実n次元数ベクトル空間の線形部分空間・部分ベクトル空間の具体例　〜　数学についてのwebノート

　・Rⁿの部分ベクトル空間の例：Rⁿ、零部分空間、斉次型連立方程式の解空間、生成された部分ベクトル空間　　
　　　　　　　　　　　　　　　　有限個のベクトルと直交するベクトルの全体　　　
　・R¹の部分ベクトル空間、R²の部分ベクトル空間、R³の部分ベクトル空間

※関連ページ
・Rⁿの部分ベクトル空間：定義/部分空間における線型独立と線型従属/〜に張られた部分ベクトル空間/和･直和分解･補空間/部分空間の基底/部分空間の次元　　
・部分ベクトル空間：体上のベクトル空間の部分空間、実ベクトル空間の部分空間　　
・実n次元数ベクトル空間：実n次元数ベクトル空間の定義/一次独立･一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/基底/次元
※線形代数目次・総目次

Rⁿの部分ベクトル空間の具体例１：実n次元数ベクトル空間自体

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　

[文献]
佐武『線形代数学』�V§2(p.94);

本題

実n次元数ベクトル空間Rⁿは、
実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。　

なぜ？

「Rⁿの部分集合」は、実ベクトル空間でありさえすれば、Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。
Rⁿは「Rⁿの部分集合」の一つであり、かつ、Rⁿは実ベクトル空間である(∵)から、
Rⁿは、Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。　　

Rⁿの部分ベクトル空間の具体例2：零部分空間

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
+　：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：
　　　実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法

[文献]
佐武『線形代数学』�V§2(p.94);
ホフマン『線形代数学I』2.2例6a(p.35);

定義

実n次元数ベクトル空間Rⁿの零部分空間とは、　
実n次元数ベクトル空間Rⁿから、
　　　n次元の零ベクトル０= ( ０, ０, …, ０ ) を
1個取っただけの集合｛０｝=｛ ( ０, ０, …, ０ ) ｝のことをいう。

性質

実n次元数ベクトル空間Rⁿの零部分空間は、
Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。

なぜ？

実n次元数ベクトル空間Rⁿの零部分空間｛０｝=｛ ( ０, ０, …, ０ ) ｝は、
Rⁿの部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：｛０｝は、「Rⁿの部分集合」であって、空集合ではない。
Q2：｛０｝は、「Ｒⁿに定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　　つまり、｛０｝に属す任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v ∈｛０｝　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実n次元数ベクトルといっても、それは、０= ( ０, ０, …, ０ ) しかない。　
　　　・０+０＝０　　(∵Ｒⁿに定められているベクトルの加法の定義と、零ベクトルの定義)　　
Q3：｛０｝は、「Ｒⁿに定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　　つまり、｛０｝に属す限りで任意の実n次元数ベクトルvと、任意のスカラーa∈Rに対して、
　　　　　　　　　　　　au∈｛０｝　　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実n次元数ベクトルといっても、それは、０= ( ０, ０, …, ０ ) しかない。　
　　　・任意のスカラーa∈Rに対して、a０＝０　(∵零ベクトルのスカラー倍)　　

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Rⁿの部分ベクトル空間の具体例3：斉次型連立一次方程式の解空間solution space

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿに定められたスカラー乗法　

定義

n個の未知数x₁, x₂, …, x_n∈Rと、
次のm個の式からなる斉次連立方程式を考える。

　┌ a₁₁ x₁＋a₁₂ x₂＋…＋a_1n x_n =０　
　│ a₂₁ x₁＋a₂₂ x₂＋…＋a_2n x_n =０　
　│　：　　：　　　　　：　　：　　
　└ a_m1 x₁＋a_m2 x₂＋…＋a_mn x_n =０　

この斉次連立方程式の解x₁, x₂, …, x_n　は、
　　実n次元数ベクトル x ＝ ( x₁, x₂, …, x_n)∈Ｒⁿ　
として表せる。　　　
この斉次連立方程式の解x ＝ ( x₁, x₂, …, x_n)は、ただ一つとは限らない。
この斉次連立方程式の解となる実n次元数ベクトルをすべてあつめた集合を、
この斉次連立方程式の解空間という。　

