1変数関数の様々な「収束convergence」「極限値limit」概念の雛形


 





ε-δ法による厳密な表現論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル
近傍概念を用いた表現

【関連】
・1変数関数の極限概念:極限/右極限/左極限/片側極限
・1変数関数の極限概念の周辺:連続/x→+/−∞での極限/発散
・関数一般に拡張された極限概念:
 →2変数関数の極限/n変数関数の極限/実数値関数一般の極限/n変数ベクトル値関数の極限/写像の極限   
 →数列の極限       








ビギナー向け定義 ― 日常言語の枠内で

・「f(x)定義域Dのなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)α (xx0 , xD ) 

 「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はα」  

lim

 f(x)α

xx0
xD

 とは、

 「変数xx0 に一致してしまうところまでふくめて、
    変数xが《f定義域D》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f (x)実数Aに限りなく近づく」
  ということ。

・「f(x)、《定義域部分集合S》のなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)α (xx0 , xS ) 

 「定義域部分集合Sのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はα」  

lim

 f(x)α

xx0
xS

 とは、

 「変数xx0 に一致してしまうところまでふくめて、
    変数xが《f定義域部分集合S》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f (x)実数Aに限りなく近づく」
  ということ。


ε-δ法による厳密な表現論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル
近傍概念を用いた表現

【注意】

・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)極限値はα」をどのように定義しているか、チェックしていくと、
  下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
   【教科書タイプ1】 「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)極限値はα」 を、 「変数xが、《f定義域D》のなかで、x0 以外の値をとりながらx0 に限りなく近づくとき、f (x)実数Aに限りなく近づく」 (→詳細)で定義する教科書。
   【教科書タイプ2】 「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)極限値はα」 を、 「変数xx0 に一致してしまうところまでふくめて、変数xが《f定義域D》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f (x)実数Aに限りなく近づく」(→上欄)で定義する教科書。
・【教科書タイプ1】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できない。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

・このノートでは、 

  【教科書タイプ1】の極限定義を、 f(x)α (xx0) または 

lim

  f(x)  α

 で、
xx0

  【教科書タイプ2】の極限定義を、  f(x)α (xx0, xD) または  

lim
 f(x) =α  で、
xx0
xD
 表すことによって、両者を区別する。

・この記法は、Lang,ラング現代微積分学』2章§2(p.47)や、杉浦『解析入門I』【命題6.4】(p.55)に沿ったつもり。

※なお、f定義域Dとしたとき、 
   【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)の極限値はα」 f(x)α (xx0) は、
   【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの D{x0} への制限f * (x)はx→x0のときαに収束する/極限値αを持つ」  f *(x)→α ( xx0 , xD{x0} ) [赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)] 
                                 「 D{x0}のなかでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極限値αを持つ」   f (x)→α  ( xx0 , xD{x0} ) [杉浦『解析入門』定義3・注意1(pp.52-54)]
  にあたる。




1変数関数の極限定義 
トピック一覧:1変数関数の極限 

「極限」概念の雛形 : ε−δ論法による厳密な表現 

・《実数の集合Dを定義域とする1変数関数f 
 《実数の集合D》の触点x0  
  実数α  
 に対して、

 「f(x)定義域Dのなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)α (xx0 , xD ) 

 「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はα」  

lim

 f(x)α

xx0
xD

 とは、

 どんな《正の実数》 を選んで、εに代入しても、
 εに代入した《正の実数に好都合な《正の実数》が少なくとも一個は存在するので、
 そのεに代入した《正の実数に好都合な《正の実数》を探し出してδに代入することによって、

     「どの《 f定義域Dに属す実数》をxに 代入しても、fx0 は、
             『 |xx0|δならば| f(x)α |ε  』
         すなわち『 x0δxx0δならばαεf (x)α+ε 』
         すなわち『 x( x0δx0+δ) ならば、 f(x) (αε, αε) 』」

  を成り立たせることができる

  論理記号で表すと、
    ε>0  δ>0  xD  ( |xx0|<δ | f (x)α|<ε)
    ε>0  δ>0  xD  ( x0−δ<xx0+δ α−ε< f (x)α+ε)  
    ε>0  δ>0  xD  ( x ( x0−δ, x0) f (x)  (α−ε, α+ε) )  

