1変数関数の様々な「収束convergence」「極限値limit」概念の雛形


　




→ε-δ法による厳密な表現 (  論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル ）
→近傍概念を用いた表現

【関連】
・1変数関数の極限概念：極限/右極限/左極限/片側極限
・1変数関数の極限概念の周辺：連続/x→+/−∞での極限/発散
・関数一般に拡張された極限概念：
　→2変数関数の極限/n変数関数の極限/実数値関数一般の極限/n変数ベクトル値関数の極限/写像の極限  　
　→数列の極限   　  　







ビギナー向け定義　―　日常言語の枠内で

・「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」　f(x)→α (x→x0 , x∈D )　

　「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」　 

lim

　f(x)＝α
x→x0
x∈D

　とは、

　「変数xがx0 に一致してしまうところまでふくめて、
　　　　変数xが《f の定義域D》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f (x) も 実数Aに限りなく近づく」
　　ということ。

・「f(x)は、《定義域の部分集合S》のなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」　f(x)→α (x→x0 , x∈S )　

　「《定義域の部分集合S》のなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」　 

lim

　f(x)＝α
x→x0
x∈S

　とは、

　「変数xがx0 に一致してしまうところまでふくめて、
　　　　変数xが《f の定義域の部分集合S》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f (x) も 実数Aに限りなく近づく」
　　ということ。


→ε-δ法による厳密な表現 (  論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル ）
→近傍概念を用いた表現

【注意】

・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」をどのように定義しているか、チェックしていくと、
　　下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
　　　【教科書タイプ１】　「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　を、　「変数xが、《f の定義域D》のなかで、x0 以外の値をとりながら、x0 に限りなく近づくとき、f (x) も 実数Aに限りなく近づく」　（→詳細）で定義する教科書。
　　　【教科書タイプ2】　「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　を、　「変数xがx0 に一致してしまうところまでふくめて、変数xが《f の定義域D》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f (x) も 実数Aに限りなく近づく」（→上欄）で定義する教科書。
・【教科書タイプ１】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できない。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

・このノートでは、　

　　【教科書タイプ１】の極限定義を、　f(x)→α (x→x0)　または　

 lim

  f(x) 　＝α

　で、
x→x0

　　【教科書タイプ2】の極限定義を、　　f(x)→α (x→x0, x∈D)　または　 

lim
 　f(x)　＝α 　で、
x→x0
x∈D
　表すことによって、両者を区別する。

・この記法は、Lang,『ラング現代微積分学』2章§2(p.47)や、杉浦『解析入門I』【命題6.4】(p.55)に沿ったつもり。

※なお、f の定義域をDとしたとき、　
　　　【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　f(x)→α (x→x0)　は、
　　　【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの　D−{x0}　への制限』 f * (x)はx→x0のときαに収束する/極限値αを持つ」 　f *(x)→α ( x→x0 , x∈D−{x0} )　[赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「 D−{x0}のなかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極限値αを持つ」　 　f (x)→α  ( x→x0 , x∈D−{x0} )　[杉浦『解析入門』定義3・注意1(pp.52-54)]
　　にあたる。



→1変数関数の極限定義　
→トピック一覧：1変数関数の極限　

「極限」概念の雛形　：　ε−δ論法による厳密な表現　

・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f　
　《実数の集合D》の触点x0　　
　　実数α　　
　に対して、

　「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」　f(x)→α (x→x0 , x∈D )　

　「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」　 

lim

　f(x)＝α
x→x0
x∈D

　とは、

　どんな《正の実数》 を選んで、εに代入しても、
　〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》が少なくとも一個は存在するので、
　その〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》を探し出してδに代入することによって、

　　　　　「どの《 fの定義域Dに属す実数》をxに 代入しても、f 、x0 は、
　　　　　　　　　　　　　『 |x−x0| ＜δならば、| f(x) − α |＜ε　 』
　　　　　　　　　すなわち『 x0−δ＜x＜x0＋δならば、 α−ε＜f (x)＜α＋ε 』
　　　　　　　　　すなわち『　x∈( x0−δ,  x0+δ) ならば、　f(x) ∈ (α−ε, α＋ε)　』」

　　を成り立たせることができる

　　論理記号で表すと、
　　　 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α|＜ε)
　　　 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( x0−δ＜x＜x0＋δ⇒ α−ε＜ f (x)＜α＋ε)　　
　　　 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( x∈ ( x0−δ, x0+δ) ⇒f (x) ∈ (α−ε, α＋ε) ) 　

