計量実ベクトル空間の基底の諸定義　：　トピック一覧　

・定義：直交系　 / 正規直交系 　　
・定義：直交基底 / 正規直交基底


【関連ページ】
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定義：直交系orthogonal system　

　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);布川『線形代数と凸解析』定義4.4(p.68)]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　 
【本題】
　ベクトルv1,v2,…, vk∈V（ただし、v1,v2,…, vk≠〇 ）が直交系orthogonal systemであるとは、　　
　　　　v1,v2,…, vkがいずれも零ベクトルではなく、　　
　　　　v1,v2,…, vkからどのように異なるベクトルのペアをとっても、そのペアが直交することをいう。
　つまり、
　ベクトルv1,v2,…, vk∈V（ただし、v1,v2,…, vk≠〇 ）が直交系orthogonal systemであるとは、
　　　　v1,v2,…, vk≠〇　
　　　　かつ
　　　　任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば 〈vi,vj 〉=0　
　　　　となること　
　をいう。　
※直交系からの正規直交系のつくりかた　
※ユークリッド空間Rnの直交系/ユークリッド空間Rnの部分空間の直交系　　


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定義：正規直交系orthonormal system　

　　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.121);砂田『行列と行列式』§7.1-(b)(p.243);布川『線形代数と凸解析』定義4.4(p.68);.]

【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　
　∥x∥　：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxのノルム　　　
【本題】
　 　ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが正規直交系 orthonormal system であるとは、　　
　　・v1,v2,…, vkが直交系であり、かつ、v1,v2,…, vkのそれぞれの内積により定まるノルムが1であること、　
　　すなわち、
　　・「任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば 〈vi,vj 〉=0　
　　　　かつ　
　　　「∥v1∥＝∥v2∥＝…＝∥vk∥＝1　」が満たされること　
　　すなわち、
　　・任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば 〈vi,vj 〉=0
 　　　　かつ　
　　　〈v1,v1〉＝〈v2,v2〉＝…＝〈vk,vk〉＝1　が満たされること
　　をいう。　　　　　
※直交系からの正規直交系のつくりかた　
※ユークリッド空間Rnの正規直交系/ユークリッド空間Rnの部分空間の正規直交系　　


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定義：直交基底　orthogonal basis 　　

　[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125);永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　 
【本題】
　 　ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交基底 orthogonal basis であるとは、　　
　　　・v1,v2,…, vkがいずれも零ベクトルではなく、
　　　・v1,v2,…, vkが直交系であり、
　　　・v1,v2,…, vkが実ベクトル空間Vの基底でもある
ことをいう。　　　
すなわち、
　 　ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交基底 orthogonal basis であるとは、
　　・　v1,v2,…, vk≠〇
　　かつ　
　　・「任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば 〈vi,vj 〉=0　
　　かつ　
　　・「v1,v2,…, vkが実ベクトル空間Vの基底である」こと　　　
をいう。　　　　　　
※ユークリッド空間Rnの直交基底/ユークリッド空間Rnの部分空間の直交基底　　

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定義：正規直交基底 　orthonormal basis　

　[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125);永田『理系のための線形代数の基礎』4.2(p.116);　　
　　砂田『行列と行列式』§7.1-(c)(p.245).斎藤『線形代数入門』４章§6(p.121);志賀『固有値問題30講』9講(p.68);]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　
　∥x∥　：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム　　　
【本題】

　ベクトルv1,v2,…, vk∈V（ただし、v1,v2,…, vk≠〇 ）が 正規直交基底 orthonormal basis であるとは、　　
　　・v1,v2,…, vkが正規直交系であり、かつ、v1,v2,…, vkが実ベクトル空間Vの基底でもあること　　　
　　すなわち、
　　・「任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば 〈vi,vj 〉=0　
　　　かつ
　　・「∥v1∥＝∥v2∥＝…＝∥vk∥＝1　」
　　　かつ　　
　　・「v1,v2,…, vkが実ベクトル空間Vの基底である」こと　
をいう。　　　　　　
※ユークリッド空間Rnの正規直交基底/ユークリッド空間Rnの部分空間の正規直交基底　


(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、4.1.1内積と直交(pp.65-70)。