 ということ。

 どう読むの?→ 読み下しサンプル 
 どういうこと?→  論理にこだわって    
 別の表現は?→ 近傍概念を用いた簡潔な表現 


・《実数の集合Dを定義域とする1変数関数f 
 《実数の集合D》の触点x0  
 に対して、

  「f(x)は、定義域Dのなかでxx0に近づくとき、収束する

 「 

lim

 f(x) が存在する 」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]

xx0
xD

 とは、

 f(x)α (xx0 , xD )、すなわち、 

lim

 f(x)α  を満たす実数αが存在する 

xx0
xD

   論理記号で表すと、
    αR  ε>0 δ>0 xD ( |xx0|<δ | f (x)α|<ε)
    αR  ε>0 δ>0 xD ( x0−δ<xx0+δ α−ε< f (x)α+ε)   
    αR   ε>0 δ>0 xD ( x ( x0−δ, x0) f (x) (α−ε, α+ε) )  

 ということ。



・《実数の集合Dを定義域とする1変数関数f 
  《実数の集合D》の部分集合S  
 「《実数の集合D》の部分集合S」の触点x0  
  実数α  

 に対して、

 「Sのなかでxx0に近づくとき、f(x)αに収束するf(x)α (xx0 , xS ) 

  「Sのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はα」  

lim

 f (x) = α    

xx0
xS


 とは、

  どんな《正の実数》 を選んで、εに代入しても、
   εに代入した《正の実数に好都合な《正の実数》が少なくと も一個は存在するので、
    そのεに代入した《正の実数に好 都合な《正の実数》を探し出し てδに代入することによって、

    「どの《 f定義域部分集合Sに属す実数をxに 代入しても、fx0 は、
           『 |xx0|δならば| f(x)α |ε  』
       すなわち『 x0δxx0δ ならばαεf (x)α+ε 』
       すなわち『( x0δ, x0+δ) ならば、 f(x) (αε, αε) 』」
   を成り立たせることができる

 論理記号で表すと、

  ε>0 δ>0 xS  (   | xx0|<δ) |  f (x)α |<ε)  
  ε>0  δ>0  xS  ( x0−δ<xx0+δ α−ε< f (x)α+ε)  
  ε>0  δ>0  xS  ( x ( x0−δ, x0) f (x)  (αε, αε) )

 ということ。


・《実数の集合Dを定義域とする1変数関数f 
  《実数の集合D》の部分集合S  
 「《実数の集合D》の部分集合S」の触点x0  
  実数α  

 に対して、

 「f(x)は、Sのなかでxx0に近づくとき、収束する

 「 

lim

 f(x) が存在する 」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]

xx0
xS

 とは、

   論理記号で表すと、
    αR  ε>0 δ>0 xS ( |xx0|<δ | f (x)α|<ε)
    αR  ε>0 δ>0 xS ( x0−δ<xx0+δ α−ε< f (x)α+ε)   
    αR   ε>0 δ>0 xS ( x ( x0−δ, x0) f (x) (α−ε, α+ε) )  

 ということ。

 





下記文献のうち、
 


 杉浦Lang は、《実数の集合》を定義域とする1変数関数f 全般について、左記「収束」「極限値」を定義しているが、
 は、《区間和集合を定義域とする1変数関数f に限定して、左記「収束」「極限値」を定義。










【文献】
 ●赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7):区間和で定義された関数について。
 ・杉浦『解析入門I』定義2(p.51); 定義3(p.52):ベクトル値関数一般
 ・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§2(p.39)
 ・『ラング現代微積分学』2章§2(p.46) x0をfの定義域のadherent point触点に限定。
 ・瀬山『「無 限と連続の数学」−微分 積分学の基礎理論案内』定義4.1.2 (p.91)
 ・中内『ろんりの練習帳』2.8(2)(pp.118-122)



[類概念]  極限/右極限/左極限/片側極限/連続   



 





【注意】 
 


・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)極限値はα」をどのように定義しているか、チェックしていくと、
  下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
   【教科書タイプ1】 「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)極限値はα」 を、 「ε>0  δ>0  xf定義域》 (0< |xx0|<δ | f (x)α |<ε)」 (→詳細)で定義する教科書。
   【教科書タイプ2】 「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)極限値はα」 を、 「ε>0  δ>0  xf定義域》 (   |xx0|<δ | f (x)α |<ε)」 (→左欄)で定義する教科書。
・【教科書タイプ1】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できない。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

