代数系 algebraic system

[トピック一覧：代数系]　二項演算・算法、加法・乗法、代数系
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定義：二項演算binary operation・算法law of composition　
　　　[斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』第2章§1代数系(p.35); 酒井『環と体の理論』1.2節代数系(p.3);
　　　　『岩波数学辞典』121構造A構造2)算法; 本部『新しい代数』2.1節A.二項演算(p.22);]
（設定）
X:　集合
x,y : Xの元
（本題）
・集合X上の二項演算･算法とは、
　　写像f：X×X→X　
のこと。
・直積×と写像の語義に立ち戻って言いなおせば、
　集合X上の二項演算･算法とは、
　　X×X = { (x,y) | x∈X かつ y∈X }に属すあらゆる元、
　　　　　すなわち、集合Xに属す2つの元を組み合せたあらゆる順序対(x,y)　
　　に対して、　
　　それに対応する集合Xの元 f ( x , y ) ∈ X を一つずつ定める「とりきめ」のこと。

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定義：加法･乗法　
　　　[斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』第2章§1代数系(p.35); 酒井『環と体の理論』1.2節代数系(p.3);
　　　　『岩波数学辞典』104群(p.281); 本部『新しい代数』2.1節A.二項演算(p.22);]
（設定）
X:　集合
f：X上の二項演算
（本題）
・二項演算f(x , y)をx＋yと書くとき、この二項演算を加法additionとよび、演算結果を和sumとよぶ。
・二項演算f(x , y)をxyと書くとき、この二項演算f(x , y)を乗法multiplicationとよび、演算結果を積productとよぶ。
※このように、加法・乗法それぞれの計算の仕方は、この段階では定義されていない。これが、どのような条件を満たすように定義されるかによって、加法および乗法をそなえた集合＝代数系が分類されていく（→半群・群・環・体・実数体…）。
→加法についての分類：加法半群、加法に関する可換半群・単位元つき半群、加法群
→乗法についての分類：半群、可換半群・単位元つき半群、群　　

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定義：代数系algebraic system
　　[『岩波数学辞典』項目121C代数系(p.327);斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』第2章§1代数系(p.35);
　　　　酒井『環と体の理論』1.2節代数系(p.3);]
何種類かの二項演算が定義された集合(正確に言えば、二項演算と集合の組)を代数系とよぶ。
※集合X に、X上の二項演算fを定めてつくった代数系は、
　本来ならば、(X , f )というペアで表したほうが正確なのだろうが、
　単に、X で表すのが慣例。　　
※代数系の例：二項演算の具体的な中身を、どのように定義するかによって、加法および乗法をそなえた集合＝代数系が分類されていく
　　→半群、可換半群、単位元つき半群･単位的半群・モノイド
　　→加法半群、加法に関して可換半群、加法に関して単位元つき半群･単位的半群・モノイド
　　→乗法群、可換群･アーベル群、　　　
　　→加法に関する群･加法群、加法に関する可換群･加法群･加群　　
　　→環、単位的環、可換環、　　　　　　
　　→体（可換体）、非可換体　　　　　　　
　　→実数体　　　　　　

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日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56環 (pp. 153-6), 項目104群(p.281);項目229.体 (p.643).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-39)
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)。
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、2章2.1節半群A.二項演算。


神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p. 57.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.1-2.

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