→ビギナーのための連続定義 →極限値を用いた表現　 →ε-δ法による厳密な表現(考え方 / 論理にこだわって / 論理記号読下しサンプル）　 →近傍概念を用いた表現 【関連】 ・1変数関数についての連続性の諸概念：右連続/左連続/区分的に連続/区間での連続性/一様連続性 ・《点における連続性》概念の関数一般への拡張： 　→2変数関数の点連続/n変数関数の点連続/距 離空間上の実数値関数の点連続/位 相空間上の実数値関数の点連続　 　→ベクトル値関数の点連続/距 離空間のあいだの写像の点での連続/位 相空間のあいだの写像の点での連続 　 【活用例】 　不定積分(積分関数)の微分

ビギナー向け定義　ステップ1 ― ビジュアル系

・「関数fがx₀において連続continuous at x₀」 とは、

　　関数fのグラフがx₀で切れずに繋がっているということ。[黒田p.100]

・「関数fがx₀で不連続discontinuous at x₀」 とは、

　　関数fはx₀で定義されていて、唯一のf (x₀)が存在するのに、
　　関数fのグラフがx₀で切れていて、繋がっていないということ。

　*「関数がx₀で連続/不連続」という二分法は、x₀で定義されていている関数に対してのみ適用される。
　　だから、関数fがx₀で定義されていない場合、関数fは、x₀において連続とも不連続とも言えない。単なる「x₀では定義されていない関数」。

　* したがって、「グラフがx₀で切れていて、繋がっていない」関数のすべてが、x₀で不連続というわけではない。
　　「グラフがx₀で切れていて繋がっていない」関数のなかには、x₀で定義されていない関数（これは連続とも不連続ともいえない）も混じっている。　　　

	[文献]   ・齋藤『日本語から記号論理へ』3章§5 (pp.141-2) 　・黒田『微分積分』3.3.1節(p.100.) 　・小林『微分積分読本:1変数』2章1連続関数(p.36) 　・瀬山『「無限と連続の数学」−微分積分学の基礎理論案内』4.1.1(pp.90-91) 　・加藤十吉『微分積分学原論』5.2(p.50)
	・本橋『新しい論理序説』5.3例5(pp.93-97)

		【ビジュアル系定義の限界】　 　グラフの形状で「関数の連続性」を定義するのは、非常にわかりやすい。 　しかし、このように定義してしまうと、 　　　　　グラフ形状を把握できない関数へ 　　　　　　「連続性」概念を適用できなくなってしまう…。[齋藤pp.142-4:具体例] 　これは、致命的。 　そういう訳で、 　グラフ形状による「関数の連続性」定義で、だいたいのイメージがつかめたら、 　下記定義へ即バージョンアップ推奨。

ビギナー向け定義　ステップ2　―　日常言語の範囲内で操作的に

・「関数fがx₀において連続continuous at x₀」 とは、
　　　　
　　関数f がx₀で定義されていて、f (x₀)　が存在し、

　　x が x₀ に近づくと、その接近方向によらず、

　　f (x) も f (x₀) に近づくということ。

	[類概念] 右連続/左連続/区間での連続性/一様連続性 [文献]   ・齋藤『日本語から記号論理へ』3章§5 (pp.141-2) 　・黒田『微分積分』3.3.1節(p.100.) 　・小林『微分積分読本:1変数』2章1連続関数(p.36) 　・瀬山『「無限と連続の数学」−微分積分学の基礎理論案内』4.1.1(pp.90-91)
	・本橋『新しい論理序説』5.3例5(pp.93-97)

		【日常言語による定義の限界】　 　この「関数の連続性」定義は、普段の言葉のみで理解できるので、一見わかりやすく感じられるけれども、 　本当は、実用に耐えられない代物。 　　1. 「x が x0 に近づく」ことと「f (x) が f (x0) に近づく」こととが、いかなる関係にあるのか、 　　2. そもそも「近づく」とはいかなる事態を指すのか、 　という点が何ら明確化されていないために、 　この「連続」定義は、事態の的確な把握・伝達が求められる場面（性質の証明など）での使用に耐えられないのだ。 　そこで、 　事態の的確な把握が求められる場合、　 　上記二点を操作化した下記表現が用いられる。 　→極限値を用いた表現： 　　　上記二点を操作的に定義してある「関数の収束」「関数の極限値」という概念を活用して「連続」を定義 　→ε-δ論法で記述した表現： 　　　「関数の収束」「関数の極限値」の原意に遡って、ε-δ論法で上記二点を直接操作的に記述した表現 　　　　　　　　→ 考え方 / ε-δ法による厳密な表現 / 論理記号読み下しサンプル / 論理にこだわって