・このノートでは、 

  【教科書タイプ1】の極限定義ε>0  δ>0  xf定義域》 (0< |xx0|<δ | f (x)α |<ε)」を、  f(x)α (xx0)  または  

lim
  f(x)  α  で、
xx0

  【教科書タイプ2】の極限定義「ε>0  δ>0  xf定義域》 (  |xx0|<δ | f (x)α |<ε)」を、  f(x)α (xx0, xD) または  

lim
 f(x) =α  で、
xx0
xD
 表すことによって、両者を区別する。

・この記法は、Lang,ラング現代微積分学』2章§2(p.47)や、杉浦『解析入門I』【命題6.4】(p.55)に沿ったつもり。

※なお、f定義域Dとしたとき、 
   【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)の極限値はα」 f(x)α (xx0) は、
   【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの D{x0} への制限f * (x)はx→x0のときαに収束する/極限値αを持つ」  f *(x)→α ( xx0 , xD{x0} ) [赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)] 
                                 「 D{x0}のなかでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極限値αを持つ」   f (x)→α  ( xx0 , xD{x0} ) [杉浦『解析入門』定義3・注意1(pp.52-54)]
  にあたる。







 





【極限値を定義可能な範囲】  


Q

  《関数 f定義域》の触点x0 において、
      上記の「f(x)定義域Dのなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はαである」
           「定義域Dのなかでxx0に近づくとき、f(x)収束する」    「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値が存在する」
  という言葉は、定義されているけれども、
  これらの言葉が定義されている「《関数 f定義域》の触点」って、具体的には、どんな点?

A

・下記いずれかのタイプに該当する点は、《関数 f定義域》の触点
 だから、これらの点にx定義域Dのなかで近づけたとき
      「f(x)αに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)収束する」 「f(x)極限値が存在する」
 という言葉は意味をもつ。
    (もちろん、真偽どちらになるかは、  f が 《どんな関数であるか》 に依存して、ケースバイケース。
     しかし、f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、これらの点にx定義域Dのなかで近づけたとき、上記の言葉は定義されているので、これらの点にxを近づけた場合、定義に沿って検討すれば、各々のケースでの真偽を確定できる。)

   [タイプ1] その点自身が《関数 f定義域に属し、なおかつ、その点の両隣も《関数 f定義域》。つまり、《関数 f定義域》の内点。※このタイプに該当する点の例 : 関数 f が定義されている区間の中間にある点
   [タイプ2] その点自身が《関数 f定義域に属し、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f定義域》だが、他方の隣は《関数 f定義域》ではない (《関数 f定義域に属す集積点である境界点」の特殊タイプ)   ※このタイプに該当する点の例 : 関数 f が定義されている閉区間の端点 
   [タイプ3] その点自身は《関数 f定義域に属すが、その点の両隣は《関数 f定義域》でない。つまり、《関数 f定義域》の孤立点
          ※このタイプに該当する点の例 : 
          ※ f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にx定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)αに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)収束する」 「f(x)極限値が存在する」が定義されているというだけでなく、
             f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にx定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値は存在する」が真になるとまで言える。 [→Lang『ラング現代微積分学』p.48下]
   [タイプ4] その点自身は《関数 f定義域に属さないが、その点の両隣は《関数 f定義域》。 (《関数 f定義域に属さない集積点である境界点」の特殊タイプ)
          ※このタイプに該当する点の例 :R{0}(−∞,0)(0, +∞)における0。
                               たとえば、 R{0}(−∞,0)(0, +∞)定義域 とする 関数 y = f (x)=1/x では、xを0に近づけるとき 「f(x)αに収束する」「f(x)は収束する」は定義されている。
                                     このケースでは、もちろん、どんな実数αに対しても、「xx0に近づくとき、f(x)αに収束する」は偽。
   [タイプ5] その点自身は《関数 f定義域に属さず、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f定義域》でないが、その点の他方の隣は《関数 f定義域》。 (定義域に属さない「集積点である境界点」の特殊タイプ)  ※このタイプに該当する点の例 : 関数 f が定義されている開区間の端点