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[文献]
佐武『線形代数学』�V§5(p.111);
草場『線形代数』2.4(pp.39-41)2.7(p.47);
ホフマン『線形代数学I』2.2例7(p.36)
斎藤『線形代数入門』2章§5(p.59)４章§4例1斉次型連立方程式の解空間(p.107);
永田『理系のための線形代数の基礎』3.3定理3.3.1(p.96);

性質1

任意の斉次連立方程式の解空間には、
　　n次元の零ベクトル０= ( ０, ０, …, ０ ) 　
が含まれる。
※斉次連立方程式の右辺はすべて０なのだから、
　　( x₁, x₂, …, x_n)＝ ( ０, ０, …, ０ ) が解の一つであるのは当然。　　

性質2

斉次連立方程式の解空間は、
実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。　

なぜ？

任意の斉次連立方程式の解空間Wは、Rⁿの部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：解空間Wは、「Rⁿの部分集合」であって、空集合ではない。
　　　なぜなら、性質1より、０= ( ０, ０, …, ０ ) ∈W　　
Q2：解空間Wは、「Ｒⁿに定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　つまり、Wに属す任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v ∈W　
　※なぜ？　
　　1)　u∈W 、つまり、u＝ ( u₁, u₂, …, u_n)∈Ｒⁿ が解ならば、

　　　┌ a₁₁ u₁＋a₁₂ u₂＋…＋a_1n u_n =０　
　　　│ a₂₁ u₁＋a₂₂ u₂＋…＋a_2n u_n =０　
　　　│　：　　：　　　　　：　　：　　
　　　└ a_m1 u₁＋a_m2 u₂＋…＋a_mn u_n =０　

　　2)　v∈W 、つまり、v＝ ( v₁, v₂, …, v_n)∈Ｒⁿ が解ならば、

　　　┌ a₁₁ v₁＋a₁₂ v₂＋…＋a_1n v_n =０　
　　　│ a₂₁ v₁＋a₂₂ v₂＋…＋a_2n v_n =０　
　　　│　：　　：　　　　　：　　：　　
　　　└ a_m1 v₁＋a_m2 v₂＋…＋a_mn v_n =０　

　　3)　u,v∈W ならば、1) 2)より、　

　　　┌ ( a₁₁ u₁＋a₁₂ u₂＋…＋a_1n u_n )＋( a₁₁ v₁＋a₁₂ v₂＋…＋a_1n v_n )=０　
　　　│ ( a₂₁ u₁＋a₂₂ u₂＋…＋a_2n u_n )＋( a₂₁ v₁＋a₂₂ v₂＋…＋a_2n v_n )=０　
　　　│　：　　：　　　　　：　　：　　：　　　　：　　：　　
　　　└ ( a_m1 u₁＋a_m2 u₂＋…＋a_mn u_n )＋( a_m1 v₁＋a_m2 v₂＋…＋a_mn v_n )=０　

　　　実数の加法の結合則と実数の加法乗法の分配則を用いて、これを整理すると、

　　　┌ a₁₁( u₁＋v₁ )＋a₁₂ ( u₂＋v₂ )＋…＋a_1n ( u_n＋v_n )=０　
　　　│ a₂₁( u₁＋v₁ )＋a₂₂ ( u₂＋v₂ )＋…＋a_2n ( u_n＋v_n )=０　
　　　│　：　　：　　　　　：　　：　　：　　　　：　　：　　
　　　└ a_m1 ( u₁＋v₁ )＋a_m2 ( u₂＋v₂ )＋…＋a_mn ( u_n＋v_n )=０　　

　　　したがって、u,v∈W ならば、　　　　　　
　　　　u+v＝ ( u₁＋v₁, u₂＋v₂, …, u_n＋v_n)∈Ｒⁿ　　　　
　　　も解となって、u+v∈W　　
Q3：解空間Wは、「Ｒⁿに定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　　つまり、解空間Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルuと、任意のスカラーk∈Rに対して、
　　　　　　　　　　　　ku∈W　　　
　※なぜ？　
　　1)　u∈W 、つまり、u＝ ( u₁, u₂, …, u_n)∈Ｒⁿ が解ならば、

　　　┌ a₁₁ u₁＋a₁₂ u₂＋…＋a_1n u_n =０　
　　　│ a₂₁ u₁＋a₂₂ u₂＋…＋a_2n u_n =０　
　　　│　：　　：　　　　　：　　：　　
　　　└ a_m1 u₁＋a_m2 u₂＋…＋a_mn u_n =０　