「連続」定義：極限値を用いた表現

・「区間Iで 定義されている関数f が
　　《区間I上 の点》x₀で連続continuous at x₀」とは、

　【条件1】　f(x)はx→x₀の とき収束する、

　　　　　すなわち、

	lim	f(x)	が存在する
	x→x0

　が満たされたうえで、
　　
　【条件2】　その収束先が、f (x₀)　となる　　

　　　　　すなわち、
　　　　　　f(x)→  f (x₀) (x→x₀)
　　　　　ないし

	lim	f(x)	＝　f (x0)
	x→x0

　も満たされる

　ということ。


・「区間Iで 定義されている関数f が 《区間I上の点》x₀で不連続discontinuous at x₀」 とは、

　f(x)はx→x₀の とき収束しない　
　または、

	[類概念]  右連続/左連続/区間での連続性/一様連続性 [文献1] 定義域を明示。 　・小林『微分積分読本:1変数』2章1連続関数(pp.36-7) 　・小平『解析入門I』(p.80) 　・笠原『微分積分学』1.5連続関数(p.29) 　・赤『実数論講義』定義6.3.1(p.175) 　・松坂『解析入門1』3.2-A(p.107) 　・杉浦『解析入門I』定義5,命題6.5(pp.55-56):ベクトル値関数一般。 　　　　　　　　　　　極限の定義が他のテキストと異なる→注意 1(p.54) 　・黒田『微分積分』3.3.1節(p.100.) 　・Fischer, Intermediate Real Analysis, Chapter�Y.1.Def 1.1''(p.241) 　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§4(p.56)   ・青本『微分と積分1』§1.4(c)(pp.35-6):右連続かつ左連続 [文献2] 定義域があいまい。「近くで定義されているとする」 　・和達『微分積分』2-5連続と不連続(p.34) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』23. 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』11章(pp.108-109)

　f(x)はx→x₀の とき収束するけれども、その収束先はf (x₀)ではない　　　　　　　　

	lim	f(x)	≠　f (x0)
	x→x0

　
　ということ。

ε-δ法による厳密な「連続」定義　−　考え方

・「関数fがx₀において連続」の厳密な定義は、

　近傍概念を用いない表現であれ、近傍概念を用いた表現であれ、

　「《f (x₀)から距離ε以内の目標接近ゾーン》を、どのような距離εで設定しても、
　　　　　それに応じて都合のよい《x₀から距離δ以内のゾーン》が実在しているので、　

　  《f (x₀)から距離ε以内の目標接近ゾーン》を、どのような距離εで設定しても、
　　　　　それに応じて都合のよい《x₀から距離δ以内のゾーン》へ実際にxを突入させることによって、

　　　　　　　　　　f (x)を《f (x₀)から距離ε以内の目標接近ゾーン》に100%突入させることができる」

　　という事態を表現したもの。　

　
　　→近傍概念を用いない厳密な「連続定義」
　　→近傍概念を用いた厳密な「連続定義」

	[文献−解析] 　・齋藤『日本語から記号論理へ』 3章§5 (pp.144-5) 　・小林『微分積分読本:1変数』 2章1連続関数(pp.44-45) 　・瀬山『「無限と連続の数学」−微分 積分学の基礎理論案内』4.1.1 (pp.90-92) [文献−論理] 　●本橋『新しい論理序説』 5.3例5(pp.93-97)

