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→ε-δ法による厳密な表現 ( 論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル ) →近傍概念を用いた表現 【関連】 ・1変数関数の極限概念:極限/右極限/左極限/片側極限 ・1変数関数の極限概念の周辺:連続/x→+/−∞での極限/発散 ・関数一般に拡張された極限概念: →2変数関数の極限/n変数関数の極限/実数値関数一般の極限/n変数ベクトル値関数の極限/写像の極限 →数列の極限 |
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・「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)→α (x→x0 , x∈D )
lim |
f(x)=α |
|
x→x0 x∈D |
とは、
「変数xがx0 に一致してしまうところまでふくめて、
変数xが《f
の定義域D》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f
(x) も 実数Aに限りなく近づく」
ということ。
・「f(x)は、《定義域の部分集合S》のなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)→α (x→x0 , x∈S )
lim |
f(x)=α |
|
x→x0 x∈S |
とは、
「変数xがx0 に一致してしまうところまでふくめて、
変数xが《f
の定義域の部分集合S》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f
(x) も 実数Aに限りなく近づく」
ということ。
→ε-δ法による厳密な表現 ( 論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル )
→近傍概念を用いた表現
・様々な教科書を手に取って、「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」をどのように定義しているか、チェックしていくと、
下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
【教科書タイプ1】 「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」 を、 「変数xが、《f
の定義域D》のなかで、x0 以外の値をとりながら、x0 に限りなく近づくとき、f
(x) も 実数Aに限りなく近づく」 (→詳細)で定義する教科書。
【教科書タイプ2】 「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」 を、 「変数xがx0 に一致してしまうところまでふくめて、変数xが《f
の定義域D》のなかでx0 に限りなく近づくとき、f
(x) も 実数Aに限りなく近づく」(→上欄)で定義する教科書。
・【教科書タイプ1】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できない。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。
【教科書タイプ1】の極限定義を、 f(x)→α (x→x0) または |
lim |
で、 | |
x→x0 |
【教科書タイプ2】の極限定義を、 f(x)→α (x→x0, x∈D) または |
lim |
f(x) =α | で、 |
x→x0 x∈D |
※なお、f の定義域をDとしたとき、
【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x0のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」 f(x)→α (x→x0) は、
【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの D−{x0} への制限』 f * (x)はx→x0のときαに収束する/極限値αを持つ」 f *(x)→α ( x→x0 , x∈D−{x0} ) [赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]
「 D−{x0}のなかでxがx0に
近づくときf(x)はαに収束する/極限値αを持つ」 f (x)→α ( x→x0 ,
x∈D−{x0} ) [杉浦『解析入門』定義3・注意1(pp.52-54)]
にあたる。
→1変数関数の極限定義 →トピック一覧:1変数関数の極限 |
「極限」概念の雛形 : ε−δ論法による厳密な表現・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f 《実数の集合D》の触点x0 実数α に対して、 「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)→α (x→x0 , x∈D )
とは、 どんな《正の実数》
を選んで、εに代入しても、 「どの《 fの定義域Dに属す実数》をxに
代入しても、f
、x0 は、 を成り立たせることができる
※どう読むの?→ 読み下しサンプル
・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f
とは、
論理記号で表すと、 ということ。
とは、 どんな《正の実数》
を選んで、εに代入しても、 「どの《 fの定義域の部分集合S》に属す実数をxに
代入しても、f
、x0 は、 論理記号で表すと、
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈S ( | x−x0|<δ) ⇒ | f
(x) −α |<ε) ・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f
とは、 論理記号で表すと、 ということ。
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上記で定義された 「《f
の定義域の部分集合》Sの
なかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極
限値αを持つ」は、