　　2)　　u∈W ならば、1)より、任意のk∈Rに対して、

　　　┌ k (a₁₁ u₁＋a₁₂ u₂＋…＋a_1n u_n ) =０　
　　　│ k (a₂₁ u₁＋a₂₂ u₂＋…＋a_2n u_n ) =０　
　　　│　：　　：　　　　　：　　：　　
　　　└ k (a_m1 u₁＋a_m2 u₂＋…＋a_mn u_n ) =０　

　　　実数の加法乗法の分配則・実数の積の可換則を用いて、これを整理すると、

　　　┌ a₁₁ ku₁＋a₁₂ ku₂＋…＋a_1n ku_n =０　
　　　│ a₂₁ ku₁＋a₂₂ ku₂＋…＋a_2n ku_n =０　
　　　│　：　　：　　　　：　　：　　
　　　└ a_m1 ku₁＋a_m2 ku₂＋…＋a_mn ku_n =０　　

　　　したがって、u∈W ならば、　
　　　　　ku＝ ( ku₁, ku₂, …, ku_n)∈Ｒⁿ　　　　　　
　　　も解となって、ku∈W　　

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Rⁿの部分ベクトル空間の具体例4：実n次元数ベクトルから生成された部分ベクトル空間

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　

[文献]
佐武『線形代数学』�V§2(p.94);
佐和『回帰分析』2.1.1(p.16);
木村『線形代数』3.1一次独立(p.51);
グリーン『計量経済分析I』定義2.7(p.26);

本題

l個の実n次元数ベクトル v₁,v₂,…,v_l から生成された部分ベクトル空間は、
実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。
※なぜ？→詳細　

Rⁿの部分ベクトル空間の具体例5：有限個のベクトルと直交するベクトルの全体

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間であって、ユークリッド空間　
・ :ユークリッド空間Rⁿに定められた自然な内積　　　

[文献]
佐武『線形代数学』�V§2(p.94);斎藤『線形代数入門』４章§4問1(pp.107-8)正解無

本題

l個の実n次元数ベクトル v₁,v₂,…,v_l と直交する実n次元数ベクトルをすべて集めた集合は、
実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分ベクトル空間の定義を満たす。

注

これは、v₁,v₂,…,v_l から生成された部分ベクトル空間の直交補空間になる。　　

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実１次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R ¹：実1次元数ベクトル空間　（実質的には、実数体R）　
+：実1次元数ベクトル空間R¹において定義されているベクトルの加法　
　　　　　　（実質的には、実数体Rに定義されている加法）　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：
　　　　実1次元数ベクトル空間R¹において定義されているスカラー乗法
　　　　　　（実質的には、実数体Rに定義されている乗法）　

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[文献]
ホフマン『線形代数学I』練習問題6(p.40)a.

本題

実1次元数ベクトル空間R¹の部分ベクトル空間は、
　　・実1次元数ベクトル空間R¹（実質的には実数体R）　　
　　・零部分空間 ｛０｝　
の二つだけ。

なぜ
二つ
だけ？

WがR¹の部分ベクトル空間であるためには、部分ベクトル空間の定義から、
　条件�T-2-2：Wに零ベクトル(ここでは実質上、実数の０)を入れなければならない
　条件�T-2-3：あるベクトル(ここでは実質的には実数)をWに入れたら、
　　　　　　　　その逆ベクトル(ここでは実質的には反数)もWに入れなければならない
　条件�U-1：あるベクトル(ここでは実質的には実数)をWに入れたら、
　　　　　　　　その任意のスカラー倍(ここでは実質的には任意実数倍)もWに入れてやらなければならない
をすべて満たさなければならない。
ここで、興味深いのは、条件�T-2-3・条件�U-1。
Wに０以外の実数を一つでも入れようものなら、
条件�T-2-3・条件�U-1から、その実数の反数・任意実数倍もWに入れなければならないので、　　
Wにすべての実数を入れることになり、　
結局、Wは、実数体R全体になってしまう。　
だから、
実1次元数ベクトル空間R¹の部分ベクトル空間は、
　　零部分空間 ｛０｝　か、実数体R全体の二つしかありえない。　