　ということ。

　※どう読むの？→ 読み下しサンプル　
　※どういうこと？→  論理にこだわって　　 　
　※別の表現は？→ 近傍概念を用いた簡潔な表現　

・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f　
　《実数の集合D》の触点x0　　
　に対して、

　　「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、収束する」

　「　

 lim

　f(x)　が存在する　」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]
x→x0
x∈D

　とは、

　f(x)→α (x→x0 , x∈D )、すなわち、 

lim

　f(x)＝α　　を満たす実数αが存在する　
x→x0
x∈D

　　　論理記号で表すと、
　　　　∃α∈R 　∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈D ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α|＜ε)
　　　　∃α∈R　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈D ( x0−δ＜x＜x0＋δ⇒ α−ε＜ f (x)＜α＋ε) 　　
　　　　∃α∈R 　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈D ( x∈ ( x0−δ, x0+δ) ⇒f (x) ∈ (α−ε, α＋ε) ) 　

　ということ。


・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f　
  《実数の集合D》の部分集合S　　
　「《実数の集合D》の部分集合S」の触点x0　　
　　実数α　　

　に対して、

　「Sのなかでxがx0に近づくとき、f(x)はαに収束する」 f(x)→α (x→x0 , x∈S )　

　　「Sのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」　　

lim

 f (x) = α　　　　

x→x0
x∈S

　とは、

　　どんな《正の実数》 を選んで、εに代入しても、
　　　〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》が少なくと も一個は存在するので、
　　　　その〈εに代入した《正の実数》〉に好 都合な《正の実数》を探し出し てδに代入することによって、

　　　　「どの《 fの定義域の部分集合S》に属す実数をxに 代入しても、f 、x0 は、
　　　　　　　　　　　『 |x−x0| ＜δならば、| f(x) −α |＜ε　 』
　　　　　　　すなわち『 x0−δ＜x＜x0＋δ ならば、 α−ε＜f (x)＜α＋ε 』
　　　　　　　すなわち『( x0−δ, x0+δ) ならば、　f(x) ∈ (α−ε, α＋ε)　』」
　　　を成り立たせることができる

　論理記号で表すと、

　　∀ε＞0　∃δ＞0　∀x∈S  (   | x−x0|＜δ) ⇒ |  f (x) −α |＜ε) 　
　　∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈S  ( x0−δ＜x＜x0＋δ⇒ α−ε＜ f (x)＜α＋ε)　　
　　∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈S  ( x∈ ( x0−δ, x0+δ) ⇒f (x) ∈ (α−ε, α＋ε)　)

　ということ。

・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f　
  《実数の集合D》の部分集合S　　
　「《実数の集合D》の部分集合S」の触点x0　　
　　実数α　　

　に対して、

　「f(x)は、Sのなかでxがx0に近づくとき、収束する」

　「　

 lim

　f(x)　が存在する　」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]
x→x0
x∈S

　とは、

　　　論理記号で表すと、
　　　　∃α∈R 　∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈S ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α|＜ε)
　　　　∃α∈R　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈S ( x0−δ＜x＜x0＋δ⇒ α−ε＜ f (x)＜α＋ε) 　　
　　　　∃α∈R 　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈S ( x∈ ( x0−δ, x0+δ) ⇒f (x) ∈ (α−ε, α＋ε) ) 　

　ということ。
　




下記文献のうち、
 　


　杉浦・Lang は、《実数の集合》を定義域とする1変数関数f 全般について、左記「収束」「極限値」を定義しているが、
　赤は、《区間の和集合》を定義域とする1変数関数f に限定して、左記「収束」「極限値」を定義。








【文献】
　●赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7):区間和で定義された関数について。
　・杉浦『解析入門I』定義2(p.51); 定義3(p.52):ベクトル値関数一般
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§2(p.39)
　・『ラング現代微積分学』2章§2(p.46)　x0をfの定義域のadherent point触点に限定。
　・瀬山『「無 限と連続の数学」−微分 積分学の基礎理論案内』定義4.1.2 (p.91)
　・中内『ろんりの練習帳』2.8(2)(pp.118-122)

[類概念] 　極限/右極限/左極限/片側極限/連続   



　




【注意】　
 　


・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」をどのように定義しているか、チェックしていくと、
　　下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
　　　【教科書タイプ１】　「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　を、　「∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈《 fの定義域》 (0< |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε)」　（→詳細）で定義する教科書。
　　　【教科書タイプ2】　「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　を、　「∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈《 fの定義域》 ( 　 |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε)」　（→左欄）で定義する教科書。
・【教科書タイプ１】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できない。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