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→1変数関数の極限定義 →トピック一覧:1変数関数の極限 |
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「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」
f (x) → α (x→x0 , x∈D)
|
lim |
f (x) = α |
x→x0 |
* 変項 Dの議論領域 : あらゆる《実数の集合D》《Rの部分集合》をあつめた集合
。すなわち、Rのベキ集合。[杉浦・Lang]
※ 赤は、教育的配慮から、あらゆる《区間の和集合》をあつめた集合に限定している。
* 変項 fの議論領域 : あらゆる《Dで定義された1変数実数値関数》をあつめた集合
* 変項x0の議論領域 : fの定義域D の触点を集めた集合。すなわち、fの
定義域D の閉包。
* 変項αの議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R
* 変項 f の議論領域 : あらゆる《Dで定義された1変数実数値関数》をあつめた集合
* 変項 x0
の議論領域 : fの
定義域D の触点を集
めた集合。すなわち、fの
定義域D の閉包。
* 変項εの議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R
* 変項δの議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合
R
* 変項 x の議論領域 : f
の定義域D
* 変項αの議論領域 : あらゆる実数をあつめた集合 R
・「 ∀ε>0
∃δ>0 ∀x∈D ( |
x−x0|<δ
⇒ |
f
(x)−α |<ε)
」 は、下記の略記。
「 ∀ε∈
{
x∈R
|
x> 0 } ∃δ∈ {
x∈R
|
x> 0 } ∀x∈D
( |
x−x0|<δ
⇒ |
f
(x)−α |<ε
)
」
つまり、「 ∀ε∈
(0,∞)
∃δ∈ (0,∞)
∀x∈D
( |
x−x0|<δ
⇒ |
f
(x)−α |<ε
)
」
ないし、
「 ∀ε (
ε>0
⇒ ∃δ
( δ>0
かつ ∀x∈D
( |
x−x0|<δ
⇒ |
f
(x)−α |<ε
) )
) 」
・上記定義が意味しているのは、
{ x∈R | x> 0 } つまり (0,∞) から、どの実数を 選んで変項εに代入しても、(←意味:「∀ε>0」 「∀ε∈ { x∈R | x> 0} 「∀ε∈ (0,∞)」 の部分)
《εに代入した実数》に好都合な実数が、 {
x∈R
|
x> 0 }
つまり (0,∞)
のなかに、少なくとも一個は存在するので、
その《εに代入した実数》に好都合な実数を、 {
x∈R
|
x> 0 }
つまり (0,∞)か
ら探し出してδに代入することによって、(←意味 「∃δ>0」
の部分)
「どの《Dに属す実数》をxに
代入しても、f
、x0 は、
『 |
x−x0|
<δならば、|
f(x)−α |<ε
』を満たす」 (←意味: |
x−x0|<δ
⇒ |
f
(x)−α |<ε)
)
を成り立たせることができる
ということ。
→1変数関数の極限定義 →トピック一覧:1変数関数の極限 |
→1変数関数の極限定義 →トピック一覧:1変数関数の極限 |
ε−δ論法による厳密な「極限値」定義 ― 近傍概念を用いた表現
・《実数の集合D》を定義域と
する1変数関数f 「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、αに収束する」 f(x)→α (x→x0 , x∈D )
とは、
それに応じて、点x0の
δ近傍Uδ(x0)をうまく選んで、
を成り立たせることができる
∀Uε(α)
∃Uδ(x0)
( f
( Uδ(x0)
∩D
) ⊂Uε(α)
) ) すなわち、
任意の正の実数εに対して、そ
れに応じて、
正の実数δをうま
く選ぶと、
「 f
( Uδ(x0)
∩D
) ⊂ Uε(α)
」 すなわち 「 x∈(Uδ(x0)
∩D)
ならば、f
(x)∈ Uε(α)
」 を成り立たせることが出来る
∀ε>0 ∃δ>0 ( f
( Uδ(x0)
∩D
) ⊂ Uε(α)
) ということ。
・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f
「f(x)は、定義域Dのなかでxがx0に近づくとき、収束する」
とは、
論理記号で表すと、 ということ。
・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f
とは、 αのどのε
近傍Uε(α)に
対してであっても、 を成り立たせることができる
∀Uε(α)
∃Uδ(x0)
( f (
Uδ(x0)
∩S ) ⊂Uε(α)
) ) すなわち、
任意の正の実数εに対して、そ
れに応じて、 正の実数δ
をうま く選ぶと、
「 f (
Uδ(x0)
∩S
) ⊂ Uε(α)
」 すなわち 「 x∈(Uδ(x0)
∩S)
ならば、f (x)∈
Uε(α)
」 を成り立たせることが出来る
∀ε>0 ∃δ>0 ( f (
Uδ(x0)
∩S
) ⊂ Uε(α)
) ということ。
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上記で定義された 「《f
の定義域の部分集合》Sの
なかでxがx0に 近づくときf(x)はαに収束する/極
限値αを持つ」は、
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→1変数関数の極限定義 →トピック一覧:1変数関数の極限 |
【メモ】
[触点・閉包]
赤:区間和Iで定義された関数。x0は、区間和Iの閉包に属す一点(=触点)-Langと同じ。| |x−x0|
<δかつx∈I−{x0}。
赤 定義6.1.2注(p.163):《実数の集合》を区間和に限定すると、
ある《実数の集合》=区間和のすべての触点は集積点、その《実数の集合》=区間和のすべての集積点は触点。
つまり、《実数の集合》=区間和については、その導集合と、その閉包が一致する。
赤 定義6.1.3 (p.163) :
「f(x)を区間和Iで定義された関数とし、a∈「Iの閉包」∧b∈Rとする。
このとき、 ∀ε>0 ∃δ>0
∀x
( |x−a|<δ∧x∈I-{a}
⇒ | f
(x)−b|<ε)」 * 0<|x−a|<δではない!