なぜ
｛０｝
は
部分ベクトル空間？

実1次元数ベクトル空間R¹の零部分空間｛０｝=｛ ０ ｝は、
R¹の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：｛０｝は、０が属しているのだから、空集合ではない「R¹の部分集合」。
Q2：｛０｝は、「Ｒ¹に定められているベクトルの加法」（つまり実数体Rに定義されている加法）について
　　　閉じている。　
　　　つまり、｛０｝に属す任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v ∈｛０｝　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実n次元数ベクトルといっても、それは、０=０しかない。　
　　　・０+０＝０　
　　　　　∵「Ｒ¹に定められているベクトルの加法」は実数体Rに定義されている加法であり、
　　　　　　　Ｒ¹における零ベクトルとは実数０であったから、
　　　　　　　０+０＝０+０=０＝０　　
Q3：｛０｝は、「Ｒ¹に定められているスカラー乗法」（つまり、実数体Rに定義されている乗法）について閉じている。
　　　つまり、｛０｝に属す限りで任意の実1次元数ベクトルv(実質的には実数)と、任意のスカラーa∈Rに対して、
　　　　　　　　　　　　au∈｛０｝　　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実1次元数ベクトルといっても、それは、０=０しかない。　
　　　・任意のスカラーa∈Rに対して、a０＝a０=０＝０　(∵零ベクトルのスカラー倍)　　

なぜ
R¹
は
部分ベクトル空間？

「実1次元数ベクトル空間R¹の部分集合」は、実ベクトル空間でありさえすれば、
実1次元数ベクトル空間R¹の部分ベクトル空間の定義を満たす。
実1次元数ベクトル空間R¹は「R¹の部分集合」の一つであり、
かつ、
実1次元数ベクトル空間R¹は実ベクトル空間である(∵)から、
実1次元数ベクトル空間R¹は、実1次元数ベクトル空間R¹の部分ベクトル空間の定義を満たす。　

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実2次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R²：実2次元数ベクトル空間　
　　つまり、実2次元数ベクトルの集合R²=R×R={ ( v₁ , v₂ ) ｜v₁∈Rかつv₂∈R }に、
　　次のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。　
+：実2次元数ベクトル空間R²に定められたベクトルの加法　
　　　(u₁ , u₂ ) + ( v₁ , v₂ ) = ( u₁＋v₁ , u₂＋v₂ ) 　※右辺の＋は、実数体Rに定められている加法を指す。
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実2次元数ベクトル空間R²に定められたスカラー乗法　
　　　a ( v₁ , v₂ ) = ( av₁ , av₂ ) 　　※右辺のav₁, av₂ は、実数体Rに定められている乗法を指す。

例1

実2次元数ベクトル空間R²それ自体は、
実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。

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[文献]
ホフマン『線形代数学I』練習問題6(p.40)b;
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』附録A.1(p.176)

例2

零部分空間 ｛０｝=｛ (０,０) ｝は、
実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例3-1

実2次元数ベクトル空間R²から、
第2成分が０の実2次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ ( v₁ , ０ ) ｜v₁∈R }　
は、実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例3-2

実2次元数ベクトル空間R²から、
第1成分が０の実2次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ ( ０ , v₂ ) ｜ v₂ ∈R }　
は、実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例4

・任意の実2次元数ベクトルの任意のスカラー積は、
　　実2次元数ベクトルである。　
・任意の実2次元数ベクトル ( v₁ , v₂ ) を一つ選んで固定したうえで、
　そのあらゆるスカラー積を集めた集合
　　　{ a ( v₁ , v₂ ) ｜ a ∈R }　
　は、
　実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。　　　

例5

l個の実2次元数ベクトル v₁= ( v₁₁ , v₁₂ ) ,v₂= ( v₂₁ , v₂₂ ) ,…, v_l= ( v_l1 , v_l2 ) から生成された部分ベクトル空間は、
実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。
※なぜ？→詳細　

なぜ？
→例1

「R²の部分集合」は、実ベクトル空間でありさえすれば、R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。
R²は「R²の部分集合」の一つであり、かつ、R²は実ベクトル空間である(∵)から、
R²は、R²の部分ベクトル空間の定義を満たす。　