・このノートでは、　

　　【教科書タイプ１】の極限定義「∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈《fの定義域》 (0< |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε)」を、　　f(x)→α (x→x0)　　または　 

lim
   f(x) 　＝α 　で、
x→x0

　　【教科書タイプ2】の極限定義「∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈《 fの定義域》 (　 |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε)」を、　　f(x)→α (x→x0, x∈D)　または　 

lim
 　f(x)　＝α 　で、
x→x0
x∈D
　表すことによって、両者を区別する。

・この記法は、Lang,『ラング現代微積分学』2章§2(p.47)や、杉浦『解析入門I』【命題6.4】(p.55)に沿ったつもり。

※なお、f の定義域をDとしたとき、　
　　　【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　f(x)→α (x→x0)　は、
　　　【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの　D−{x0}　への制限』 f * (x)はx→x0のときαに収束する/極限値αを持つ」 　f *(x)→α ( x→x0 , x∈D−{x0} )　[赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「 D−{x0}のなかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極限値αを持つ」　 　f (x)→α  ( x→x0 , x∈D−{x0} )　[杉浦『解析入門』定義3・注意1(pp.52-54)]
　　にあたる。





　




【極限値を定義可能な範囲】 　


【Q】

　　《関数 f の定義域》の触点x0　において、
　　　　　　上記の「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」 「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はαである」
　　　　　　　　　　　「定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、f(x)は収束する」　　　 「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値が存在する」
　　という言葉は、定義されているけれども、
　　これらの言葉が定義されている「《関数 f の定義域》の触点」って、具体的には、どんな点？

【A】

・下記いずれかのタイプに該当する点は、《関数 f の定義域》の触点。
　だから、これらの点にxを定義域Dのなかで近づけたとき
　　　　　　「f(x)はαに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値が存在する」
　という言葉は意味をもつ。
　　　　（もちろん、真偽どちらになるかは、  f が 《どんな関数であるか》 に依存して、ケースバイケース。
　　　　　しかし、f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、これらの点にxを定義域Dのなかで近づけたとき、上記の言葉は定義されているので、これらの点にxを近づけた場合、定義に沿って検討すれば、各々のケースでの真偽を確定できる。）

　　　[タイプ1]　その点自身が《関数 f の定義域》に属し、なおかつ、その点の両隣も《関数 f の定義域》。つまり、《関数 f の定義域》の内点。※このタイプに該当する点の例　：　関数 f が定義されている区間の中間にある点
　　　[タイプ2]　その点自身が《関数 f の定義域》に属し、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f の定義域》だが、他方の隣は《関数 f の定義域》ではない　（《関数 f の定義域》に属す「集積点である境界点」の特殊タイプ）　　　※このタイプに該当する点の例　：　関数 f が定義されている閉区間の端点　
　　　[タイプ3]　その点自身は《関数 f の定義域》に属すが、その点の両隣は《関数 f の定義域》でない。つまり、《関数 f の定義域》の孤立点。
　　　　　　　　　　※このタイプに該当する点の例　：　
　　　　　　　　　　※　f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にxを定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)はαに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値が存在する」が定義されているというだけでなく、
　　　　　　　　　　　　　f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にxを定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値は存在する」が真になるとまで言える。　[→Lang『ラング現代微積分学』p.48下]
　　　[タイプ4]　その点自身は《関数 f の定義域》に属さないが、その点の両隣は《関数 f の定義域》。　（《関数 f の定義域》に属さない「集積点である境界点」の特殊タイプ）
　　　　　　　　　　※このタイプに該当する点の例　：R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)における0。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　たとえば、　R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞) を 定義域 とする 関数 y = f (x)=1/x では、xを0に近づけるとき　「f(x)はαに収束する」「f(x)は収束する」は定義されている。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このケースでは、もちろん、どんな実数αに対しても、「xがx0に近づくとき、f(x)はαに収束する」は偽。
　　　[タイプ5]　その点自身は《関数 f の定義域》に属さず、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f の定義域》でないが、その点の他方の隣は《関数 f の定義域》。　（定義域に属さない「集積点である境界点」の特殊タイプ）　　※このタイプに該当する点の例　：　関数 f が定義されている開区間の端点

・下記に該当する点は、《関数 f の定義域》の触点ではない。
　　だから、下記に該当する点にxを近づけたとき
　　　　　　　　「f(x)はαに収束する」 「f(x)の極限値はαである」
　　　　　　　　「f(x)は収束する」　　 「f(x)の極限値は存在する」
　　は、定義されていない。真偽以前にナンセンス。
　　　[タイプ6]　その点自身は《関数 f の定義域》に属さず、なおかつ、その点の両隣も《関数 f の定義域》でない。つまり、《関数 f の定義域》の外点。








　




上記で定義された 「《f の定義域の部分集合》Sの なかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」は、
下記のように、Sの中身を指定することで、多様な極限概念(極限/右極限/左極限)に化ける。

