一般のベクトル空間における同型写像 : トピック一覧

・定義:同型写像同型  
・定理:同型の反射律・対称律・推移律 
※一次写像関連ページ:
  一次写像−定義ベクトル演算の一次写像一次写像の代数系一次写像と線形独立一次写像―全射・単射  
  同型写像同型写像と線形独立  
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定義:同型写像・同形写像 linear isomorphism  
[岩波数学辞典210線形空間:B線形写像(p.570);砂田『行列と行列式』§5.1C(p.159)
 永田『理系のための線形代数の基礎1.3(p.20);ホフマン『線形代数学I3.3同型(p.86); 
 酒井『環と体の理論1.6ベクトル空間(p.23);藤原『線形代数4.1(pp.93-4);志賀『線形代数30講』16(p.104);]
(舞台設定)
K (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
V K上のベクトル空間 
V' K上のベクトル空間 
(本題)
同型写像linear isomorphismとは、全単射である一次写像のこと。
つまり、
一次写像f が、VからV'への同型写像である」とは、
 
写像f が、次の2要件を満たすことをいう。 
 要件
1: 写像f が、VからV'への一次写像であること。
   すなわち、 
    
(1-1) (x,yV) ( f ( x+y )=f ( x )+f ( x ) )  
    
(1-2) (xV) (aK) ( f (a x )=af ( x ) )  
 要件
2: f 全単射であること。[一次写像が単射・全射となるための必要十分条件] 
   すなわち、 
    
(2-1) f (V)=V'  つまり、Imagef=V'  
    
(2-2)  v,v'Vかつf ( v )=f ( v' )  v =v'  
代数系一般における同形写像の定義線形独立と同型写像

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定義:同型・同形   
[岩波数学辞典210線形空間:B線形写像(p.570);砂田『行列と行列式』§5.1C(p.159)
 永田『理系のための線形代数の基礎1.3(p.20);ホフマン『線形代数学I3.3同型(p.86); 
 酒井『環と体の理論1.6ベクトル空間(p.23);藤原『線形代数4.1(pp.93-4);志賀『線形代数30講』16(p.104);]
(舞台設定)
K (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
V K上のベクトル空間 
V' K上のベクトル空間 
(本題)
・「
VV'同型である」とは、VからV'への同型写像が存在することをいう。
・「
VV'同型である」を次の記号で表す。
     

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定理:同型の性質   
[砂田『行列と行列式』§5.1C(p.159);藤原『線形代数4.1(p.94);
 ホフマン『線形代数学I3.3同型(p.86); 
 志賀『線形代数30講』16(p.104);]
(舞台設定)
K (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
V K上のベクトル空間 
V' K上のベクトル空間 
V'' K上のベクトル空間 
(本題)
(1)反射律 
   

   つまり、
VからVへの写像は、同型写像
(2)対称律 
   

   つまり、
同型写像逆写像同型写像
(3)推移律 
   
かつ
   つまり、
同型写像の合成写像は同型写像

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定義:正則な写像 regular, nonsingular 
 
[志賀『線形代数30講』16(p.102;104);岩波数学辞典210線形空間:B線形写像(p.570);
  ホフマン『線形代数学I3.2基底と次元(p.82); 
(舞台設定)
K (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
(本題)
ホフマン『線形代数学I3.2基底と次元(p.82)は、単射(T対1写像)である一次写像(これは、そのKernelが{0}であることと同値)を正則な写像と呼ぶ。
・志賀『線形代数
30講』16(p.102;104)は、一次写像f :VV'が、単射(T対1写像)であり、かつ、dimV=dimV'であるものを正則写像と呼んでいる。

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト

志賀浩二『数学
30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)
佐武一郎『線形代数学
(44)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
藤原毅夫『理工系の基礎数学
2線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91) 線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
斎藤正彦『
線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2(p.249)
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式2003年、§5.1(p.159).

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ
5新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)
酒井文雄『共立講座
21世紀の数学8環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22):数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)

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