なぜ？
→例2

実2次元数ベクトル空間R²の零部分空間｛０｝=｛ ( ０, ０ ) ｝は、
R²の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：｛０｝は、「R²の部分集合」であって、空集合ではない。
Q2：｛０｝は、「R²に定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　　つまり、｛０｝に属す任意の実2次元数ベクトルu,v に対して、u+v ∈｛０｝　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実2次元数ベクトルといっても、それは、０= ( ０, ０ ) しかない。　
　　　・０+０＝０　　(∵R²に定められているベクトルの加法の定義と、零ベクトルの定義)　　
Q3：｛０｝は、「R²に定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　　つまり、｛０｝に属す限りで任意の実2次元数ベクトルvと、任意のスカラーa∈Rに対して、
　　　　　　　　　　　　av∈｛０｝　　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実2次元数ベクトルといっても、それは、０= ( ０, ０ ) しかない。　
　　　・任意のスカラーa∈Rに対して、a０＝０　(∵零ベクトルのスカラー倍)　　

なぜ？
→例3

実2次元数ベクトル空間R²から、
第2成分が０の実2次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　W={ ( v , ０ ) ｜v∈R }　
は、実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：Wは、「R²の部分集合」であって、空集合ではない。
Q2：Wは、「R²に定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実2次元数ベクトル ( u₁ , ０ ) , ( v₁ , ０ ) （もちろんu₁, v₁ ∈R）
　　に対して、
　　　 ( u₁ ,０) + ( v₁ ,０) 　　
　　　　　= ( u₁＋v₁ ,０) 　∵R²に定められているベクトルの加法の定義　
　　　　　　∈W　　　　　　∵Rの定義(条件A0)より、u₁, v₁ ∈Rにたいしてu₁＋v₁ ∈R　
Q3：Wは、「R²に定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトル ( u₁ , ０ ) （もちろんu₁∈R）と、
　　　任意のスカラーk∈Rに対して、
　　　k ( u₁ , ０ )　
　　　　 = ( ku₁ , ０ ) 　∵R²に定められているスカラー乗法の定義　
　　　　　　∈W　　　　∵Rの定義(条件A0)より、k,u₁∈Rにたいしてku₁ ∈R　
実2次元数ベクトル空間R²から、
第1成分が０の実2次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　W={ ( ０ , v ) ｜v∈R }　
が、実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たすことも、
まったく同様に示せる（だから略）　

なぜ？
→例4

・任意の実2次元数ベクトルの任意のスカラー積は、実2次元数ベクトルである。　
　なぜなら、
　　なお、任意の ( v₁ , v₂ ) ∈R²（もちろん v₁, v₂ ∈R）と
　　　　　任意のa ∈R にたいして、
　　　　　a ( v₁ , v₂ ) 　
　　　　　 = ( av₁ , av₂ ) 　∵R²に定められているスカラー乗法の定義　
　　　　　　∈R²　　　　∵Rの定義(条件A0)より、a, v₁, v₂ ∈Rにたいして av₁ , av₂∈R　　
・任意の実2次元数ベクトル ( v₁ , v₂ ) を一つ選んで固定したうえで、
　そのあらゆるスカラー積を集めた集合
　　W={ a ( v₁ , v₂ ) ｜ a ∈R }　
　は、実2次元数ベクトル空間R²の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
　Q1：Wは、「R²の部分集合」であって、空集合ではない。
　Q2：Wは、「R²に定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実2次元数ベクトル a ( u₁ , u₂ ) ,a ( v₁ , v₂ ) （もちろんa , u₁ , u₂ , v₁, v₂ ∈R）
　　　に対して、
　　　　a ( u₁ , u₂ ) + a ( v₁ , v₂ ) 　
　　　　　= a（ ( u₁ , u₂ ) + ( v₁ , v₂ ) ） 　∵スカラーに関する分配則　　　
　　　　　= a ( u₁＋v₁ , u₂＋v₂ ) 　∵R²に定められているベクトルの加法の定義　
　　　　　　∈W　　　　∵Rの定義(条件A0)より、u₁, v₁ ,u₂, v₂ ∈Rにたいしてu₁＋v₁ , u₂＋v₂ ∈R　
　Q3：Wは、「R²に定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトル a ( u₁ , u₂ ) （もちろんa , u₁ , u₂ ∈R）と、
　　　任意のスカラーk∈Rに対して、
　　　ka ( u₁ , u₂ )　∈W　　∵Rの定義(条件A0)より、k,a∈Rにたいしてka∈R　

