実n次元数ベクトル空間における内積と計量実ベクトル空間Rnの定義　：　トピック一覧　

・定義：内積/計量実ベクトル空間/内積により定まるノルム/単位ベクトル
　　　　ノルムから定められる距離/ベクトルの直交/ベクトルのなす角　
・定理：単位ベクトル化/計量実ベクトル空間－ノルム空間－距離空間の関係　　　　
　　　
　【関連ページ】

　　※計量実ベクトル空間Rn関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義
　　※ユークリッド空間Rn関連ページ：ユークリッド空間Rn-内積･ノルム･距離/正規直交系･正規直交基底の定義/
　　※上位概念：一般の計量実ベクトル空間と内積　
 
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定義：実n次元数ベクトル空間における内積 inner product　　

　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.124);
　　永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.78-80);
　　佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.117);砂田『行列と行列式』§7.1(p.238);志賀『固有値問題30講』8講(p.61);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学Ⅱ』8.1内積(p.92);　]
(舞台設定)
R：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
(本題)
任意の２つの実n次元数ベクトルx,yに対して、実数〈x,y〉を定める関係があって、
次の[要件1]～[要件4]を満たすとき、
〈x,y〉を、xとyの内積inner productとよぶ。
　[要件1：線形性1]　
　　　　任意の実n次元数ベクトルx1,x2,yにたいして、〈x1+x2, y〉＝〈x1, y〉＋〈x2, y〉　
　　　　任意の実n次元数ベクトルx,y1,y2にたいして、〈 x, y1+y2 〉＝〈x, y1〉＋〈x, y2〉　　　
　　　　　　　　　　すなわち、(∀x1,x2,y∈Ｒn) ( 〈x1+x2, y〉＝〈x1, y〉＋〈x2, y〉 )　
　　　　　　　　　　　　　　　(∀x,y1,y2∈Ｒn) ( 〈 x, y1+y2 〉＝〈x, y1〉＋〈x, y2〉 )　　
　[要件2：線形性2]
　　　　任意の実n次元数ベクトルx,yと任意の実数aにたいして、〈ax,y〉=a〈x,y〉, 〈x,ay〉=a〈x,y〉　　
　　　　　　　　　　すなわち、(∀x,y∈Ｒn) (∀a∈R) ( 〈ax,y〉=a〈x,y〉かつ 〈x,ay〉=a〈x,y〉 )　
　[要件3：正値性]　任意の実n次元数ベクトルxにたいして、〈x,x〉≧０　であって、　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〈x,x〉=０となるのはxが零ベクトルである場合のみに限る。
　　　　　　　　　　すなわち、(∀x∈Ｒn) ( ( 〈x,x〉≧０ ) かつ ((x,x)=０⇔x=０) )　
　　　　　　　　　　あるいは、(∀x∈Ｒn) ( ( 〈x,x〉≧０ ) かつ (x≠０⇒(x,x)>０) )　　　　　　　　
　[要件4：対称性]　任意の実n次元数ベクトルx,yにたいして、〈x,y〉=〈y,x〉　
　　　　　　　　　　すなわち、(∀x,y∈Ｒn) ( 〈x,y〉=〈y,x〉 )　
※内積によって定義される概念：内積により定まるノルム、ベクトルの直交、ベクトルのなす角　　
※上位概念：実ベクトル空間における内積　
※実n次元数ベクトル空間における内積の具体例：
　・自然な内積
　・自然な内積以外の内積〈 x, y 〉の例については、ホフマン・クンツェ『線形代数学II』8.1例1(p.92)を参照。　　


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定義：計量実ベクトル空間・実計量線形空間・内積空間　　　　metric vector space　

　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.124);
　永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.117);砂田『行列と行列式』§7.1(p.238)
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学Ⅱ』8.2内積空間(p.98);　]
(舞台設定)
R：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
(本題)
内積の定義された実n次元数ベクトル空間Rnは、
計量実ベクトル空間・計量線形空間・内積空間等と呼ばれる。