		・このような「関数fがx0において連続」の厳密な定義のアイディアは、 　ビギナー向け連続定義を明確化したもの。 ・「関数fがx0において連続」のビギナー向け定義は、 　　「x が x0 に近づくと、f (x) も f (x0) に近づく」 　だった。 　この「連続」定義は一見わかりやすいのだけれども、 　「近づく」とはいかなる事態を指すのか、という点が不明確なので、 　性質の証明等、的確な事態把握が求められる場面では、使用に耐えられないのだった。 ・この弱点克服のため、「近づく」を明確化しなければならない。 　【明確化の方針】 　　「近さ」を「距離」に数量化、 　　「〜に近づく/近づける」を「《〜から一定距離以内のゾーン》に突入する/突入させる」というかたちに操作化せよ。 　この方針に従って、ビギナー向け「関数fがx0において連続」定義を明確化してみよう。 　「x が x0 に近づく」は、「xが《x0から距離δ以内のゾーン》に突入する」というかたちに、 　「f (x) が f (x0) に近づく」は、「f (x)が《f (x0)から距離ε以内のゾーン》に突入する」というかたちに、 　操作化される。 　すると、 　　 　　ビギナー向け連続定義「x が x0 に近づくと、f (x) も f (x0) に近づく」 　は、 　「xが《x0から距離δ以内のゾーン》に突入すると、f (x)が《f (x0)から距離ε以内のゾーン》に突入する」 　   というかたちに操作化される。 ・これで明確になっただろうか。mmm...。なにかが足りない。 　ビギナー向け連続定義「x が x0 に近づくと、f (x) も f (x0) に近づく」では、 　「x が x0 に近づく」と「f (x) が f (x0) に近づく」との関連性が表現されている。 　この関連性が、　 　「xが《x0から距離δ以内のゾーン》に突入すると、f (x)が《f (x0)から距離ε以内のゾーン》に突入する」 　では、抜け落ちているのだ。 ・ビギナー向け定義に込められた「x が x0 に近づく」と「f (x) が f (x0) に近づく」との関連性とは、 　いかなるものなのか？ 　この関連性は、 　　　「近さ」を「距離」に数量化、 　　　「〜に近づく/づける」を「《〜から一定距離以内のゾーン》に突入する/させる」というかたちに操作化 　という方針のもとで、 　どのように明確化できるのだろうか？ ・数学者たちは、「x が x0 に近づくと、f (x) も f (x0) に近づく」に込められた二つの接近の関連性を、 　　　f (x) を f (x0) にどこまで近づけようとしても、その達成に好都合な《xの x0への近づけ方》が実在しているので、 　　　f (x) を f (x0) にどこまで近づけようとしても、 　　　　その達成に好都合な《xの x0への近づけ方》で実際に、x を x0 に近づけることによって、 　　　　　　f (x) を f (x0) に100%思惑通り近づけることができる、 　という事態に精緻化した。 　そして、 　　「近さ」を「距離」に数量化、 　　「〜に近づく/づける」を「《〜から一定距離以内のゾーン》に突入する/させる」というかたちに操作化 　という方針のもと、 　この事態を、 　「《f (x0)から距離ε以内の目標接近ゾーン》を、どのような距離εで設定しても、 　　　　　　　それに応じて都合のよい《x0から距離δ以内のゾーン》が実在しているので、　 　  《f (x0)から距離ε以内の目標接近ゾーン》を、どのような距離εで設定しても、 　　　　　それに応じて都合のよい《x0から距離δ以内のゾーン》へ実際にxを突入させることによって、 　　　　　　　　　　　　f (x)を《f (x0)から距離ε以内の目標接近ゾーン》に100%突入させることができる」 　　というかたちに操作化した。 　 　　結局、「x が x0 に近づくと、f (x) も f (x0) に近づく」に込められた二つの接近の関連は、 　　《f (x0)からの距離ε》と《x0からの距離δ》との間の、 　　　　「どのような距離εにたいしても、それに応じて都合のよい距離δが存在して、〜を満たす」 　　　　　　　　　　　∀ε＞0  ∃δ＞0　 　　という関連性に明確化されたことになる。 ※《f (x0)から距離ε以内の目標接近ゾーン》は、「f (x0)のε近傍」　　 　《x0から距離δ以内のゾーン》は、「x0のδ近傍」と呼ばれる。　　　　 　　　→ε-δ論法による連続定義：近傍概念を用いない表現 　　　→ε-δ論法による連続定義：近傍概念を用いた表現