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実3次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R³：実3次元数ベクトル空間　
　　つまり、実3次元数ベクトルの集合R³=R×R×R={ ( v₁ , v₂ , v₃ ) ｜v₁∈R かつv₂∈R かつv₃∈R}に、
　　次のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。　
+：実3次元数ベクトル空間R³において定義されたベクトルの加法　
　　　(v₁₁ , v₁₂ , v₁₃ ) + (v₂₁ , v₂₂ , v₂₃ )= ( v₁₁＋v₂₁ , v₁₂＋v₂₂ , v₁₃＋v₂₃ ) 　
　　　　※右辺の＋は、実数体Rに定められている加法を指す。
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実3次元数ベクトル空間R³において定義されたスカラー乗法
　　　a ( v₁ , v₂ , v₃ )= ( av₁ , av₂ , av₃ ) ※右辺のav₁, av₂ , av₃ は、実数体Rに定められている乗法を指す。

例1

実3次元数ベクトル空間R³それ自体は、
実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。

→[トピック一覧：部分ベクトル空間の具体例]
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[文献]
ホフマン
『線形代数学I』2.2例6b(p.35);
高橋一
『経済学とファイナンスのための数学』附録A.1(p.176)
布川
『線形代数と凸解析』例2.2(p.35);
グリーン
『計量経済分析』2.4.4(p.26);
草場
『線形代数』2.7例2(p.48);
江川
『大学1・2年生のためのすぐわかる数学』Section7問題18（p.171）

例2

零部分空間 ｛０｝=｛ (０,０,０) ｝は、
実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例3-1

実3次元数ベクトル空間R²から、
第3成分が０の実3次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ (v₁ , v₂ ,０) ｜v₁ , v₂ ∈R }　
は、実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例3-2

実3次元数ベクトル空間R³から、
第2成分が０の実3次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ (v₁ ,０, v₃ ) ｜v₁ , v₃ ∈R }　
は、実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例3-3

実3次元数ベクトル空間R³から、
第1成分が０の実3次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ (０, v₂ , v₃ ) ｜ v₂ , v₃ ∈R }　
は、実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。

例4

・任意の実3次元数ベクトルの任意のスカラー積は、
　　実3次元数ベクトルである。　
・任意の実3次元数ベクトル ( v₁ , v₂ , v₃ ) を一つ選んで固定したうえで、
　そのあらゆるスカラー積を集めた集合
　　　{ a ( v₁ , v₂ , v₃ ) ｜ a ∈R }　
　は、
　実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。　　　

例5

l個の実3次元数ベクトル v₁=( v₁₁ , v₁₂ , v₁₃ ) ,v₂=( v₂₁ , v₂₂ , v₂₃ ) ,…, v_l=( v_l1 , v_l2 , v_l3 ) から生成された部分ベクトル空間は、
実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。
※なぜ？→詳細　

なぜ？
→例1

「R³の部分集合」は、実ベクトル空間でありさえすれば、R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。
R³は「R³の部分集合」の一つであり、かつ、R³は実ベクトル空間である(∵)から、
R³は、R³の部分ベクトル空間の定義を満たす。　

なぜ？
→例2

実3次元数ベクトル空間R³の零部分空間｛０｝=｛ (０,０,０) ｝は、
R³の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：｛０｝は、「R³の部分集合」であって、空集合ではない。
Q2：｛０｝は、「R³に定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　　つまり、｛０｝に属す任意の実3次元数ベクトルu,v に対して、u+v ∈｛０｝　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実2次元数ベクトルといっても、それは、０= (０,０,０) しかない。　
　　　・０+０＝０　　(∵R³に定められているベクトルの加法の定義と、零ベクトルの定義)　　
Q3：｛０｝は、「R³に定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　　つまり、｛０｝に属す限りで任意の実3次元数ベクトルvと、任意のスカラーa∈Rに対して、
　　　　　　　　　　　　av∈｛０｝　　　
　　　なぜなら、下記２点より。
　　　・｛０｝に属す任意の実2次元数ベクトルといっても、それは、０= (０,０,０) しかない。　
　　　・任意のスカラーa∈Rに対して、a０＝０　(∵零ベクトルのスカラー倍)　　