　　　・《f の定義域の部分集合》S 　を　「x0を除く《f の定義域》」　に指定した　「　x0を除く《f の定義域》　のなかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈《f の定義域》−{x0} )　 　は、　 多数派の教科書が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の 極限値はα」　f(x)→α (x→x0)　。

　　　・《f の定義域の部分集合》S 　を　《f の定義域》∩(x0 ,∞)　に 指定した　「　《f の定義域》∩(x0 ,∞)　の なかでxがx0に近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈《f の定義域》∩(x0 ,∞) )　 　は、　右極限　

lim

f (x) = α　。　　

x→x0+0

　　　・《f の定義域の部分集合》S 　を　《f の定義域》∩(-∞,x0)　に指定した　 「　《f の定義域》 ∩(-∞,x0)　の なかでxがx0に近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈《f の定義域》∩(-∞,x0) )　 　は、　左極限　

lim

f (x) = α　にあたる。　　

x→x0-0 　

この意味で、「Sのなかでxがx0に近づくときf(x)はαに 収束する/極限値αを持つ」は、多様な極限概念(極限、右極限、左極限)の雛形。






→1変数関数の極限定義　
→トピック一覧：1変数関数の極限　

ε−δ論法による厳密な「極限」定義　−　論理にこだわって

・変項 D, f , x0 , α を組み込んだ4項述語・4変項命題関数　

　「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」　

　　　f (x) → α (x→x0 , x∈D)　

　　　　

lim

  f (x) = α　　　

x→x0
x∈D

　　　　* 変項 Dの議論領域　：　あらゆる《実数の集合D》《Rの部分集合》をあつめた集合 。すなわち、Rのベキ集合。[杉浦・Lang]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※　赤は、教育的配慮から、あらゆる《区間の和集合》をあつめた集合に限定している。
　　　　* 変項 fの議論領域　：　あらゆる《Dで定義された1変数実数値関数》をあつめた集合
　　　　* 変項x0の議論領域　：　fの定義域D の触点を集めた集合。すなわち、fの 定義域D の閉包。
　　　　* 変項αの議論領域　：　あらゆる実数をあつめた集合 R　

　とは、

　変項 f , x0 , α,ε, δ, x  を組み込んだ6項述語・6変項命題関数
　　「　| x−x0| ＜δならば、| f (x)−α |＜ε 　」
　　すなわち
　　「　x∈ ( x0−δ, x0+δ)ならば、　f (x) ∈ ( α−ε, α＋ε)　 　」

　　　　* 変項 f の議論領域　：　あらゆる《Dで定義された1変数実数値関数》をあつめた集合
　　　　* 変項 x0 の議論領域　：　fの 定義域D の触点を集 めた集合。すなわち、fの 定義域D の閉包。
　　　　* 変項εの議論領域　：　あらゆる実数をあつめた集合 R　 　
　　　　* 変項δの議論領域　：　あらゆる実数をあつめた集合 R　　 　
　　　　* 変項 x の議論領域　：　f の定義域D 　
　　　　* 変項αの議論領域　：　あらゆる実数をあつめた集合 R　


　について、

　その3変項ε,δ, x を、 ∀ε>0 　∃δ>0　∀x∈D で束縛し、
　  f , x0 , D ,αを変項として残した4項述語・4変項命題関数　　

　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε) 」
　　すなわち
　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( x∈ ( x0−δ, x0+δ) ⇒ f (x) ∈ ( α −ε, α ＋ε) 」

　のこと。

・「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε) 」 　は、下記の略記。
　　　「　∀ε∈ { x∈R | x> 0 }　∃δ∈ { x∈R | x> 0 }　∀x∈D　 ( | x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε ) 　」
　　　　　　つまり、「　∀ε∈ (0,∞)   ∃δ∈ (0,∞) ∀x∈D　 ( | x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε ) 　」　　
　ないし、
　　　「　∀ε ( ε>0 ⇒ ∃δ ( δ>0 かつ ∀x∈D （ | x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε ） 　) )  　」

・上記定義が意味しているのは、

　　 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞) から、どの実数を 選んで変項εに代入しても、（←意味：「∀ε>0」 「∀ε∈ { x∈R | x> 0} 「∀ε∈ (0,∞)」 の部分）

　　《εに代入した実数》に好都合な実数が、 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞) のなかに、少なくとも一個は存在するので、
　　その《εに代入した実数》に好都合な実数を、 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞)か ら探し出してδに代入することによって、（←意味　「∃δ＞0」 の部分）
　　　「どの《Dに属す実数》をxに 代入しても、f 、x0 は、
　　　　　　　『　| x−x0| ＜δならば、| f(x)−α |＜ε　 』を満たす」　（←意味： | x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−α |＜ε)　 )　　　
　　を成り立たせることができる

