ユークリッド空間Rnの部分ベクトル空間の正規直交基底

ユークリッド空間Rⁿの部分ベクトル空間の正規直交基底の存在：トピック一覧～数学についてのwebノート

・定理：シュミットの直交化法、正規直交系からの正規直交系の構成、部分空間の正規直交基底の存在、
　　　　　Rⁿの正規直交基底と部分空間の正規直交基底との関係　　　

シュミットの直交化法：部分ベクトル空間の基底からの正規直交基底の構成
設定	R　：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 +：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　 v₁, v₂：実n次元数ベクトル　　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d ）：n次元ユークリッド空間　　 W：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　　　すなわち、Wは以下を満たす。　　　　1. W⊂Rⁿ　かつ　W≠φ　　　　　　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法に関して、　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　（W,・）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、Rⁿにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間　　（W,∥∥ ）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、Rⁿにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間　　　（W,d ）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間
定理	実n次元数ベクトルv₁, v₂, …, v_nが、　　「実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間」Wの基底をなすならば、実n次元数ベクトルv₁, v₂, …, v_nから、　　　Wの正規直交基底u₁,u₂,…, u_nを構成できる。	[文献] 佐武『線形代数学』Ⅲ§3(p.100); 佐和『回帰分析』2.1.4(p.22);
※

→[トピック一覧：ユークリッド空間Rⁿの部分空間の正規直交基底の存在]
→線形代数目次・総目次

定理：ユークリッド空間Rⁿの部分ベクトル空間における正規直交系からの正規直交系の構成
設定	R　：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 +：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　 v₁, v₂：実n次元数ベクトル　　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d ）：n次元ユークリッド空間　　 W：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　　　すなわち、Wは以下を満たす。　　　　1. W⊂Rⁿ　かつ　W≠φ　　　　　　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法に関して、　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　（W,・）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、Rⁿにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間　　（W,∥∥ ）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、Rⁿにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間　　　（W,d ）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間
定理	Ｒⁿの部分ベクトル空間Wがr次元であり、 p個の「Wに属す実n次元数ベクトル」v₁, v₂, …, v_pが正規直交系をなすならば、　v₁, v₂, …, v_p , v_p＋1, v_p＋2, …, v_rも正規直交基底とする、　　　　　(r－p)個の「Wに属す実n次元数ベクトル」v_p＋1, v_p＋2, …, v_rが存在する。	[文献] 佐武『線形代数学』Ⅲ§3定理5(pp.99-100);
※

→[トピック一覧：ユークリッド空間Rⁿの部分空間の正規直交基底の存在]
→線形代数目次・総目次

定理：ユークリッド空間Rⁿの部分ベクトル空間における正規直交基底の存在
設定	R　：実数体R　　 Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　 +：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　 v₁, v₂：実n次元数ベクトル　　　具体的に書くと、v₁₁, v₁₂, …, v_1n∈Rとして、v₁=( v₁₁, v₁₂, …, v_1n )∈Ｒⁿ　　　　　　　　　　　　　v₂₁, v₂₂, …, v_2n∈Rとして、v₂=( v₂₁, v₂₂, …, v_2n )∈Ｒⁿ　　 v₁・v₂：実n次元数ベクトルv₁,v₂の自然な内積。これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる。　 ∥v∥：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　 d (v₁,v₂)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離　　（Rⁿ,d ）：n次元ユークリッド空間　　 W：実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間　　　すなわち、Wは以下を満たす。　　　　1. W⊂Rⁿ　かつ　W≠φ　　　　　　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法に関して、　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　（W,・）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、Rⁿにおける自然な内積を定義した計量実ベクトル空間　　（W,∥∥ ）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、Rⁿにおけるユークリッドノルムを定義したノルム空間　　　（W,d ）：Ｒⁿの部分ベクトル空間Wに、ユークリッド距離dを定義した距離空間
定理	Ｒⁿの任意の部分ベクトル空間Wに対して、　その正規直交基底が存在する。	[文献] 佐武『線形代数学』Ⅲ§3定理5系(pp.99-100); 佐和『回帰分析』2.1.4(p.22);
※
※

→[トピック一覧：ユークリッド空間Rⁿの部分空間の正規直交基底の存在]
→線形代数目次・総目次

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).
草場公邦『線形代数(増補版)』（森毅、斉藤正彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻）朝倉書店、1999年、5.2(p.131)。
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。

→[トピック一覧：ユークリッド空間Rⁿの部分空間の基底]
→線形代数目次・総目次