ε−δ論法による厳密な「連続」定義

「区間Iで 定義されている関数f が
　　　《区間I上 の点》x₀で連続であるcontinuous at x₀」  とは、

どんな《正の実数》 を選んで、εに代入しても、　

	[類概念] 右連続/左連続/区間での連続性/一様連続性 [文献−解析] 　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§4(p.56) 　・Fischer, Intermediate Real Analysis, Chapter�Y.1.Def 1.1'(p.241) 　・小林『微分積分読本:1変数』2章1連続関数(pp.44-45) 　・赤『実数論講義』定義6.3.1(p.175) 　・松坂『解析入門1』3.2-A(p.107) 　・杉浦『解析入門I』定義5,命題6.5ｂ(p.55):ベクトル値関数一般 　・黒田『微分積分』3.4.1節一様連続性 (p.108):極限を使った表現から導出 　・青本『微分と積分1』§1.4(c)注意1.5.2(p.37) 　・小平『解析入門I』§2.2a 定義2.2(p.80) 　・和達『微分積分』2-5連続と不連続(2.28) (p.35) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』§4(�T) (p.23) 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』11章(p.109);13章例13.4(pp.134-5) 　・瀬山『「無限と連続の数学」−微分 積分学の基礎理論案内』定義4.1.3 (pp.91-92) 　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』5.1.1(p.170) [文献−論理] 　●本橋『新 しい論理序説』5.3例5(pp.93-97);問題6イ:連続でない(p.96;106);問題6ロ〜:(p.96;106-7); 　・齋藤『日本語から記号論理へ』3章§5 (pp.144-5) 　・新井『数学は言葉』例題4.3.2.4(p.138;140) 　・高崎金久『数理論理学入門』V. 述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方-最後の【例】

　〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》が少なくとも一個は存在するので、
　その〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》を探し出してδに代入することによって、

　　　「どの《区間Iに属す実数》をxに 代入しても、f 、x₀ は、
　　　　　　　　　　　『　| x−x₀| ＜δならば、| f(x)−f (x₀) |＜ε　 』
　　　　　　　すなわち『　x₀−δ＜x＜x₀＋δならば、　f (x₀)−ε＜ f (x)＜f (x₀)＋ε　』
　　　　　　　すなわち『　x∈ ( x₀−δ, x₀+δ)ならば、　f(x) ∈ ( f (x₀)−ε, f (x₀)＋ε)　 　』
　　　　を満たす」

　を成り立たせることができる

ε−δ論法による厳密な「連続」定義　−　論理にこだわって

・変項 f , x₀ を組み込んだ2項述語・2変項命題関数　

　「 f はx₀で連続」

　　　　* 変項 fの議論領域　：　あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合
　　　　* 変項x₀の議論領域　：　fの定義域D

　とは、

　変項 f , x₀ ,ε, δ, x  を組み込んだ5項述語・5変項命題関数
　　「　| x−x₀| ＜δならば、| f (x)−f (x₀) |＜ε 　」
　　すなわち
　　「　x∈ ( x₀−δ, x₀+δ)ならば、　f (x) ∈ ( f (x₀)−ε, f (x₀)＋ε)　 　」

　　　　* 変項 f の議論領域　：　あらゆる1 変数実数値関数をあつめた集合
　　　　* 変項 x₀ の議論領域　：　fの 定義域D　　
　　　　* 変項εの議論領域　：　あらゆる実 数をあつめた集合 R　 　
　　　　* 変項δの議論領域　：　あらゆる実数をあつめた集合 R　　 　　
　　　　* 変項 x の議論領域　：　f の定義域D 　

　について、

　その3変項ε,δ, x を、 ∀ε>0 　∃δ>0　∀x∈D で束縛し、
　  f , x₀ のみを変 項として残した2項述語・2変項命題関 数　　

　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε) 」
　　すなわち
　　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( x∈ ( x₀−δ, x₀+δ) ⇒ f (x) ∈ ( f (x₀)−ε, f (x₀)＋ε) 」

　のこと。

・「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε) 」 　は、下記の略記。

　　　「　∀ε∈ { x∈R | x> 0 }　∃δ∈ { x∈R | x> 0 }　∀x∈D　 ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε ) 　」
　　　　　　つまり、「　∀ε∈ (0,∞)   ∃δ∈ (0,∞) ∀x∈D　 ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε ) 　」　　