　ということ。　



→1変数関数の極限定義　
→トピック一覧：1変数関数の極限　

ε−δ論法による厳密な「極限」定義　―　論理記号読み下しサンプル

【邦文読み下しtype1】 　

「∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈《 fの定義域》( |x−x0|＜δ⇒|f(x)−A|＜ε)」を、
　修飾関係にしたがわず、
　記号の順序に読み下して行く作法。

(1)任意の〜に対し、−が存在して、

　「任意のε＞0に対し、あるδ>0が存在して、
　　　|x−x0|＜δを満たす全てのxに対して、
　　| f (x)−A |＜ε が成り立つ」[松坂100]

(2)任意の〜に対し、−を選んで/とって/定めると、

　「任意のε＞0に対し、適当にδ>0を(εに応じて)小さくとりさえすれば、
　　　|x−x0|＜δを満たす全てのxにつき| f (x)−A |＜ε
　　が成立する」[笠原25]

　「どんなε>0に対しても、δ>0をうまく定めると、δ>|x−x0|であるどんなxに対しても、| f (x)−A |＜εとなっている」[細井29]

　「任意の正数εにたいして、ある正数δをとると、　| f (x)−A |＜ε（0<|x−x0|＜δ） が成り立つ」[吹田・新保p.18]

　「任意の正の実数εに対応して正の実数δ(ε)が定まって、|x−x0|＜δなるとき、| f (x)−A |＜ε」[小平76]

【邦文読み下しtype2】 　

「∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈《 fの定義域》( |x−x0|＜δ⇒|f(x)−A|＜ε)」を、
　記号の順序にしたがわず、修飾関係にしたがおうとする読み下し。
　文才がない限り、誤読のもとになるので、推奨されない[→黒田『微分積分学』§2.5.2補足説明２(p.44)]。

　「任意の正数εに対して、x∈《fの定義域》,|x−x0|＜δならば、| f (x)−A |＜εとなる正数δ>0が存在する」[永倉・宮岡134]
　「∀ε>0に対して、|x−x0|＜δなら| f (x)−A |＜ε となるδ>0が存在する」
　　　　[瀬山91]
　「任意の正の数εに対して、|x−x0|＜δならば、
　　　　| f (x)−A |＜εとなるようなδが存在する」[和達32]


【英文読み下し】
　　"for each ε>0, there exists a δ>0 such that ∀x∈D and |x−x0|＜δ imply | f (x)−A |＜ε " [Fischer p.213 ]
　　"given ε, there exists a number δ>0 such that for all x∈S(domain) satisfying |x−x0|＜δ we have  | f (x)−A|＜ε " [Lang p.39 ] 　


→1変数関数の極限定義　
→トピック一覧：1変数関数の極限　

ε−δ論法による厳密な「極限値」定義　―　近傍概念を用いた表現　

・《実数の集合D》を定義域と する1変数関数f　
　《実数の集合D》 の触点x0　 　
　　実数α　 　
　に対して、


　「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」　f(x)→α (x→x0 , x∈D )　

　「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」　 

lim

　f(x)＝α
x→x0
x∈D

　とは、

　　αのどのε近傍Uε(α)に 対してであっても、

　　　　　それに応じて、点x0の δ近傍Uδ(x0)をうまく選んで、

　　　　　　　「　f ( Uδ(x0) ∩D ) ⊂ Uε(α)　 」

　　　　　　　を成り立たせることができる

　　 ∀Uε(α) ∃Uδ(x0) (　f ( Uδ(x0) ∩D ) ⊂Uε(α) )　)　

　すなわち、

　　任意の正の実数εに対して、そ れに応じて、 正の実数δをうま く選ぶと、

　　　　　「　f ( Uδ(x0) ∩D ) ⊂ Uε(α)　 」　すなわち　「 x∈（Uδ(x0) ∩D） ならば、f (x)∈ Uε(α)　 」

　　　を成り立たせることが出来る

　　　　　　　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( Uδ(x0) ∩D ) ⊂ Uε(α)　 )　　
　　　　　　　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈（Uδ(x0) ∩D） (　 f (x)∈ Uε(α)　)　 　

　ということ。

・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f　
　《実数の集合D》の触点x0　　
　に対して、

　　「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、収束する」

　「　

 lim

　f(x)　が存在する　」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]
x→x0
x∈D

　とは、

　f(x)→α (x→x0 , x∈D )、すなわち、 

lim

　f(x)＝α　　を満たす実数αが存在する　
x→x0
x∈D
　

　　　論理記号で表すと、
　　　　∃α∈R 　∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( Uδ(x0) ∩D ) ⊂ Uε(α)　 )