※上位概念：実ベクトル空間上の計量実ベクトル空間　
※下位概念：自然な内積をRnに定義してつくった計量実ベクトル空間　　


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定義：内積により定まるノルム　norm　　

　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.124);
　　永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);砂田『行列と行列式』§7.1(p.239);
　　志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.78-80);志賀『固有値問題30講』8講(p.61);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学Ⅱ』8.1内積(p.91);　]
(舞台設定)
R　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　　
(本題1)
実n次元数ベクトルxのそれ自身との内積の平方根
　　　　　　　　
は、ノルムの定義を満たす。
※なぜ？　
　　　・は、内積の要件3より、ノルム定義の第1要件を満たす。　　　
　　　・は、内積の性質によって、ノルム定義の第2要件を満たす。　　　
　　　・は、内積の性質によって、ノルム定義の第3要件を満たす。　　
(本題2)
・実n次元数ベクトルxのそれ自身との内積の平方根
　　　　　　　　
　を、内積により定まるノルムと呼ぶ。
・実n次元数ベクトルxの内積により定まるノルム・長さを、記号「∥x∥」で表す。　　
・つまり、任意のx∈Vにたいして、
　　　　　　　　　
(本題3)
・計量実ベクトル空間Rnに、内積により定まるノルム∥ ∥を定義することによって　
　組（Rn,∥ ∥ ）はノルム空間となる。　　
※上位概念：一般の計量実ベクトル空間における内積により定まるノルム　
※具体例：自然な内積により定まるノルムとしてのユークリッドノルム　　



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定義：単位ベクトル　　

[砂田『行列と行列式』§7.1(pp.241-2);]
(舞台設定)
R：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　　
∥x∥　　：計量実ベクトル空間Rnの内積により定まるノルム　

(本題)
計量実ベクトル空間Rnにおける単位ベクトルとは、　∥x∥=1を満たす実n次元数ベクトルxのこと。

※上位概念：一般の計量実ベクトル空間における単位ベクトル　
※具体例：n次元ユークリッド空間における単位ベクトル


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定理：単位ベクトル化　　

[永田『理系のための線形代数の基礎』補題4.2.1(p.116);]　　　　

(舞台設定)
R：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　　
∥x∥　　：計量実ベクトル空間Rnの内積により定まるノルム　

(本題1)
任意の実n次元数ベクトルxについて、
　　xが零ベクトルでないならば、
　　「xのノルムの逆数（スカラーになる）」と、ベクトルxとのスカラー積　　　　
　　　　( 1/∥x∥ ) x　　　　　　　　　
　　　は、
　　　 ノルム1の実n次元数ベクトルになり、
　　　xと直交する全ての実n次元数ベクトルと直交する。
以上を論理記号でかくと、
　　　（∀x∈Ｒn）（　x≠〇　⇒　∥ ( 1/∥x∥ ) x ∥=１　）　　
　　　（∀x,y∈Ｒn）（　x≠〇かつ〈x,y〉＝0　⇒　〈 ( 1/∥x∥ ) x, y 〉 ＝0　　）　　

(本題2)
　( 1/∥x∥ ) xをつくることを、xの単位ベクトル化という。　

※どうして、∥ ( 1/∥x∥ ) x ∥=１　といえるのか？→詳細　

※どうして、( 1/∥x∥ ) xは、xと直交する全ての実n次元数ベクトルと直交するといえるのか？
　・ノルムであるための要件1：非負性より、 x≠〇ならば、∥x∥>０　
　　　したがって、 x≠〇ならば、1/∥x∥ >０　…(1)　　
　・〈 ( 1/∥x∥ ) x, y 〉 =( 1/∥x∥ ) 〈x,y〉=〈x,y〉/∥x∥　　…(2)　　
　　　　　　∵内積であるための要件2:線形性2　
　・　x≠〇かつ〈x,y〉＝0　ならば、任意の実n次元数ベクトルx,yにたいして、(1)(2)と〈x,y〉＝0より、
　　　　〈 ( 1/∥x∥ ) x, y 〉 =0　
　　が成り立つ。
　　つまり、x≠〇ならば、xと直交する全ての実n次元数ベクトルと、( 1/∥x∥ ) xは、xと直交する。　
※上位概念：一般の計量実ベクトル空間における単位ベクトル化　
※具体例：n次元ユークリッド空間における単位ベクトル化