なぜ？
→例3

実3次元数ベクトル空間R²から、
第3成分が０の実3次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　W={ (v₁ , v₂ ,０) ｜v∈R }　
は、実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：Wは、「R³の部分集合」であって、空集合ではない。
Q2：Wは、「R³に定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実3次元数ベクトル (u₁ , u₂ ,０) , (v₁ , v₂ ,０) （もちろんu₁, u₂ , v₁ , v₂ ∈R）
　　に対して、
　　　 (u₁ , u₂ ,０) + (v₁ , v₂ ,０) 　　
　　　　　= ( u₁＋v₁ , u₂＋v₂ ,０) 　∵R²に定められているベクトルの加法の定義　
　　　　　　∈W　　　　　　∵Rの定義(条件A0)より、u₁, u₂ , v₁ , v₂ ∈Rにたいしてu₁＋v₁, u₂＋v₂ ∈R　
Q3：Wは、「R³に定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトル (u₁ , u₂ ,０) （もちろんu₁ , u₂ ∈R）と、
　　　任意のスカラーk∈Rに対して、
　　　k (u₁ , u₂ ,０) 　
　　　　 = (k u₁ , k u₂ ,０) 　∵R³に定められているスカラー乗法の定義　
　　　　　　∈W　　　　∵Rの定義(条件A0)より、k ,u₁ , u₂ ∈Rにたいしてku₁ , k u₂ ∈R　
実3次元数ベクトル空間R³から、
第2成分が０の実3次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ (v₁ ,０, v₃ ) ｜v₁ , v₃ ∈R }　
実3次元数ベクトル空間R³から、
第1成分が０の実3次元数ベクトルをすべて取り出した集合
　　{ (０, v₂ , v₃ ) ｜ v₂ , v₃ ∈R }　
が、実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たすことも、
まったく同様に示せる（だから略）　

なぜ？
→例4

・任意の実3次元数ベクトルの任意のスカラー積は、実3次元数ベクトルである。　
　なぜなら、
　　なお、任意の ( v₁ , v₂ , v₃ ) ∈R³（もちろん v₁, v₂ , v₃ ∈R）と
　　　　　任意のa ∈R にたいして、
　　　　　a ( v₁ , v₂ , v₃ ) 　
　　　　　 = ( av₁ , av₂ , av₃ ) 　∵R³に定められているスカラー乗法の定義　
　　　　　　∈R³　　　　∵Rの定義(条件A0)より、a, v₁, v₂ , v₃ ∈Rにたいして av₁ , av₂ , av₃ ∈R　　
・任意の実3次元数ベクトル ( v₁ , v₂ , v₃ ) を一つ選んで固定したうえで、
　そのあらゆるスカラー積を集めた集合
　　W={ a ( v₁ , v₂ , v₃ ) ｜ a ∈R }　
　は、実3次元数ベクトル空間R³の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
　Q1：Wは、「R³の部分集合」であって、空集合ではない。
　Q2：Wは、「R³に定められているベクトルの加法」について閉じている。　
　　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実3次元数ベクトル
　　　　　a ( u₁ , u₂ , u₃ ) , a ( v₁ , v₂ , v₃ ) （もちろんa , u₁ , u₂ , u₃ , v₁, v₂ , v₃∈R）
　　　に対して、
　　　　a ( u₁ , u₂ , u₃ ) + a ( v₁ , v₂ , v₃ ) 　
　　　　　= a（ ( u₁ , u₂ , u₃ ) + ( v₁ , v₂ , v₃ ) ） 　∵スカラーに関する分配則　　　
　　　　　= a ( u₁＋v₁ , u₂＋v₂ , u₃＋v₃ ) 　∵R³に定められているベクトルの加法の定義　
　　　　　　∈W　∵Rの定義(条件A0)より、u₁ , u₂ , u₃ , v₁, v₂ , v₃∈Rにたいしてu₁＋v₁ , u₂＋v₂ , u₃＋v₃ ∈R　
　Q3：Wは、「R³に定められているスカラー乗法」について閉じている。
　　　なぜなら、
　　　Wに属す限りで任意の実3次元数ベクトル a ( u₁ , u₂ , u₃ ) （もちろんa , u₁ , u₂ , u₃ ∈R）と、
　　　任意のスカラーk∈Rに対して、
　　　ka ( u₁ , u₂ , u₃ )　∈W　　∵Rの定義(条件A0)より、k,a∈Rにたいしてka∈R