・下記に該当する点は、《関数 f定義域》の触点ではない。
  だから、下記に該当する点にxを近づけたとき
        「f(x)αに収束する」 「f(x)の極限値はαである」
        「f(x)は収束する」   「f(x)の極限値は存在する」
  は、定義されていない。真偽以前にナンセンス。
   [タイプ6] その点自身は《関数 f定義域に属さず、なおかつ、その点の両隣も《関数 f定義域》でない。つまり、《関数 f定義域》の外点








 





上記で定義された 「《f定義域部分集合Sの なかでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」は、
下記のように、Sの中身を指定することで、多様な極限概念(極限/右極限/左極限)に化ける。

   ・《f定義域部分集合S  を 「x0を除く《f定義域」 に指定した 「 x0を除く《f定義域》 のなかでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xf定義域{x0} )   は、  多数派の教科書が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)の 極限値はα」 f(x)α (xx0) 。

   ・《f定義域部分集合S  を 《f定義域(x0 ,∞) に 指定した 「 《f定義域(x0 ,∞) の なかでxx0に近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xf定義域(x0 ,∞) )   は、 右極限 

lim

f (x) = α 。  

xx0+0

   ・《f定義域部分集合S  を 《f定義域(-∞,x0) に指定した  「 《f定義域 (-∞,x0) の なかでxx0に近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xf定義域(-∞,x0) )   は、 左極限 

lim

f (x) = α にあたる。  

xx0-0  

この意味で、「Sのなかでxx0に近づくときf(x)αに 収束する/極限値αを持つ」は、多様な極限概念(極限右極限左極限)の雛形。








1変数関数の極限定義 
トピック一覧:1変数関数の極限 


ε−δ論法による厳密な「極限」定義 − 論理にこだわって

変項 D, f , x0 , α を組み込んだ4項述語・4変項命題関数 

 「f(x)、定義域Dのなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 

   f (x) α (xx0 , xD) 

    

lim

 f (x) = α   

xx0
xD


    * 変項 D議論領域 : あらゆる《実数の集合D》《R部分集合》をあつめた集合 。すなわち、Rベキ集合。[杉浦Lang]
                    ※ は、教育的配慮から、あらゆる《区間和集合》をあつめた集合に限定している。
    * 変項 f議論領域 : あらゆる《Dで定義された1変数実数値関数》をあつめた集合
    * 変項x0議論領域 : fの定義域D触点を集めた集合。すなわち、fの 定義域D閉包
    * 変項α議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R 

 とは、

 変項 f , x0 , α,ε, δ, x  を組み込んだ6項述語・6変項命題関数
  「 | xx0| <δならば| f (x)α |<ε  」
  すなわち
  「 x ( x0−δ, x0)ならば、 f (x) ( α−ε, α+ε)   」

    * 変項 f議論領域 : あらゆる《Dで定義された1変数実数値関数》をあつめた集合
    * 変項 x0議論領域 : fの 定義域D触点を集 めた集合。すなわち、fの 定義域D閉包
    * 変項εの議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R   
    * 変項δの議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R    
    * 変項 x議論領域 : f の定義域D  
    * 変項α議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R 


 について、

 その3変項ε,δ, x を、 ∀ε>0  ∃δ>0 ∀xD で束縛し、
   f , x0 , D ,αを変項として残した4項述語・4変項命題関数  

  「 ∀ε>0  ∃δ>0  ∀xD  ( | xx0|<δ | f (x)α |<ε)
  すなわち
  「 ∀ε>0  ∃δ>0  ∀xD  ( x ( x0−δ, x0) f (x) ( α −ε, α +ε)

 のこと。

・「 ∀ε>0  ∃δ>0  ∀xD  ( | xx0|<δ | f (x)α |<ε) 」  は、下記の略記。
   「 ∀ε∈ { xR | x> 0 } ∃δ∈ { xR | x> 0 } xD  ( | xx0|<δ | f (x)α |<ε )  」
      つまり、「 ∀ε∈ (0,∞)   ∃δ∈ (0,∞) xD  ( | xx0|<δ | f (x)α |<ε )  」  
 ないし、
   「 ε ( ε>0 δ ( δ>0 かつ xD | xx0|<δ | f (x)α |<ε  ) )   」

・上記定義が意味しているのは、

   { xR | x> 0 } つまり (0,∞) から、どの実数を 選んで変項εに代入しても、(←意味:「∀ε>0」 「∀ε∈ { xR | x> 0}∀ε∈ (0,∞)」 の部分)