　ということ。

・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f　
　《実数の集合D》 の部分集合S　 　
　「《実数の集合D》 の部分集合S」 の触点x0　 　
　　実数α　 　

　に対して、

　　「Sのなかでxがx0に近づくとき、f(x)はαに収束する」 f(x)→α (x→x0 , x∈S )　

　　「Sのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」　　

lim

 f (x) = α　　　　

x→x0
x∈S

　とは、

　　αのどのε 近傍Uε(α)に 対してであっても、
　　　　　それに応じて、点x0の δ近傍Uδ(x0) をうまく選んで、

　　　　　　　「　f ( Uδ(x0) ∩S ) ⊂ Uε(α)　 」

　　　　　　　を成り立たせることができる

　　 ∀Uε(α) ∃Uδ(x0) (　f ( Uδ(x0) ∩S ) ⊂Uε(α) )　)　

　すなわち、

　　任意の正の実数εに対して、そ れに応じて、 正の実数δ をうま く選ぶと、

　　　　　「　f ( Uδ(x0) ∩S ) ⊂ Uε(α)　 」　すなわち　「 x∈（Uδ(x0) ∩S） ならば、f (x)∈ Uε(α)　 」　

　　　を成り立たせることが出来る

　　　　　　　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( Uδ(x0) ∩S ) ⊂ Uε(α)　 )　　
　　　　　　　 ∀ε＞0 ∃δ＞0 (　x∈（Uδ(x0) ∩S） ならば、f (x)∈ Uε(α)　)　 　

　ということ。
　




下記文献のうち、
 　


　杉浦・Lang は、《実数の集合》を定義域とする1変数関数f 全般について、左記「収束」「極限値」を定義しているが、
　赤は、《区間の和集合》を定義域とする1変数関数f に限定して、左記「収束」「極限値」を定義。








【文献】

・杉浦『解析入門I』 【命題6.4】(p.55)ベクトル値関数一般
　　　f ：集合Aで定義された関数　
　　　a：集合Aの触点（メモ：孤立点なので、集積点にならない触点でもOK）
　　「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは「 ∀ε＞0 ∃δ＞0 f ( Uδ(a) ∩A )⊂ Uε( b )　」ということ、




　




【注意】　
 　


・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)はαに 収束する/f(x)の極限値はα」をど のように定義しているか、チェックしていくと、
　　下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
　　　【教科書タイプ１】　「x→x0のときf(x)はαに収束 する/f(x)の極限値はα」　を、　 「∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( U*δ(x0) ∩《fの定義域》 ) ⊂ Uε(α)　 )」 が 　（→詳細）で定義する教科書。
　　　【教科書タイプ2】　「x→x0のときf(x)はαに収束 する/f(x)の極限値はα」　を、　「∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( Uδ(x0) ∩《fの定義域》 ) ⊂Uε(α)　 )」 　（→左欄）で定義する教科書。
・【教科書タイプ１】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義 2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義 6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できな い。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

・このノートでは、　

　　【教科書タイプ１】の極限定義「∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( U*δ(x0) ∩《fの定義域》 ) ⊂ Uε(α)　 )」 を、　　f(x)→α (x→x0)　 　または　

lim
 f(x) 　＝α 　で、
x→x0

　　【教科書タイプ2】の極限定義「∀ε＞0 ∃δ＞0 (　f ( Uδ(x0) ∩《fの定義域》 ) ⊂Uε(α)　 )」 を、　　f(x)→α (x→x0, x∈D)　 または　

lim
 　 f(x)　＝α 　で、
x→x0
x∈D
　表すことによって、両者を区別する。
・この記法は、Lang,『ラング現代微積分学』2章§2(p.47)や、杉浦『解析入門I』【命題 6.4】(p.55)に沿ったつもり。

※なお、f の定義域をDと したとき、　
　　　【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0の ときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　f(x)→α (x→x0)　 は、
　　　【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの 　D−{x0}　への制限』 f * (x)はx→x0のときαに 収束する/極限値αを持つ」 　f *(x)→α ( x→x0 , x∈D−{x0} )　[赤『実数論講義』定義 6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「 D−{x0}のな かでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈D−{x0} )　[杉浦『解析入門』 定義3・注意1(pp.52-54)]
　　にあたる。





　