　ないし、

　　　「　∀ε ( ε>0 ⇒ ∃δ ( δ>0 かつ ∀x∈D （ | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε ） 　) )  　」

・上記定義が意味しているのは、

　　 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞) から、どの実数を 選んで変項εに代入しても、（←意味：「∀ε>0」 「∀ε∈ { x∈R | x> 0} 「∀ε∈ (0,∞)」 の部分）

　　《εに代入した実数》に好都合な実数が、 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞) のなかに、少なくとも一個は存在するので、
　　その《εに代入した実数》に好都合な実数を、 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞)か ら探し出してδに代入することによって、（←意味　「∃δ＞0」 の部分）

　　　「どの《Dに属す実数》をxに 代入しても、f 、x₀ は、
　　　　　　　『　| x−x₀| ＜δならば、| f(x)−f (x₀) |＜ε　 』を満たす」　（←意味： | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε)　 )　　

　　を成り立たせることができる

　ということ。　

	[文献] 　●本橋『新しい論理序説』5.3例5(pp.93-97) 　・高崎金久『数理論理学入門』V. 述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方-最後の【例】

ε−δ論法による厳密な「連続」定義　―　論理記号読み下しサンプル

【邦文読み下しtype1】 　
　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε) 」 を、
　修飾関係にしたがわず、
　記号の順序に読み下して行く作法。

　(1)任意の〜に対し、−が存在して、

　　「任意のε>0に対しδ>0が存在して、
　　　　　| x−x₀| ＜δとなるすべてのx∈D に対し
　　　　　　　　　　| f (x)−f (x₀)|＜εとなる」[杉浦 p.55]

　　「任意のε>0に対し、あるδ>0が存在して、
　　　　　| x−x₀| ＜δを満たすすべてのxに対して
　　　　　　　　| f (x)−f (x₀)|＜εが成り立つ」[松坂p.107]

　　「任意の正数εに対し、ある正数δ(εによって決まる)が存在して、
　　　　　　　　　| x−x₀| ＜δならば| f (x)−f (x₀)|＜ε」[松坂p.107]


　(2)任意の〜に対し、−を選んで/とって/定めると、

　　「任意の正の実数εに対応して正の実数δ(ε)を選んで
　　　　『　| x−x₀| ＜δならば、| f(x)−f (x₀) |＜ε』　となるようにできる」[小平 p.80]　
　
　　「任意に与えられた正の数εに対し、ある正の数δをとると、
　　　　|x−x₀|＜δ なるすべてのxに対して、| f (x)−f (x₀)|＜εが成り立つ」　[齋藤p.145]

　　「任意の正の数εにたいして、適当なδをとって、
　　　　|x−x₀|＜δ であるすべてのxについて、| f (x)−f (x₀)|＜ε が成り立つ」[和達p.35]
　　
　　「どんな正の数εに対しても、正の数δをうまく定めると、
　　　　|x−x₀|＜δ であるどんなxに対しても、| f (x)−f (x₀)|＜ε となるようにできる」[細井p.109]　

　　「任意の正数εにたいして、ある正数δをとると、| f (x)−f (x₀)|＜ε（| x−x₀|＜δ） が成り立つ」[吹田・新保p.23]

　　「任意のε>0に対し十分小さいδ>0をとれば、| f (x)−f (x₀)|＜εが、『|x−x₀| ＜δとなるすべてのx』に対して成り立つ」[小林 p.45]

　　「正の実数εをどのように指定されようとも、そのεという実数に対応して十分小さい正数δをとれば、xとx₀の差がこのδより小さいすべてのxについて、f (x)とf (x₀)の差が前もって指定された正の実数εより小さくなる。」[本橋p.94]

【邦文読み下しtype2】 　
　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε) 」を、
　記号の順序にしたがわず、修飾関係にしたがおうとする読み下し。
　文才がない限り、誤読のもとになるので、推奨されない[→黒田『微分積分学』§2.5.2補足説明２(p.44)]。