  εに代入した実数に好都合な実数が、 { xR | x> 0 } つまり (0,∞) のなかに、少なくとも一個は存在するので、
  その《εに代入した実数に好都合な実数を、 { xR | x> 0 } つまり (0,∞)か ら探し出してδに代入することによって、(←意味 「∃δ>0」 の部分)
   「どの《Dに属す実数》をxに 代入しても、fx0 は、
       『 | xx0|δならば| f(x)α |ε  』を満たす」 (←意味: | xx0|<δ | f (x)α |<ε)  )   
  を成り立たせることができる

 ということ。 




1変数関数の極限定義 
トピック一覧:1変数関数の極限 


ε−δ論法による厳密な「極限」定義 ― 論理記号読み下しサンプル

【邦文読み下しtype1】  

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈《 fの定義域》( |xx0|<δ⇒|f(x)−A|<ε)」を、
 修飾関係にしたがわず、
 記号の順序に読み下して行く作法。

(1)任意の〜に対し、−が存在して、

 「任意のε>0に対し、あるδ>0が存在して、
   |xx0|<δを満たす全てのxに対して、
  | f (x)A |<ε が成り立つ」[松坂100]

(2)任意の〜に対し、−を選んで/とって/定めると、

 「任意のε>0に対し、適当にδ>0を(εに応じて)小さくとりさえすれば、
   |xx0|<δを満たす全てのxにつき| f (x)A |<ε
  が成立する」[笠原25]

 「どんなε>0に対しても、δ>0をうまく定めると、δ>|xx0|であるどんなxに対しても、| f (x)A |<εとなっている」[細井29]

 「任意の正数εにたいして、ある正数δをとると、 | f (x)A |<ε(0<|xx0|<δ) が成り立つ」[吹田・新保p.18]

 「任意の正の実数εに対応して正の実数δ(ε)が定まって、|xx0|<δなるとき、| f (x)A |<ε」[小平76]

【邦文読み下しtype2】  

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈《 fの定義域》( |xx0|<δ⇒|f(x)−A|<ε)」を、
 記号の順序にしたがわず、修飾関係にしたがおうとする読み下し。
 文才がない限り、誤読のもとになるので、推奨されない[→黒田『微分積分学』§2.5.2補足説明2(p.44)]。

 「任意の正数εに対して、x∈《fの定義域》,|xx0|<δならば、| f (x)A |<εとなる正数δ>0が存在する」[永倉・宮岡134]
 「∀ε>0に対して、|xx0|<δなら| f (x)A |<ε となるδ>0が存在する」
    [瀬山91]
 「任意の正の数εに対して、|xx0|<δならば、
    | f (x)A |<εとなるようなδが存在する」[和達32]


【英文読み下し】
  "for each ε>0, there exists a δ>0 such that xD and |xx0|<δ imply | f (x)A |<ε " [Fischer p.213 ]
  "given ε, there exists a number δ>0 such that for all x∈S(domain) satisfying |xx0|<δ we have  | f (x)A|<ε " [Lang p.39 ]  



1変数関数の極限定義 
トピック一覧:1変数関数の極限 


ε−δ論法による厳密な「極限値」定義 ― 近傍概念を用いた表現 

・《実数の集合Dを定義域と する1変数関数f 
 《実数の集合D》 の触点x0   
  実数α   
 に対して、


 「f(x)定義域Dのなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)α (xx0 , xD ) 

 「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はα」  

lim

 f(x)α

xx0
xD

 とは、

  αどのε近傍Uε(α)に 対してであっても、

     それに応じて、x0の δ近傍Uδ(x0)をうまく選んで、

       「 f ( Uδ(x0) D ) Uε(α)  」

       を成り立たせることができる

   Uε(α) Uδ(x0) ( f ( Uδ(x0) D ) Uε(α) ) ) 

 すなわち、

  任意の正の実数εに対して、そ れに応じて、 正の実数δをうま く選ぶと、

     「 f ( Uδ(x0) D ) Uε(α)  」 すなわち 「 xUδ(x0) D ならばf (x) Uε(α)  」

   を成り立たせることが出来る

        ε>0 δ>0 ( f ( Uδ(x0) D ) Uε(α)  )  
        ε>0 δ>0 xUδ(x0) D (  f (x) Uε(α) )   