【極限値を定義可能な範囲】 　


【Q】

　　《関数 f の定義域》の触点x0　において、
　　　　　　上記の「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」 「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値はαである」
　　　　　　　　　　　「定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、f(x)は収束する」　　　 「定義域Dのなかでxがx0に近づくときのf(x)の極限値が存在する」
　　という言葉は、定義されているけれども、
　　これらの言葉が定義されている「《関数 f の定義域》の触点」って、具体的には、どんな点？

【A】

・下記いずれかのタイプに該当する点は、《関数 f の定義域》の触点。
　だから、これらの点にxを定義域Dのなかで近づけたとき
　　　　　　「f(x)はαに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値が存在する」
　という言葉は意味をもつ。
　　　　（もちろん、真偽どちらになるかは、  f が 《どんな関数であるか》 に依存して、ケースバイケース。
　　　　　しかし、f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、これらの点にxを定義域Dのなかで近づけたとき、上記の言葉は定義されているので、これらの点にxを近づけた場合、定義に沿って検討すれば、各々のケースでの真偽を確定できる。）

　　　[タイプ1]　その点自身が《関数 f の定義域》に属し、なおかつ、その点の両隣も《関数 f の定義域》。つまり、《関数 f の定義域》の内点。※このタイプに該当する点の例　：　関数 f が定義されている区間の中間にある点
　　　[タイプ2]　その点自身が《関数 f の定義域》に属し、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f の定義域》だが、他方の隣は《関数 f の定義域》ではない　（《関数 f の定義域》に属す「集積点である境界点」の特殊タイプ）　　　※このタイプに該当する点の例　：　関数 f が定義されている閉区間の端点　
　　　[タイプ3]　その点自身は《関数 f の定義域》に属すが、その点の両隣は《関数 f の定義域》でない。つまり、《関数 f の定義域》の孤立点。
　　　　　　　　　　※このタイプに該当する点の例　：　
　　　　　　　　　　※　f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にxを定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)はαに収束する」 「f(x)の極限値はαである」「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値が存在する」が定義されているというだけでなく、
　　　　　　　　　　　　　f が 《どんな関数であるか》 にかかわらず、このタイプに該当する点にxを定義域Dのなかで近づけたとき「f(x)は収束する」 「f(x)の極限値は存在する」が真になるとまで言える。　[→Lang『ラング現代微積分学』p.48下]
　　　[タイプ4]　その点自身は《関数 f の定義域》に属さないが、その点の両隣は《関数 f の定義域》。　（《関数 f の定義域》に属さない「集積点である境界点」の特殊タイプ）
　　　　　　　　　　※このタイプに該当する点の例　：R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)における0。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　たとえば、　R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞) を 定義域 とする 関数 y = f (x)=1/x では、xを0に近づけるとき　「f(x)はαに収束する」「f(x)は収束する」は定義されている。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このケースでは、もちろん、どんな実数αに対しても、「xがx0に近づくとき、f(x)はαに収束する」は偽。
　　　[タイプ5]　その点自身は《関数 f の定義域》に属さず、なおかつ、その点の一方の隣も《関数 f の定義域》でないが、その点の他方の隣は《関数 f の定義域》。　（定義域に属さない「集積点である境界点」の特殊タイプ）　　※このタイプに該当する点の例　：　関数 f が定義されている開区間の端点

・下記に該当する点は、《関数 f の定義域》の触点ではない。
　　だから、下記に該当する点にxを近づけたとき
　　　　　　　　「f(x)はαに収束する」 「f(x)の極限値はαである」
　　　　　　　　「f(x)は収束する」　　 「f(x)の極限値は存在する」
　　は、定義されていない。真偽以前にナンセンス。
　　　[タイプ6]　その点自身は《関数 f の定義域》に属さず、なおかつ、その点の両隣も《関数 f の定義域》でない。つまり、《関数 f の定義域》の外点。








　




上記で定義された 「《f の定義域の部分集合》Sの なかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」は、
下記のように、Sの中身を指定することで、多様な極限概念(極限/右極限/左極限)に化ける。

　　　・《f の定義域の部分集合》S 　を　「x0を除く《f の定義域》」　に指定した　「　x0を除く《f の定義域》　のなかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈《f の定義域》−{x0} )　 　は、　 多数派の教科書が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の 極限値はα」　f(x)→α (x→x0)　。

