Rnの部分空間の次元の性質：トピック一覧　　～　　数学についてのwebノート

　・定理：Rnの次元とRnの部分空間の次元,ベクトル空間の２つの部分空間の次元　
　・定理： 和空間の次元、直和と線形独立、直和の次元　　

※実n次元数ベクトル空間関連ページ：実n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/次元　　　
※Rnの部分ベクトル空間：定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/部分空間の集合算/～に張られた部分ベクトル空間
　　　　　　　　　　　　　　　和･直和分解･補空間/部分空間の基底/部分空間の次元
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定理：Rnの次元と、Rnの部分空間の次元

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W： Rnの部分ベクトル空間。　

[文献]
佐武
『線形代数学』Ⅲ§2(p.94)
柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.2(p.7);永田
『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.1(p.32):証明付;
志賀
『線形代数30講』21講(p.132);
ホフマン･クンツェ
『線形代数学I』2.3基底と次元定理5系1(p.47);
砂田
『行列と行列式』§5.3-d定理5.62(p.179).

本題

1. Ｒnの部分ベクトル空間の次元が、Ｒnの次元より大きくなることはない。　　　
　　つまり、
　　　　　Wが「Ｒnの部分ベクトル空間」ならば、　　　　
　　　　　dimW≦dimＲn=n　　
2. 「Ｒnの部分ベクトル空間」で、次元が「Ｒnの次元」に等しいものがあるなら、それは、Ｒn自身。
　　つまり、
　　Wが「Ｒnの部分ベクトル空間」、かつ、　dimW=dim Ｒn=nならば、　　　
　　　　　W=Ｒn　

証明

・「Ｒnの部分ベクトル空間Wの次元」dim Wは、
　　　　Wにおける線形独立なベクトルの最大個数に等しい（∵）。
・Ｒnの部分ベクトル空間Wにおける線形独立なベクトルの最大個数は、
　　　　nをこえない。（∵）　
・dimＲn=n　（∵）　　　　
以上三点から、dimW≦dimＲn=n　　　　　　
　　　　

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定理：包含関係にある部分空間の次元

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W1：Rnの部分ベクトル空間　　
W2：Rnの部分ベクトル空間

[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.96)
永田『理系のための線形代数の基礎』系1.5.2(p.32);
斎藤『線形代数入門』４章§4[4.6](p.109);
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』2.3基底と次元定理6(p.47)

本題1

実n次元数ベクトル空間Rnの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　　　　W1⊆W2　ならば、dimW1≦dimW2　　　

本題2

実n次元数ベクトル空間Rnの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　　　　W1⊆W2　かつ　dimW1=dimW2　ならば、W1=W2　　

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定理：和空間の次元

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W1：Rnの部分ベクトル空間　　
W2：Rnの部分ベクトル空間

[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ§2定理4(p.96):証明付;系(p.98)
永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.3(p.33):証明付;
斎藤『線形代数入門』４章§4[4.7](p.109)
久米『数理統計学』1.5(p.5)。

本題1

実n次元数ベクトル空間Rnの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2－dim(W1∩W2) 　　

本題2

実n次元数ベクトル空間Rnの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　dim(W1＋W2)≦dimW1＋dimW2　　

本題3

実n次元数ベクトル空間Rnの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2　⇔　W1∩W2が零部分空間　

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定理：直和と線形独立性

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W1,W2, …, Wk：：Rnの部分ベクトル空間　　

[文献]
砂田『行列と行列式』§5.3-a定理5.35(p.171):証明付

本題

1.
　実n次元数ベクトル空間Rnが、その部分ベクトル空間W1 ,W2 ,…,Wkの直和に分解される　
　　　　　　
　ならば、　
　W1 に属す任意の実n次元数ベクトルv1 　
　W2 に属す任意の実n次元数ベクトルv2 　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　Wk に属す任意の実n次元数ベクトルvk 　
　のなかで、零ベクトルでない実n次元数ベクトルは、線形独立となる。
2.　
　Ｒn=W1＋W2＋…＋Wn　
　かつ　　
　W1 に属す任意の実n次元数ベクトルv1 　
　W2 に属す任意の実n次元数ベクトルv2 　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　　：　　　　　　　　　　：　　
　Wk に属す任意の実n次元数ベクトルvk 　
　のなかで、零ベクトルでない実n次元数ベクトルが線形独立となる　　
　ならば、　
　実n次元数ベクトル空間Rnが、その部分ベクトル空間W1 ,W2 ,…,Wkの直和に分解される　
　　　　　　　　　

　

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定理：直和の次元

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
W1,W2, …, Wk：：Rnの部分ベクトル空間　　

[文献]
佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.98)
永田『理系のための線形代数の基礎』系1.5.4(p.34);
砂田『行列と行列式』§5.3-d例題5.67(p.181):証明付
久米『数理統計学』1.5(p.5)。

本題

1.　
　実n次元数ベクトル空間Rnが、その部分ベクトル空間W1 ,W2の直和に分解される　
　　　　　　
　ならば、　
　dimＲn=dimW1＋dimW2　
2.　　
　実n次元数ベクトル空間Rnと、その部分ベクトル空間W1,W2について、
　　・Ｒn=W1＋W2　　
　　かつ　　
　　・dimＲn=dimW1＋dimW2　
　が成り立つならば、　
　実n次元数ベクトル空間Rnは、部分ベクトル空間W1 ,W2の直和に分解される　
　　
3.　　
　実n次元数ベクトル空間Rnが、その部分ベクトル空間W1 , W2 , …,Wkの直和に分解される　
　　　　　　
　ならば、　
　dimＲn=dimW1＋dimW2＋…＋dimWk　　　
4.　　
　実n次元数ベクトル空間Rnと、その部分ベクトル空間W1 ,W2 , …,Wk について、
　　・Ｒn=W1＋W2＋…＋Wk 　　
　　かつ　　
　　・dimＲn=dimW1＋dimW2＋…＋dimWk 　　　
　が成り立つならば、　
　実n次元数ベクトル空間Rnは、部分ベクトル空間W1 , W2 , …,Wkの直和に分解される　
　　　　　　　

活用例

直交補空間の次元、

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元定理5-6(pp.46-9)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-d(p.179).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§4線形部分空間(p.107-112)。
柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§1.2定義1.2(p.6)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。

数理統計学のテキスト
佐和隆光『回帰分析』 朝倉書店、1979年、2.1ベクトルとベクトル空間。
久米均『数理統計学』コロナ社、1984年、1.線形代数1.5部分空間の和(p.5)。

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