 ということ。


・《実数の集合Dを定義域とする1変数関数f 
 《実数の集合D》の触点x0  
 に対して、

  「f(x)は、定義域Dのなかでxx0に近づくとき、収束する

 「 

lim

 f(x) が存在する 」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]

xx0
xD

 とは、

 f(x)α (xx0 , xD )、すなわち、 

lim

 f(x)α  を満たす実数αが存在する 

xx0
xD
 

   論理記号で表すと、
    αR  ε>0 δ>0 ( f ( Uδ(x0) D ) Uε(α)  )

 ということ。


・《実数の集合Dを定義域とする1変数関数f 
 《実数の集合D》 の部分集合S   
 「《実数の集合D》 の部分集合S」 の触点x0   
  実数α   

 に対して、

  「Sのなかでxx0に近づくとき、f(x)αに収束するf(x)α (xx0 , xS ) 

  「Sのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はα」  

lim

 f (x) = α    

xx0
xS


 とは、

  αどのε 近傍Uε(α)に 対してであっても、
     それに応じて、x0の δ近傍Uδ(x0) をうまく選んで、

       「 f ( Uδ(x0) S ) Uε(α)  」

       を成り立たせることができる

   Uε(α) Uδ(x0) ( f ( Uδ(x0) S ) Uε(α) ) ) 

 すなわち、

  任意の正の実数εに対して、そ れに応じて、 正の実数δ をうま く選ぶと、

     「 f ( Uδ(x0) S ) Uε(α)  」 すなわち 「 xUδ(x0) S ならばf (x) Uε(α)  」 

   を成り立たせることが出来る

        ε>0 δ>0 ( f ( Uδ(x0) S ) Uε(α)  )  
        ε>0 δ>0 ( xUδ(x0) S ならばf (x) Uε(α) )   

 ということ。

 





下記文献のうち、
 


 杉浦Lang は、《実数の集合》を定義域とする1変数関数f 全般について、左記「収束」「極限値」を定義しているが、
 は、《区間和集合を定義域とする1変数関数f に限定して、左記「収束」「極限値」を定義。










【文献】

・杉浦『解析入門I』 【命題6.4】(p.55)ベクトル値関数一般
   f :集合Aで定義された関数 
   a:集合Aの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
  「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは「 ε>0 δ>0 f ( Uδ(a) A ) Uε( b ) 」ということ、






 





【注意】 
 


・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)αに 収束する/f(x)極限値はα」をど のように定義しているか、チェックしていくと、
  下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
   【教科書タイプ1】 「x→x0のときf(x)αに収束 する/f(x)極限値はα」 を、  「ε>0 δ>0 ( f ( U*δ(x0) f定義域) Uε(α)  )」 が  (→詳細)で定義する教科書。
   【教科書タイプ2】 「x→x0のときf(x)αに収束 する/f(x)極限値はα」 を、 「ε>0 δ>0 ( f ( Uδ(x0) f定義域) Uε(α)  )」  (→左欄)で定義する教科書。
・【教科書タイプ1】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義 2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義 6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できな い。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

・このノートでは、 

  【教科書タイプ1】の極限定義「ε>0 δ>0 ( f ( U*δ(x0) f定義域) Uε(α)  )」 を、  f(x)α (xx0)   または 

lim
f(x)  α  で、
xx0

  【教科書タイプ2】の極限定義「ε>0 δ>0 ( f ( Uδ(x0) f定義域) Uε(α)  )」 を、  f(x)α (xx0, xD)  または 

lim
  f(x) =α  で、
xx0
xD
 表すことによって、両者を区別する。
・この記法は、Lang,ラング現代微積分学』2章§2(p.47)や、杉浦『解析入門I』【命題 6.4】(p.55)に沿ったつもり。

※なお、f定義域Dと したとき、 
   【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0の ときf(x)αに収束する/f(x)の極限値はα」 f(x)α (xx0)  は、
   【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの  D{x0} への制限f * (x)はx→x0のときαに 収束する/極限値αを持つ」  f *(x)→α ( xx0 , xD{x0} ) [赤『実数論講義』定義 6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)] 
                                 「 D{x0}のな かでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xD{x0} ) [杉浦『解析入門』 定義3・注意1(pp.52-54)]
  にあたる。







 





【極限値を定義可能な範囲】  


Q

  《関数 f定義域》の触点x0 において、
      上記の「f(x)定義域Dのなかでxx0に近づくとき、αに収束する」 「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値はαである」
           「定義域Dのなかでxx0に近づくとき、f(x)収束する」    「定義域Dのなかでxx0に近づくときのf(x)の極限値が存在する」
  という言葉は、定義されているけれども、
  これらの言葉が定義されている「《関数 f定義域》の触点」って、具体的には、どんな点?

