y)2　　∵両辺に(x・x)をかける　
　　　　　(x・x) (y・y)≧｜(x・y)｜2　　∵絶対値の性質　　
　　　　　｜(x・y)｜2≦(x・x) (y・y)　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　


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定理　：　三角不等式　

　　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114)
　　　砂田『行列と行列式』§7.1(a)定理7.9 (pp.240-1);志賀『ベクトル解析30講』第11講(p.79);
　　　志賀『固有値問題30講』8講(p.63);布川『線形代数と凸解析』定理4.2(p.67);
　　柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.1(p.2)　　.]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
x・y：実n次元数ベクトルx, yの（自然な）内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。
(本題)
任意の実n次元数ベクトルx,yについて、次の不等式が成立する。　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　＊左辺の＋はベクトル和、右辺の＋は実数の和。　　　
　　つまり、
　　実n次元数ベクトルx,yのベクトル和とそれ自身との（自然な）内積の平方根は、
　　「実n次元数ベクトルxとそれ自身との（自然な）内積の平方根」と
　　「実n次元数ベクトルyとそれ自身との（自然な）内積の平方根」の和をこえない。　
※活用→同じベクトルどおしの内積の平方根はノルムの定義を満たす。　　
※なぜ？　　
　　　　
　　　　＝ ( x＋y ) ・ ( x＋y ) 　　
　　　　＝x・(x＋y)＋y・(x＋y)　　　　　　　　∵内積の線形性1　　
　　　　＝x・x＋x・y＋y・ (x＋y)　　　　　∵内積の線形性1　
　　　　＝x・x＋x・y＋y・x＋y・y　　∵内積の線形性1　
　　　　＝x・x＋2x・y＋y・y　　　　　　∵内積の対称性　
　　　　≦x・x＋2｜x・y｜＋y・y　　　　∵絶対値の性質　　　
 　　　　≦x・x＋2＋y・y　　　　∵シュヴァルツの不等式　
　　　　　　　　
　

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(reference)

線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.239-241).
草場公邦『線形代数(増補版)』（森毅、斉藤正彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻）朝倉書店、1999年、5.1(pp.127-130)。柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§1.1.1。
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。
数理統計学のテキスト
佐和隆光『回帰分析』 朝倉書店、1979年、2.1ベクトルとベクトル空間。