Rnにおける直交射影　[数学についてのwebノート]

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定義：直交射影・正射影perpendicular projection
舞台設定	R　　：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 v₁, v₂：実n次元数ベクトル　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。　　　　　これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d）：n次元ユークリッド空間　　 W　：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　 W^⊥　：Wの直交補空間	[文献1] 佐武『線形代数学』　　Ⅲ-研究課題I.冪等行列･射影子(p.128)。柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§2.2(p.25-6) 久米均『数理統計学』1.41正射影(p.38)。佐和『回帰分析』　2.1.4内積と射影(p.22)。 [文献2] 砂田『行列と行列式』§7.2-(c)(p.257); 志賀『固有値問題30講』10講(p.76); 永田『理系のための線形代数の基礎』4.3(p.120)
定義	実n次元数ベクトル空間Rⁿは、「Rⁿの部分ベクトル空間」Wと、「Wの直交補空間」W^⊥へ直和分解され、　　　と表せるが（∵）、この直和が定めるRⁿからWへの射影を、　　　　 RⁿからWへの直交射影(子)・正射影(子)などと呼ぶ。　　　。

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定理：　直交射影の必要十分条件
舞台設定	R　　：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 v₁, v₂：実n次元数ベクトル　　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。　　　　　これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム　　　　　　　　　　　（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d）：n次元ユークリッド空間　　 W　：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　 W^⊥　：Wの直交補空間	[文献1] [文献2] 砂田　『行列と行列式』　　§7.2-(c)(p.258); 志賀　『固有値問題30講』　　10講(p.80):証明付;
定理	次の2つの命題は同値である。　　命題P：写像fは、ＲⁿからWへの直交射影である。　　　命題Q：写像fは、　　　　　　　f〇f＝f　かつ　f^*＝f　　　　　　　　　を満たす。　　。

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲ-研究課題I.冪等行列･射影子(p.128)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).
柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§2.2(p.25-6)

数理統計学のテキスト
佐和隆光『回帰分析』朝倉書店、1979年、2.1.4内積と射影(p.22)。
久米均『数理統計学』コロナ社、1984年、1.線形代数1.41.正射影(p.38)。

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