A

・下記いずれかのタイプに該当する点は、《関数 f定義域》の触点
 だから、これらの点にx定義域Dのなかで近づけたとき
      「f(x)αに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)収束する」 「f(x)極限値が存在する」
 という言葉は意味をもつ。
    (もちろん、真偽どちらになるかは、  f が 《どんな関数であるか》 に依存して、ケースバイケース。
     しかし、f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、これらの点にx定義域Dのなかで近づけたとき、上記の言葉は定義されているので、これらの点にxを近づけた場合、定義に沿って検討すれば、各々のケースでの真偽を確定できる。)

   [タイプ1] その点自身が《関数 f定義域に属し、なおかつ、その点の両隣も《関数 f定義域》。つまり、《関数 f定義域》の内点。※このタイプに該当する点の例 : 関数 f が定義されている区間の中間にある点
   [タイプ2] その点自身が《関数 f定義域に属し、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f定義域》だが、他方の隣は《関数 f定義域》ではない (《関数 f定義域に属す集積点である境界点」の特殊タイプ)   ※このタイプに該当する点の例 : 関数 f が定義されている閉区間の端点 
   [タイプ3] その点自身は《関数 f定義域に属すが、その点の両隣は《関数 f定義域》でない。つまり、《関数 f定義域》の孤立点
          ※このタイプに該当する点の例 : 
          ※ f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にx定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)αに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)収束する」 「f(x)極限値が存在する」が定義されているというだけでなく、
             f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にx定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値は存在する」が真になるとまで言える。 [→Lang『ラング現代微積分学』p.48下]
   [タイプ4] その点自身は《関数 f定義域に属さないが、その点の両隣は《関数 f定義域》。 (《関数 f定義域に属さない集積点である境界点」の特殊タイプ)
          ※このタイプに該当する点の例 :R{0}(−∞,0)(0, +∞)における0。
                               たとえば、 R{0}(−∞,0)(0, +∞)定義域 とする 関数 y = f (x)=1/x では、xを0に近づけるとき 「f(x)αに収束する」「f(x)は収束する」は定義されている。
                                     このケースでは、もちろん、どんな実数αに対しても、「xx0に近づくとき、f(x)αに収束する」は偽。
   [タイプ5] その点自身は《関数 f定義域に属さず、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f定義域》でないが、その点の他方の隣は《関数 f定義域》。 (定義域に属さない「集積点である境界点」の特殊タイプ)  ※このタイプに該当する点の例 : 関数 f が定義されている開区間の端点

・下記に該当する点は、《関数 f定義域》の触点ではない。
  だから、下記に該当する点にxを近づけたとき
        「f(x)αに収束する」 「f(x)の極限値はαである」
        「f(x)は収束する」   「f(x)の極限値は存在する」
  は、定義されていない。真偽以前にナンセンス。
   [タイプ6] その点自身は《関数 f定義域に属さず、なおかつ、その点の両隣も《関数 f定義域》でない。つまり、《関数 f定義域》の外点








 





上記で定義された 「《f定義域部分集合Sの なかでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」は、
下記のように、Sの中身を指定することで、多様な極限概念(極限/右極限/左極限)に化ける。

   ・《f定義域部分集合S  を 「x0を除く《f定義域」 に指定した 「 x0を除く《f定義域 のなかでxx0に 近づくときf(x)αに収束する/極限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xf定義域{x0} )   は、  多数派の教科書が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)αに収束する/f(x)の 極限値はα」 f(x)α (xx0) 。

