写像と集合族・集合列の性質

[トピック一覧：写像と集合族/列の性質]
　・像と和集合(集合族/有限集合列/無限集合列) / 像と積集合(集合族/有限集合列/無限集合列)　
　・逆像と和集合(集合族/有限集合列/無限集合列) / 逆像と積集合(集合族/有限集合列/無限集合列)

※関連ページ：集合族・集合列の定義 / 集合族・集合列の性質１　

→参考文献・集合論目次・総目次

5.像と和集合　

5a.集合族の場合

設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Aの部分集合族{Mλ}λ∈Λ
が与えられているとする。


[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.3) (p.45);
　・『岩波数学事典』項目162D集合の族
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』1.3.4（式1.5）(pp.51-52).
　　　　　∪の逆像のケースとあわせて、「∪はいつでもそのまま前に出る」と覚えることを提唱。

※関連：集合族ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・「集合Aの部分集合族の和集合」のfによる像は、
　「集合Aの各部分集合のfによる像」の和集合と同じ。
　 すなわち、
f( ∪
 Mλ
 ) ＝ ∪
 f(Mλ)
λ∈Λ λ∈Λ

5b.有限個の集合列の場合

設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Aの部分集合列A1,A2,A3,…,An
が与えられているとする。



[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.3) (p.45);
　・『岩波数学事典』項目162D集合の族


※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・「集合Aの部分集合列の和集合」のfによる像は、
　「集合Aの各部分集合のfによる像」の和集合と同じ。
　 すなわち、
f( n
) ＝
n
∪ Ak ∪ f(Ak)
k=1
 k=1

5c.無限個の集合列の場合


設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Aの部分集合列A1,A2,A3,…
が与えられているとする。

[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.3) (p.45);
　・『岩波数学事典』項目162D集合の族


※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・「集合Aの部分集合列の和集合」のfによる像は、
　「集合Aの各部分集合のfによる像」の和集合と同じ。
　 すなわち、
f( ∞
) ＝
∞
∪ Ak ∪ f(Ak)
k=1
 k=1


→[トピック一覧：写像と集合族/列の性質]
→集合論目次・総目次

6.像と積集合

6a.集合族の場合


[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式 5.4) (p.46);
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』1.3.4（式1.7）(p.51).



※関連：集合族ではなくて、二つの集合のケース　

設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Aの部分集合族{Mλ}λ∈Λ
が与えられているとする。

本題

 ・「集合Aの部分集合族のintersection」 のfによる像は、
　「集合Aのその部分集合族の各部分集合のfによる像」のintersectionに含まれる。
　 すなわち、　
f( ∩ Mλ
 ) ⊂ ∩ f(Mλ)
λ∈Λ λ∈Λ

6b.有限個の集合列の 場合

設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Aの部分集合列A1,A2,A3,…,An
が与えられているとする。







[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式 5.4) (p.46);


※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・「集合Aの部分集合列のintersection」 のfに よる像は、
　「集合Aのその部分集合列の 各部分集合のfによる像」のintersectionに含まれる。
　 すなわち、　
f( n
) ⊂ n
∩ Ak ∩ f(Ak)
k=1
k=1

6c.無限個の集合 列の場合


設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Aの部分集合列A1,A2,A3,…
が与えられているとする。




[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式 5.4) (p.46);


※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・「集合Aの部分集合列のintersection」 のfによる像は、
　「集合Aのその部分集合列の 各部分集合のfによる像」のintersectionに含まれる。
　 すなわち、
f( ∞
) ⊂ ∞
∩ Ak ∩ f(Ak)
k=1
k=1


→[トピック一覧：写像と集合族/列の性質]
→集合論目次・総目次

7.逆像と和集合

7a.集合族の場合


[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.3') (p.46);
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』1.3.4：(式1.6)(pp.51-52).
　　　　　∪の像のケースとあわせて、「∪はいつでもそのまま前に出る」と覚えることを提唱。


※関連：集合族ではなくて、二つの集合のケース　

設定

 ・写像「f :集合A→集合B」
・集合Bの部分集合族{Mλ}λ∈Λ
が与えられているとする。

本題

 ・「集合Bの部分集合族の和集合」のfによる逆像は、
　「集合Bのその部分集合族の各部分集合のfによる逆像」の和集合と同じ。
　 すなわち、
f -1( ∪ Mλ
 ) ＝  ∪ f-1(Mλ)
λ∈Λ λ∈Λ

7b.有限個の集合列の 場合

設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Bの部分集合列B1,B2,B3,…,Bnが与えられているとする。
が与えられているとする。







[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.3') (p.46);



※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・集合Bの部分集合列の和集合のfによる逆像は、
　集合Bのその部分集合列の各部分集合のfによる逆像の和集合と同じ。
　すなわち、　
f -1( n
) ＝  n
∪ Bk ∪ f-1(Bk)
k=1
k=1

7c.無限個の集合 列の場合


設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Bの部分集合列B1,B2,B3,…
が与えられているとする。




[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.3') (p.46);



※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・集合Bの部分集合列の和集合のfによる逆像は、
　集合Bのその部分集合列の各部分集合のfによる逆像の和集合と同じ。
　すなわち、 
f -1( ∞
) ＝  ∞
∪ Bk ∪ f-1(Bk)
k=1
k=1


→[トピック一覧：写像と集合族/列の性質]
→集合論目次・総目次

8.逆像と積集合

8a.集合族の場合


[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.4') (p.46);
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』1.3.4（式1.7）(p.51).

※活用例：誘導位相の存在証明
　


※関連：集合族ではなくて、二つの集合のケース　

設定

 ・写像「f :集合A→集合B」
・集合Bの部分集合族{Mλ}λ∈Λ
が与えられているとする。

本題

 ・集合Bの部分集合族のintersectionのfによる逆像は、
　集合Bのその部分集合族の各部分集合のfによる逆像のintersectionと同じ。
　すなわち、　　　
f -1( ∩ Mλ
 ) ＝ ∩ f-1(Mλ)
λ∈Λ λ∈Λ

　　　

8b.有限個の集合列の 場合

設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Bの部分集合列B1,B2,B3,…,Bn
が与えられているとする。







[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.4') (p.46);



※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 ・集合Bの部分集合列のintersectionのfによる逆像は、
　集合Bのその部分集合列の各部分集合のfによる逆像のintersectionと同じ。
　すなわち、　
f -1( n
) ＝ n
∩ Bk ∩ f-1(Bk)
k=1
k=1


8c.無限個の集合 列の場合


設定

 ・写像「f : 集合A→集合B」
・集合Bの部分集合列B1,B2,B3,…
が与えられているとする。




[文献]

　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C(式5.4') (p.46);



※関連：集合列ではなくて、二つの集合のケース　

本題

 集合Bの部分集合列のintersectionのfによる逆像は、
　　　　集合Bのその部分集合列の各部分集合のfによる逆像のintersectionと同じ。
　　　すなわち、　
f -1( ∞
) ＝ ∞
∩ Bk ∩ f-1(Bk)
k=1
k=1



→[トピック一覧：写像と集合族/列の性質]
→集合論目次・総目次

reference

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』 岩波書店、1985年。項目58関数D族・列(p.158)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第1章§5.A-B-C(pp.42-6)。
矢野公一『共立講座21世紀の数学4距離空間と位相構造』共立出版、1997年、付録A.1.3集合と選択公理(pp.226-7.)

→[トピック一覧：写像と集合族/列の性質]
→集合論目次・総目次