ユークリッド空間Rnの直交系・正規直交系の性質　：　トピック一覧　

　・定理：直交系からの正規直交系の生成　
　・定理：直交系・正規直交系は一次独立
　・定理：ベクトル和のノルムの2乗
　・定理：ベッセルの不等式　　　　　
　　【関連ページ】
　　※計量実ベクトル空間Rn関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義
　　※ユークリッド空間Rn関連ページ：ユークリッド空間Rn-内積･ノルム･距離/内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成　
　　※ユークリッド空間Rnの部分空間関連ページ：ユークリッド空間の部分空間の基底/ユークリッド空間の部分空間の正規直交基底の存在/直交補空間/直交射影/部分空間の直交　　　
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定理：直交系からの正規直交系の生成　　 　

[永田『理系のための線形代数の基礎』補題4.2.1(p.116);]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）： n次元ユークリッド空間　　
(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であるならば、
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkをそれぞれ単位ベクトル化した　　　　　　　
　　v'1 = ( 1/‖v1‖ )v1 , v'2 = ( 1/‖v2‖ )v2 , …, v'k= ( 1/‖vk‖ ) vk 　
は、正規直交系である。
※なぜ？→単位ベクトル化　　　　　　　　

定理：直交系・正規直交系は一次独立　　

　[砂田『行列と行列式』§7.1-(b)正規直交系(p.243)証明付;斎藤『線形代数入門』４章§6[6.1](p.121)証明付;
　　永田『理系のための線形代数の基礎』補題4.2.2(p.116);布川『線形代数と凸解析』定理4.3(p.68)]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
(本題)
1. 実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であるならば、実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkは一次独立である。　　
したがって、
2. 実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが正規直交系であるならば、
　　実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkは一次独立である。　
(証明)
一次独立の定義に遡って、
命題「実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であるならば、
　　　　実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkは一次独立である」
をとらえ返すと、
「実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であり、かつ、c1v1+c2v2+…+ckvk=〇（c1 , c2 ,… , ck ∈R ）ならば、
　　c1 = c2 =…=ck =0　」　
という命題にほかならないことがわかる。この命題が成り立つことを、以下で示す。
　Step0：仮定の確認　
　・仮定1：実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系。
　　　　　　つまり実n次元数ベクトルv1,v2,…, vk≠〇　…(仮定1-1)　　　　
　　　　　　　　　　任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば vi・vj=0　…(仮定1-2)　　
　・仮定2：c1v1+c2v2+…+ckvk=〇（c1 , c2 ,… , ck ∈R ）　　　　
　Step1：　c1 =０　の証明　　
　・（c1v1+c2v2+…+ckvk）・v1 = 〇・v1　　∵仮定2　
　　　　　　　　　　　　　　=0　　　　　　　∵零ベクトルとの内積は０　
　・（c1v1+c2v2+…+ckvk）・v1=（c1v1）・v1＋（c2v2）・v1＋…＋（ckvk）・v1　　　　∵自然な内積の線形性１　
　　　　　　　　　　　　　　=c1（v1・v1）＋c2（v2・v1）＋…＋ck（vk・v1）　∵自然な内積の線形性２　
　　　　　　　　　　　　　　=c1（v1・v1）　　　∵仮定1-2　　
　・上記2点より、c1（v1・v1）=0　　　
　　ところが、仮定1-1と自然な内積の正値性より、v1・v1≠0　であるから、
　　c1 =0　。
　Step2：　c2 =0　の証明　　
　・（c1v1+c2v2+…+ckvk）・v2 =〇・v2　　∵仮定2　
　　　　　　　　　　　　　　=0　　　　　　　∵零ベクトルとの内積は０　　　
　・（c1v1+c2v2+…+ckvk）・v2 =（c1v1）・v2＋（c2v2）・v2＋…＋（ckvk）・v2　　∵自然な内積の線形性１　
　　　　　　　　　　　　　=c1（v1・v2）＋c2（v2・v2）＋…＋ck（vk・v2）　∵自然な内積の線形性２　
　　　　　　　　　　　　　　=c2（v2・v2）　　　∵仮定1-2　　
　・上記2点より、c2（v2・v2 ）= 0　　　
　　ところが、仮定1-1と自然な内積の正値性より、v2・v2 ≠ 0　であるから、
　　c2 =0　。
　：　
　：　
　Step-k：　ck =０　の証明　　
　・（c1v1+c2v2+…+ckvk）・vk=〇・vk 　　∵仮定2　
　　　　　　　　　　　　　　=0　　　　　　　∵零ベクトルとの内積は０　　　
　・（c1v1+c2v2+…+ckvk）・vk=（c1v1）・vk＋（c2v2）・vk＋…＋（ckvk）・vk　∵自然な内積の線形性１　
　　　　　　　　　　　　　=c1（v1・vk）＋c2（v2・vk）＋…＋ck（vk・vk）　∵自然な内積の線形性２　
　　　　　　　　　　　　　　=ck（vk・vk）　　　∵仮定1-2　　
　・上記2点より、ck（vk・vk）= 0　　　
　　ところが、仮定1-1と自然な内積の正値性より、v2・v2 ≠ 0　であるから、
　　ck =0　。
以上によって、仮定1,仮定2のもとで、つねに、c1 = c2 =…=ck =0　が成り立つことが示された。

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定理：ベクトル和のノルムの2乗　　

　[砂田『行列と行列式』§7.1-(b)例題7.12(p.243)　]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　
(本題)
・実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であるならば、
　　(v1+v2+…+vk )・(v1+v2+…+vk )=v1・v1＋v2・v2＋…＋vk・vk 　
・上記の命題を、ユークリッドノルムを使って書きなおすと、　　　　
　　実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であるならば、
　　　‖v1+v2+…+vk‖2＝‖v1‖2＋‖v2‖2＋…＋‖vk‖2　　　　　
※なぜ？　　
　自然な内積の線形性１と、実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが直交系であるがゆえにi≠j ならば vi・vj=0　
　による。

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定理：ベッセルの不等式　

　　[砂田『行列と行列式』§7.1-(b)正規直交系(p.243):証明付　]
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
x,y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
x・y：実n次元数ベクトルx,yの自然な内積。これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　
‖x‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
d (x,y)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　
（Rn,d ）：n次元ユークリッド空間　　

(本題)
実n次元数ベクトルv1,v2,…, vkが正規直交系であるならば、　
任意の実n次元数ベクトルxにたいして、次の不等式が成り立つ。
　　　｜x・v1｜2＋｜x・v2｜2＋…＋｜x・vk｜2≦‖x‖2　


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.2正規直交基底の存在と計量同型(p.116-);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121-)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。