   ・《f定義域部分集合S  を 《f定義域(x0 ,∞) に 指定した 「 《f定義域(x0 ,∞) の なかでxx0に近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xf定義域(x0 ,∞) )   は、 右極限 

lim

f (x) = α 。  

xx0+0

   ・《f定義域部分集合S  を 《f定義域(-∞,x0) に指定した  「 《f定義域 (-∞,x0) の なかでxx0に近づくときf(x)αに収束する/極 限値αを持つ」   f (x)→α ( xx0 , xf定義域(-∞,x0) )   は、 左極限 

lim

f (x) = α にあたる。  

xx0-0  

この意味で、「Sのなかでxx0に 近づくときf(x)αに 収束する/極限値αを持つ」は、多様な極限概念(極限右極限左極限)の雛形。








1変数関数の極限定義 
トピック一覧:1変数関数の極限 


【メモ】
 [触点・閉包]
 赤:区間和Iで定義された関数。x0は、区間和Iの閉包に属す一点(=触点)-Langと同じ。|  |xx0| <δかつx∈I−{x0}。
 赤 定義6.1.2注(p.163):《実数の集合》を区間和に限定すると、
      ある《実数の集合》=区間和のすべての触点は集積点、その《実数の集合》=区間和のすべての集積点は触点。
      つまり、《実数の集合》=区間和については、その導集合と、その閉包が一致する。
   赤 定義6.1.3 (p.163) :
       「f(x)を区間和Iで定義された関数とし、a∈「Iの閉包」∧b∈Rとする。
        このとき、 ε>0  δ>0  x (  |xa|<δ∧x∈I-{a} | f (x)b|<ε)」   * 0<|xa|<δではない!
          であるようにできるならば、f(x)は、xがaに近づくときbに収束するという。
      注意4:「 ε>0  δ>0  x (  x∈(a-δ,a+δ)∩(I-{a})   f (x)∈(b-ε,b+ε) )」 とかいても同じ。
     
   赤 定理6.1.1 (p.166) :区間和Iで定義された関数f(x)が、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき、複数の実数に収束することはない。

   赤 定義6.1.4 (pp.166-167) : 区間和Iで定義された関数f(x)が、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき、何らかの実数bに収 束するならば、単に、f(x)はxがa∈「Iの閉包」に近づくとき収束するという。そしてこのとき、bを、f(x)の、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき の極限値といい、lim x→a f(x)とかく。



 Lang pp.46-47(file36) x0をfの定義域のadherent pointに限定。
   x0:集合Sの触点(メモ:孤立点であるために、集積点にならない触点でもOK)
   f :Sの上で定義された関数     
     「 ε>0  δ>0  x∈S ( |xx0|<δ | f (x)A|<ε)」

     【メモ】この定義で、普通の定義を記述すると、
          x0:S−{x0}の触点かつ集積点 [触点は、孤立点か集積点のいずれか一方。]
          f :S−{x0}の上で定義された関数  
        「 ε>0  δ>0  x∈S−{x0} ( |xx0|<δ | f (x)A|<ε)」

  杉浦『解析入門I』定義2-定義3:x0をfの定義域の閉包に属す一点(=触点)-Langと同じ。
  【定義2】(pp.51-52)
   f :集合Aで定義された関数     
   a:集合Aの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
   「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
        「 ε>0  δ>0  x∈A ( |xx0|<δ | f (x)b|<ε)」
  【命題6.4】(p.55)
   f :集合Aで定義された関数     
   a:集合Aの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
   「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
        「 ε>0  δ>0   f ( Uδ(a) A ) Uε( b ) 」

  【定義3】(p.52)
   f :集合Aで定義された関数
   B :   集合Aの部分集合    
   a:集合Bの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
   「xが《Aの部分集合B》内でaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
        「 ε>0  δ>0  x∈B ( |xx0|<δ | f (x)b|<ε)」
  【定義3の例】(p.52)
   a∈Aのとき、B={x∈A|x≠a}   
    →多くの本における極限の定義(注意1:p.54)
      
 →x0が触点である(対象領域が閉包である)ということは、x0が集積点である場合もあれば、x0が孤立点である場合もあるということ。
   (対象領域が、「定義域の導集合」∪「定義域の孤立点の集合」)、
 →では、x0が「fの定義域の孤立点」であっても、xx0としたときの極限を考えられることになるが、それでよいのか。
  離散集合を定義域とする関数の極限も考えられることになるが、そういう扱いでよいのか?
 →Lang『ラング現代微積分学』はp.48下でそうだという。孤立点ではいつだって、極限が存在する。