～が張るRnの部分ベクトル空間：トピック一覧　　～　　数学についてのwebノート

　・定義：～を含む最小の部分ベクトル空間/～が張る部分空間/両者の一致

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定義：～を含む最小の部分ベクトル空間

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2, …, vl：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln )　∈Ｒn　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Ｒn　。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、
　　　　　　　個数lが、Ｒnのnと等しくなくてもよいことに注意。
｛ v1, v2, …, vl ｝：l個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl からなる集合。　　
　　　　　　　つまり、｛ v1, v2, …, vl ｝　　
　　　　　　　　　　　　=｛ ( v11, v12, …, v1n ) , ( v21, v22, …, v2n ) , …, ( vl1, vl2, …, vln ) ｝
　　　　　　　これは、実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合となるが、
　　　　　　　　　　必ずしも、Ｒnの部分ベクトル空間とはならない。

[文献]

ホフマン
『線形代数学I』2.2部分空間:定理2(p.37);

永田
『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.32);

本題

｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の「Ｒnの部分ベクトル空間」とは、
任意の「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」に含まれる「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」のこと。
つまり、
「W０が、｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Ｒnの部分ベクトル空間』である」とは、
　W０が、以下の3条件を満たすこと。
　　条件1：　W０⊃｛ v1, v2, …, vl ｝であること。
　　条件2：　W０が『Ｒnの部分ベクトル空間』であること(→その必要十分条件)。　　
　　条件3：　任意の『Ｒnの部分ベクトル空間』Wに対して、
　　　　　　　　W⊃｛ v1, v2, …, vl ｝　⇒　W⊃W０　　
　　　　　　　が成立すること。　
　　　　　　すなわち、
　　　　　　「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦで表すと、
　　　　　　　　　（∀W∈Ц）（W０⊂W）　　　

噛み砕いた説明

Step1. 「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」として、いろいろなものが考えられるが、
　　　そのすべてを考えるとしよう。
　　　これら、様々な「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」を、
　　　　W1,W2,W3,W4,…と名づけることにする。
　　　　　　　　　　　　つまり、Wiは『Ｒnの部分ベクトル空間』であって、｛ v1, v2, …, vl ｝⊂Wi　　
Step2. 「W０が、｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Ｒnの部分ベクトル空間』である」とは、
　　　　　・W０が「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」であって、
　　　　　　　　　　　　つまり、W０は『Ｒnの部分ベクトル空間』であって、
　　　　　　　　　　　　　　　　｛ v1, v2, …, vl ｝⊂W０　　
　　　　　・W０⊂W1 , W０⊂W2 , W０⊂W3 , W０⊂W4 ,…　を満たす
　　　　　ことをいう。　

※

例：～から生成された部分ベクトル空間

※

これは～が張る部分空間と一致する（→理由）

※類概念：

～を含む最小のσ加法族　

※上位概念

体上のベクトル空間における「～を含む最小の部分ベクトル空間」、実ベクトル空間における「～を含む最小の部分ベクトル空間」　　

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定義：～が張る部分空間、～によって張られる部分空間

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2, …, vl：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln )　∈Ｒn　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Ｒn　。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、
　　　　　　　個数lが、Ｒnのnと等しくなくてもよいことに注意。
｛ v1, v2, …, vl ｝：l個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl からなる集合。　　
　　　　　つまり、｛ v1, v2, …, vl ｝　　
　　　　　　　　　　=｛ ( v11, v12, …, v1n ) , ( v21, v22, …, v2n ) , …, ( vl1, vl2, …, vln ) ｝
　　　　　　　　これは、実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合となるが、
　　　　　　　　　　　　必ずしも、Ｒnの部分ベクトル空間とはならない。　

[文献]

砂田
『行列と行列式』§5.2(p.162)；

ホフマン
『線形代数学I』2.2部分空間(p.37);

松坂
『集合・位相入門』3章§5C(p.133);

本題

実n次元数ベクトルの集合｛ v1, v2, …, vl ｝が張る部分空間とは、
あらゆる「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」の共通部分。
記号《v1, v2, …, vl》で表す
つまり、「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおくと、
　《v1, v2, …, vl》≡∩Ц　　

性質０

「実n次元数ベクトルの集合｛ v1, v2, …, vl ｝が張る部分空間」は、
『Ｒnの部分ベクトル空間』の定義を満たす。
　※なぜ？→証明　

性質1

「～が張る部分空間」は、～から生成された部分ベクトル空間に一致する。

性質2

「～が張る部分空間」は、～を含む最小のベクトル空間に一致する。（→理由）

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定理：「～を含む最小の部分ベクトル空間」と、「～が張る部分ベクトル空間」は一致する。

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2, …, vl：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln )　∈Ｒn　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Ｒn　。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、
　　　　　　　個数lが、Ｒnのnと等しくなくてもよいことに注意。
｛ v1, v2, …, vl ｝：l個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl からなる集合。　　
　　　　　　　　つまり、｛ v1, v2, …, vl ｝　　
　　　　　　　　　　　　　=｛ ( v11, v12, …, v1n ) , ( v21, v22, …, v2n ) , …, ( vl1, vl2, …, vln ) ｝
　　　　　　　　これは、実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合となるが、
　　　　　　　　　　　　必ずしも、Ｒnの部分ベクトル空間とはならない。
Ц：「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Rnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系
W０：｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』　　
《v1, v2, …, vl》：｛ v1, v2, …, vl ｝が張るRnの部分ベクトル空間　

[文献]
砂田
『行列と行列式』
§5.2補題5.23の議論の骨格から(p.163)；

本題

「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」W０と、
「｛ v1, v2, …, vl ｝が張るRnの部分ベクトル空間」《v1, v2, …, vl》は一致する。

証明

W0⊃《v1, v2, …, vl》かつ《v1, v2, …, vl》⊃W0を示せばよい。
Step1:　
・「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおく。
・「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」W０は、
　「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」である。
　　　　　　　　　∵「Sを含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」の定義　
　したがって、W０∈Ц　　　　　　　…(1-1)　
・《v1, v2, …, vl》の定義より、《v1, v2, …, vl》＝∩Ц　　　…(1-2)　
・集合系の積集合の性質より、任意のW∈Цにたいして、W⊃(∩Ц)　…(1-3)　　
・(1-3)に(1-2)を代入すると、　　
　　　任意のW∈Цにたいして、W⊃《v1, v2, …, vl》　…(1-4)　
　となる。　
・(1-1)と(1-4)より、W0⊃《v1, v2, …, vl》　
以上によって、W0⊃《v1, v2, …, vl》は示された。　　　
Step2:　
・「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む『Ｒnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおく。
・「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」W０は、
　　　　　（ ∀W∈Ц ）（ W⊃W０ ）　　　…(2-1)　
　を満たす。　∵「｛ v1, v2, …, vl ｝を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」の定義　
　したがって、集合系の積集合の性質より、(2-1)のもとで、
　　　　　∩Ц⊃W０　　　…(2-2)　
　が成立する。
　《v1, v2, …, vl》＝∩Ц　（∵《v1, v2, …, vl》の定義）　を用いて、(2-2)を書きかえると、
　《v1, v2, …, vl》⊃W０　
以上によって、《v1, v2, …, vl》⊃W０　は示された。　　　　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。


数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。

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