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定義：ノルムから定められる距離　

　[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123);松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277);
　　矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);志賀『固有値問題30講』8講(p.61);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学Ⅱ』8.2練習問題4(p.110);　]　

(舞台設定)
R　：実数体R　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　　
∥x∥　　：計量実ベクトル空間Rnの内積により定まるノルム　
（Rn,∥∥）：計量実ベクトル空間Rnに、内積により定まるノルム∥ ∥を定義した、ノルム空間　

(本題1)
任意の実n次元数ベクトルx, yに対し、
　実n次元数ベクトルxと 実n次元数ベクトルyの逆ベクトルの和について、
　内積により定まるノルムをとると、
　Rnにおけるx, y間の距離の定義を満たす。　
　すなわち、
　任意の実n次元数ベクトルx, yに対し、
　　　d(x, y)=∥x－y∥　　
　とおくと、d(x, y)は、Rnにおけるx, y間の距離の定義を満たす。
※なぜ？→証明　　
※上位概念：一般の計量実ベクトル空間においてノルムから定められる距離　
※具体例：ユークリッドノルムから定められる距離（ユークリッド距離）
(本題2)
・計量実ベクトル空間Rnに、上記の距離d(x, y)を定義することによって　
　組（Rn,d）は距離空間となる。　　

※具体例：n次元ユークリッド空間　



定理：計量実ベクトル空間、ノルム空間、距離空間　　　

　[砂田『行列と行列式』§7.1(a)定理7.9 (pp.240-1).。]
・計量実ベクトル空間Rnに、内積により定まるノルム∥ ∥を定義することによって　
　組（ Rn, ∥ ∥ ）はノルム空間となる。　　
・計量実ベクトル空間Rnは、内積により定まるノルムから定められる距離によって、距離空間となる。
※上位概念：一般の計量実ベクトル空間からのノルム空間・距離空間の設定　
※具体例：n次元ユークリッド空間の設定　


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定義：直交する　orthogonal　　

　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.125);
　　永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);志賀『ベクトル解析30講』第11講(p.80);
　　志賀『固有値問題30講』9講(p.67);。]
(舞台設定)
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　　
(本題)
実n次元数ベクトルx,yが直交するとは、実n次元数ベクトルx,yの内積がゼロであるということ。
・実n次元数ベクトルx,yが直交することを、記号「x⊥y」で表す。　　　　
・つまり、x⊥y　⇔　〈x,y〉＝0　　
※上位概念：一般の計量実ベクトル空間における直交　
※具体例：n次元ユークリッド空間における直交
※活用例：直交系、正規直交系、直交基底、正規直交基底
　

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定義：ベクトルのなす角　angle　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.115);志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.79-80);]
(舞台設定)
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　　y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn　　
〈x,y〉：実n次元数ベクトル空間Rnにおける実n次元数ベクトルx,yの内積
　　　　　これによって、Ｒnは計量実ベクトル空間となる。　　
∥x∥　　：計量実ベクトル空間Rnの内積により定まるノルム　

（Rn,∥∥）：計量実ベクトル空間Rnに、内積により定まるノルム∥ ∥を定義した、ノルム空間　
(本題)
・
※上位概念：一 般の計量実ベクトル空間における角　
※具体例：n次元ユークリッド空間における角　
　

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目317バナッハ空間(pp.922-):ノルムとノルム空間の解説が含まれている;項目341ヒルベルト空間B.(pp.1006-7)：内積の定義が含まれている.
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学Ⅱ』8.1内積(pp.91-7);8.2内積空間(pp.98-111)培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：ベクトル解析30講』朝倉書店、1988年、第11講(pp.78-80)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.238-9).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。