代数系 algebraic system

[トピック一覧:代数系] 二項演算・算法加法・乗法代数系
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定義:二項演算binary operation・算法law of composition 
   
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』第2章§1代数系(p.35); 酒井『環と体の理論1.2節代数系(p.3);
    岩波数学辞典121構造A構造2)算法; 本部『新しい代数2.1A.二項演算(p.22);]
(設定)
X: 集合
x,y : Xの元
(本題)
・集合
X上の二項演算・算法とは、
  
写像fX×XX 
のこと。
直積×写像の語義に立ち戻って言いなおせば、
 集合
X上の二項演算・算法とは、
  
X×X = { (x,y) | xX かつ yX }に属すあらゆる
     すなわち、集合
Xに属す2つの元を組み合せたあらゆる順序対(x,y) 
  に対して、 
  それに対応する集合
X f ( x , y ) X を一つずつ定める「とりきめ」のこと。

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定義:加法・乗法 
   
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』第2章§1代数系(p.35); 酒井『環と体の理論1.2節代数系(p.3);
    岩波数学辞典104(p.281); 本部『新しい代数2.1A.二項演算(p.22);]
(設定)
X: 集合
fX上の二項演算
(本題)
二項演算f(x , y)xyと書くとき、この二項演算加法additionとよび、演算結果を和sumとよぶ。
二項演算f(x , y)xyと書くとき、この二項演算f(x , y)乗法multiplicationとよび、演算結果を積productとよぶ。
※このように、加法・乗法それぞれの計算の仕方は、この段階では定義されていない。これが、どのような条件を満たすように定義されるかによって、加法および乗法をそなえた集合=代数系が分類されていく(→半群・群・環・体・実数体…)。
→加法についての分類:
加法半群加法に関する可換半群単位元つき半群加法群
→乗法についての分類:
半群可換半群単位元つき半群  

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定義:代数系algebraic system
  [岩波数学辞典』項目121C代数系(p.327);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』第2章§1代数系(p.35);
    酒井『環と体の理論1.2節代数系(p.3);]
何種類かの二項演算が定義された集合(正確に言えば、二項演算と集合の組)代数系とよぶ。
集合X に、X上の二項演算fを定めてつくった代数系は、
 本来ならば、
(X , f )というペアで表したほうが正確なのだろうが、
 単に、
X で表すのが慣例。  
代数系の例:二項演算の具体的な中身を、どのように定義するかによって、加法および乗法をそなえた集合=代数系が分類されていく
  →
半群可換半群単位元つき半群・単位的半群・モノイド
  →
加法半群加法に関して可換半群加法に関して単位元つき半群・単位的半群・モノイド
  →
乗法群可換群・アーベル群、   
  →
加法に関する群・加法群加法に関する可換群・加法群・加群  
  →
単位的環可換環、      
  →
体(可換体)非可換体       
  →
実数体      

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Reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(3) 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56 (pp. 153-6), 項目104(p.281);項目229. (p.643).
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-39)
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)
本部均『新しい数学へのアプローチ
5:新しい代数』共立出版、1969年、22.1節半群A.二項演算。


神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p. 57.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.1-2.

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