であるようにできるならば、f(x)は、xがaに近づくときbに収束するという。
注意4:「 ∀ε>0 ∃δ>0
∀x
( x∈(a-δ,a+δ)∩(I-{a})
⇒ f
(x)∈(b-ε,b+ε) )」 とかいても同じ。
赤 定理6.1.1 (p.166) :区間和Iで定義された関数f(x)が、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき、複数の実数に収束することはない。
赤 定義6.1.4 (pp.166-167) : 区間和Iで定義された関数f(x)が、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき、何らかの実数bに収
束するならば、単に、f(x)はxがa∈「Iの閉包」に近づくとき収束するという。そしてこのとき、bを、f(x)の、xがa∈「Iの閉包」に近づくとき
の極限値といい、lim x→a f(x)とかく。
Lang pp.46-47(file36) x0をfの定義域のadherent pointに限定。
x0:集合Sの触点(メモ:孤立点であるために、集積点にならない触点でもOK)
f :Sの上で定義された関数
「 ∀ε>0 ∃δ>0
∀x∈S
( |x−x0|<δ
⇒ | f
(x)−A|<ε)」
【メモ】この定義で、普通の定義を記述すると、
x0:S−{x0}の触点かつ集積点 [触点は、孤立点か集積点のいずれか一方。]
f :S−{x0}の上で定義された関数
「 ∀ε>0 ∃δ>0
∀x∈S−{x0}
( |x−x0|<δ
⇒ | f
(x)−A|<ε)」
杉浦『解析入門I』定義2-定義3:x0をfの定義域の閉包に属す一点(=触点)-Langと同じ。
【定義2】(pp.51-52)
f :集合Aで定義された関数
a:集合Aの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
「 ∀ε>0 ∃δ>0
∀x∈A
( |x−x0|<δ
⇒ | f
(x)−b|<ε)」
【命題6.4】(p.55)
f :集合Aで定義された関数
a:集合Aの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
「xがaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
「 ∀ε>0 ∃δ>0 f
( Uδ(a) ∩A
)
⊂ Uε( b ) 」
【定義3】(p.52)
f :集合Aで定義された関数
B : 集合Aの部分集合
a:集合Bの触点(メモ:孤立点なので、集積点にならない触点でもOK)
「xが《Aの部分集合B》内でaに近づくときのf(x)の極限がbである」とは
「 ∀ε>0 ∃δ>0
∀x∈B
( |x−x0|<δ
⇒ | f
(x)−b|<ε)」
【定義3の例】(p.52)
a∈Aのとき、B={x∈A|x≠a}
→多くの本における極限の定義(注意1:p.54)
→x0が触点である(対象領域が閉包である)ということは、x0が集積点である場合もあれば、x0が孤立点である場合もあるということ。
(対象領域が、「定義域の導集合」∪「定義域の孤立点の集合」)、
→では、x0が「fの定義域の孤立点」であっても、x→x0としたときの極限を考えられることになるが、それでよいのか。
離散集合を定義域とする関数の極限も考えられることになるが、そういう扱いでよいのか?
→Lang『ラング現代微積分学』はp.48下でそうだという。孤立点ではいつだって、極限が存在する。