Rnの部分ベクトル空間の和・直和分解・補空間：トピック一覧　　～　　数学についてのwebノート

　・定義：和空間･和、2つの部分ベクトル空間の直和/補部分空間･補空間/直和分解
　　　　　　多数の部分ベクトル空間の直和/直和分解　　
　・定理：2つの部分ベクトル空間への直和分解の必要十分条件/多数の部分ベクトル空間への直和分解の必要十分条件　

※関連ページ　　　
　実ベクトル空間の部分ベクトル空間の和･直和分解・補空間　
　Rnの部分ベクトル空間：定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/部分空間の集合算/
　　　　　　　　　　　　　～に張られた部分ベクトル空間/部分空間の基底/部分空間の次元/直和が定める射影　
　実n次元数ベクトル空間：実n次元数ベクトル空間の定義/一次独立･一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/
　　　　　　　　　　　　　　　　基底/次元
※線形代数目次・総目次・文献一覧

定義：部分ベクトル空間の和空間・和sum　

舞台設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
W1：Ｒnの部分ベクトル空間　
W2：Ｒnの部分ベクトル空間　

[文献]
永田
『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.33);
砂田
『行列と行列式』§5.2-a(p.160)
佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.96);
久米『数理統計学』1.5(p.5)。

定義

実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間W1,W2の和空間・和とは、
　　「W1に属す実n次元数ベクトル」と「W2に属す実n次元数ベクトル」との
　　　ベクトル和をすべて集めた集合
　　　　　{ v1 + v2 | v1 ∈W1 かつ v2 ∈W2 }　　
のこと。

記号

Ｒnの部分ベクトル空間W1,W2の和空間・和を、W1＋W2で表す。

※

以上の定義により、
実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間W1,W2の和空間W1＋W2に属す任意の実n次元数ベクトルは、
Rnの部分ベクトル空間W1,W2に属す実n次元数ベクトルのベクトル和として表せることになる。
つまり、(∀x∈Rn) (∃x'∈W1) (∃x''∈W2)（x＝x'＋x''）　　

定理：部分ベクトル空間の和空間の性質

舞台設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
W1：Ｒnの部分ベクトル空間　
W2：Ｒnの部分ベクトル空間　

[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.33);砂田『行列と行列式』§5.2-a(p.162)

本題

1. 実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間W1,W2の和空間（W1＋W2）もまた、
　　　Rnの部分ベクトル空間。　
2. 実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間W1,W2の和空間（W1＋W2）は、
　　　（W1∪W2）を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』。　　

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の和･直和]
→線形代数目次・総目次

 　

定義：２つの部分空間の直和、補部分空間・補空間、直和分解
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　direct sum, complementary subspace, direct sum decomposition

舞台設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
W1：Ｒnの部分ベクトル空間　
W2：Ｒnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田
『行列と行列式』§5.2-b(p.165);
神谷浦井
『経済学のための数学入門』§3.1.2(p.106);
永田
『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.34);
柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』 §1.2(pp.8-9):実n次元数ベクトル空間のみ;
佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.98)
久米『数理統計学』1.5部分空間の和(p.5)。

和空間の概念を前提した定義

「実n次元数ベクトル空間Rnが、
　　　その部分ベクトル空間W1,W2の直和direct sumに分解される」
「Ｒnの部分ベクトル空間W2は、
　　　Ｒnの部分ベクトル空間W1の補部分空間・補空間complementary subspace 」
「Ｒnの部分ベクトル空間W1は、
　　　Ｒnの部分ベクトル空間W2の補部分空間・補空間complementary subspace 」
とは、
　　Ｒn=W1＋W2 　かつ　W1∩W2={０}　　
が満たされることをいい、
記号
　　　
で表す。
また、
このかたちで実n次元数ベクトル空間Rnを表すことを、
Ｒnの直和分解direct sum decompositionという。

和空間の意味に遡る定義

「実n次元数ベクトル空間Rnが、
　　　その部分ベクトル空間W1,W2の直和direct sumに分解される」
「Ｒnの部分ベクトル空間W2は、
　　　Ｒnの部分ベクトル空間W1の補部分空間・補空間complementary subspace 」
「Ｒnの部分ベクトル空間W1は、
　　　Ｒnの部分ベクトル空間W2の補部分空間・補空間complementary subspace 」
とは、
　・「W1に属す実n次元数ベクトル」と「W2に属す実n次元数ベクトル」との
　　　ベクトル和をすべて集めた集合として
　　　Ｒnを表せ、　
　かつ　
　・Ｒnの部分ベクトル空間W1,W2の共通部分がn次元零ベクトルに限られている
ということ、
すなわち、　　
　　Ｒn={ v1 +v2 | v1∈W1 かつ v2 ∈W2 }　かつ　W1∩W2={０}　　
が満たされること、
ないしは、
　・実n次元数ベクトル空間Ｒnに属す任意の実n次元数ベクトルが、
　　Ｒnの部分ベクトル空間W1,W2のベクトル和として一意的に表せ、
　かつ　
　・Ｒnの部分ベクトル空間W1,W2の共通部分が０に限られている
ということ
といってもよい。[→佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.98)]　　