　　　・《f の定義域の部分集合》S 　を　《f の定義域》∩(x0 ,∞)　に 指定した　「　《f の定義域》∩(x0 ,∞)　の なかでxがx0に近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈《f の定義域》∩(x0 ,∞) )　 　は、　右極限　

lim

f (x) = α　。　　

x→x0+0

　　　・《f の定義域の部分集合》S 　を　《f の定義域》∩(-∞,x0)　に指定した　 「　《f の定義域》 ∩(-∞,x0)　の なかでxがx0に近づくときf(x)はαに収束する/極 限値αを持つ」　 　f (x)→α ( x→x0 , x∈《f の定義域》∩(-∞,x0) )　 　は、　左極限　

lim

f (x) = α　にあたる。　　

x→x0-0 　

この意味で、「Sのなかでxがx0に 近づくときf(x)はαに 収束する/極限値αを持つ」は、多様な極限概念(極限、右極限、左極限)の雛形。






→1変数関数の極限定義　
→トピック一覧：1変数関数の極限　

【メモ】
　[触点・閉包]
　赤：区間和Iで定義された関数。x0は、区間和Iの閉包に属す一点（＝触点）-Langと同じ。|  |x−x0| ＜δかつx∈I−{x0}。
　赤 定義6.1.2注(p.163):《実数の集合》を区間和に限定すると、
　　　　　　ある《実数の集合》＝区間和のすべての触点は集積点、その《実数の集合》＝区間和のすべての集積点は触点。
　　　　　　つまり、《実数の集合》＝区間和については、その導集合と、その閉包が一致する。
　　　赤　定義6.1.3　(p.163)　:
　　　　　　　「f(x)を区間和Iで定義された関数とし、a∈「Iの閉包」∧b∈Rとする。
　　　　　　　　このとき、 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x (　 |x−a|＜δ∧x∈I-{a} ⇒ | f (x)−b|＜ε)」　　　* 0<|x−a|＜δではない！
　　　　　　　　　　であるようにできるならば、f(x)は、xがaに近づくときbに収束するという。
　　　　　　注意4:「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x (　 x∈(a-δ,a+δ)∩(I-{a}) ⇒  f (x)∈(b-ε,b+ε)　)」 とかいても同じ。
　　　　　
　　　赤　定理6.1.1　(p.166)　:区間和Iで定義された関数f(x)が、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき、複数の実数に収束することはない。

　　　赤　定義6.1.4　(pp.166-167)　:　区間和Iで定義された関数f(x)が、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき、何らかの実数bに収 束するならば、単に、f(x)はxがa∈「Iの閉包」に近づくとき収束するという。そしてこのとき、bを、f(x)の、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき の極限値といい、lim x→a f(x)とかく。



　Lang pp.46-47(file36) x0をfの定義域のadherent pointに限定。
　　　x0：集合Sの触点（メモ：孤立点であるために、集積点にならない触点でもOK）
　　　f ：Sの上で定義された関数　　　　　
　　　　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈S ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−A|＜ε)」

　　　　　【メモ】この定義で、普通の定義を記述すると、
　　　　　　　　　　x0：S−{x0}の触点かつ集積点　[触点は、孤立点か集積点のいずれか一方。]
　　　　　　　　　　f ：S−{x0}の上で定義された関数　　
　　　　　　　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈S−{x0} ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−A|＜ε)」

  杉浦『解析入門I』定義2-定義3:x0をfの定義域の閉包に属す一点（＝触点）-Langと同じ。
　　【定義2】(pp.51-52)
　　　f ：集合Aで定義された関数　　　　　
　　　a：集合Aの触点（メモ：孤立点なので、集積点にならない触点でもOK）
　　　「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
　　　　　　　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈A ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−b|＜ε)」
　　【命題6.4】(p.55)
　　　f ：集合Aで定義された関数　　　　　
　　　a：集合Aの触点（メモ：孤立点なので、集積点にならない触点でもOK）
　　　「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
　　　　　　　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0   f ( Uδ(a) ∩A ) ⊂ Uε( b )　」

　　【定義3】(p.52)
　　　f ：集合Aで定義された関数
　　　B :　　　集合Aの部分集合　　　　
　　　a：集合Bの触点（メモ：孤立点なので、集積点にならない触点でもOK）
　　　「xが《Aの部分集合B》内でaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
　　　　　　　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈B ( |x−x0|＜δ ⇒ | f (x)−b|＜ε)」
　　【定義3の例】(p.52)
　　　a∈Aのとき、B={x∈A|x≠a}　　　
　　　　→多くの本における極限の定義(注意1:p.54)
　　　　　　
　→x0が触点である（対象領域が閉包である）ということは、x0が集積点である場合もあれば、x0が孤立点である場合もあるということ。
　　　（対象領域が、「定義域の導集合」∪「定義域の孤立点の集合」）、
　→では、x0が「fの定義域の孤立点」であっても、x→x0としたときの極限を考えられることになるが、それでよいのか。
　　離散集合を定義域とする関数の極限も考えられることになるが、そういう扱いでよいのか？
　→Lang『ラング現代微積分学』はp.48下でそうだという。孤立点ではいつだって、極限が存在する。