※

実n次元数ベクトル空間Ｒnと、Ｒnの部分ベクトル空間W1にたいして、W1の補空間は一意的に定まるわけではない。　
　　W1の補空間は、複数とりうる。[例：砂田『行列と行列式』§5.2-b(p.165);]　

※

活用例：直和が定める射影、Rnの部分空間と直交補空間への直和分解

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の和･直和]
→線形代数目次・総目次

定理：直和分解の必要十分条件

舞台設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
W1：Ｒnの部分ベクトル空間　
W2：Ｒnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田
『行列と行列式』補題5.27(p.165):証明付;
永田
『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.5(p.34):証明付;
神谷浦井
『経済学のための数学入門』§3.1.2定理3.1.1(p.107)
久米『数理統計学』1.5(p.5)。

定理

次の２つの命題は、同値。
命題P：
　　実n次元数ベクトル空間Rnが、Ｒnの部分ベクトル空間W1、W2に直和分解される。
　　つまり、　　
命題Q：
　　「Ｒnの部分ベクトル空間W1に属す実n次元数ベクトル」と
　　「Ｒnの部分ベクトル空間W2に属す実n次元数ベクトル」とのベクトル和として、
　　　実n次元数ベクトル空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトルを、
　　一意的に表せること。
　　つまり、
　　実n次元数ベクトル空間Rnと、
　　Ｒnの部分ベクトル空間W1、W2が与えられているとして、
　　任意の実n次元数ベクトルv∈Ｒnにたいして、
　　ある実n次元数ベクトルv1∈W1, v2∈W2が一意的に存在して、
　　　　v＝v1 +v2 　　
　　と表せること。

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の和･直和]
→線形代数目次・総目次

 　

定義：多数の部分空間の直和、補部分空間・補空間、直和分解
　　　　　　　　　　　　　　direct sum, complementary subspace, direct sum decomposition　

舞台設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　　
W1 ,W2, …, Wm：Ｒnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田
『行列と行列式』§5.2-b(p.165);
永田
『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.34);
神谷浦井
『経済学のための数学入門』§3.1.2(p.107);
佐武
『線形代数学』Ⅲ§2(p.98)

　

定義

「実n次元数ベクトル空間Rnが、
　　その部分ベクトル空間W1 ,W2 ,…,Wmの直和direct sumに分解される」
とは、
　　　　V=W1＋W2＋…＋Wm　
　かつ　W1∩(W2＋…＋Wm)={０}　　
　かつ　W2∩(W1＋W3＋…＋Wm)={０}　　
　かつ　W3∩(W1＋W2＋W4＋…＋Wm)={０}　　
　かつ　W4∩(W1＋W2＋W3＋W5＋…＋Wm)={０}　　
　　　　　：　　　
　かつ　Wk∩(W1＋…＋Wk－1＋Wk＋1＋…＋Wm)={０}　　
　　　　　：　　　
　かつ　Wm∩(W1＋…＋Wm－1)={０}　　
が満たされることをいい、
記号
　　
で表す。
また、
このかたちで実n次元数ベクトル空間Rnを表すことを、
Ｒnの直和分解direct sum decompositionという。　

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の和･直和]
→線形代数目次・総目次

定理：直和分解の必要十分条件

舞台設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
W1 ,W2, …, Wm：Ｒnの部分ベクトル空間　　

[文献]
砂田『行列と行列式』補題5.30(p.166):証明付;
永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(e)(p.35);

定理

次の２つの命題は、同値。
命題P：
　　実n次元数ベクトル空間Rnが、
　　Ｒnの部分ベクトル空間W1,W2,…,Wmに直和分解される。
　　つまり、　　
命題Q：
　　「Ｒnの部分ベクトル空間W1に属す実n次元数ベクトル」と
　　「Ｒnの部分ベクトル空間W2に属す実n次元数ベクトル」と
　　　　　　　　　　　　　　：　
　　「Ｒnの部分ベクトル空間Wmに属す実n次元数ベクトル」と
　　のベクトル和として、
　　実n次元数ベクトル空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトルを、
　　一意的に表せること。
　　つまり、
　　実n次元数ベクトル空間Rnと、
　　Ｒnの部分ベクトル空間W1,W2,…,Wmが与えられているとして、
　　任意の実n次元数ベクトルv∈Ｒnにたいして、
　　ある実n次元数ベクトルv1∈W1 , v2∈W2 ,…, vm∈Wm が一意的に存在して、
　　　　v＝v1 +v2+…+vm　　
　　と表せること。

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の和･直和]
→線形代数目次・総目次

[yahoo:yoko]

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).§5.3(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§1.2ベクトル空間と部分空間(pp.8-9):実n次元数ベクトル空間のみ。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1.2部分空間ならびに直和(p.107)。
数理統計学のテキスト
佐和隆光『回帰分析』 朝倉書店、1979年、2.1ベクトルとベクトル空間。
久米均『数理統計学』コロナ社、1984年、1.線形代数1.5部分空間の和(p.5)。

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の和･直和]
→線形代数目次・総目次