　　「任意の正数ε>0に対して、x∈Dで|x−x₀|＜δならば、| f (x)−f (x₀)|＜εとなる正数δが存在する」[永倉宮岡p.170]　　


【英文読み下し】
　「 ∀ε＞0  ∃δ＞0  ∀x∈D  ( | x−x₀|＜δ ⇒ | f (x)−f (x₀)|＜ε) 」の英文読み下しサンプル。
　　どういうわけか、∀x∈Dの全称量化が省略されている。
　　"for each ε>0, there exists a δ>0 such that if  | x−x₀|＜δ and x∈D then | f (x)−f (x₀)|＜ε " [Fischer p.241 ]
　　"given ε, there exists δ such that if  | x−x₀|＜δ,then  | f (x)−f (x₀)|＜ε " [Lang p.241 ] 　

	[文献-解析] 　・松坂『解析入門1』3.2-A(p.107) 　・Fischer, Intermediate Real Analysis, Chapter�Y.1.Def 1.1'(pp.240-1) 　・杉浦『解析入門I』定義5,命題6.5ｂ(p.55):ベクトル値関数一般 　・小平『解析入門I』§2.2a 定義2.2(p.80) 　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§4(p.56) 　・小林『微分積分読本:1変数』2章1連続関数(pp.44-45) 　・和達『微分積分』2-5連続と不連続(2.28) (p.35) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』§4(�T) (p.23) 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』11章(p.109) 　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』5.1.1(p.170) 　・青本『微分と積分1』§1.4(c)注意1.5.2(p.37) [文献-論理] 　●本橋『新しい論理序説』5.3例5(pp.93-97) 　・齋藤『日本語から記号論理へ』3章§5 (pp.144-5) 　・高崎金久『数 理論理学入門』V. 述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方-最後の【例】

「区間Iで 定義されている関数f が
　　　《区間I上 の点》x₀で連続であるcontinuous at x₀」  とは、　

　　点 f (x₀)のどのε近傍U_ε( f(x₀) )に対してであっても、

　　　　　それに応じて、点x₀のδ近傍U_δ(x₀)をうまく選んで、
　
　　　　　　　「　f ( U_δ(x₀) ∩I ) ⊂ U_ε( f(x₀) )　」

　　　　　　　を成り立たせることができる

　　 ∀U_ε( f(x₀) )  ∃U_δ(x₀)  (　f ( U_δ(x₀) ∩I ) ⊂U_ε( f(x₀) )　)　
　　　for each ε-neighborhood of f (x₀) , there exists a δ-neighborhood of x₀ such that  f ( U_δ(x₀) ∩I ) ⊂U_ε( f(x₀) )  [Fischer,p.240] 
　　　ということ、
　
　すなわち、

　　任意の正の実数εに対して、それに応じて、正の実数δをうまく選ぶと、
　
　　　　　　　　「　f ( U_δ(x₀) ∩I ) ⊂ U_ε( f(x₀) )　」　すなわち　「　x∈U_δ(x₀)  ∩I ならば、　f (x)∈ U_ε( f(x₀) )　」

　　　を成り立たせることが出来る

　　　　　　　 ∀ε＞0  ∃δ＞0  (　f ( U_δ(x₀) ∩I ) ⊂ U_ε( f(x₀) )　)　　
　　　　　　　 ∀ε＞0  ∃δ＞0  (　x∈U_δ(x₀) ∩I ならば、　f (x)∈ U_ε( f(x₀) )　)　　
　ということ。

  cf. 右連続/左連続

※「x→x₀ の ときf(x)が収束する」の定義との違い
　　　　　連続：任意の〜に対して、〜を満た す点x₀のδ近傍 U_δ(x₀) が存在すること
　　　　　極限：任意の〜に対して、〜を満た す点x₀の除外δ近傍 U^*_δ(x₀) が存在すること
　　　　　つまり、関数の極限では、x＝x₀を除外して考えた。　

	[文献] 　・杉浦『解析入門I』定義5,命題6.5c(p.55):ベクトル値関数一般。近傍が定義域の部分集合になってないケースも考慮。 　・笠原『微分積分学』1.5連続関数(p.29) 　・Fischer, Intermediate Real Analysis, ChapterVI.1.Definition (p.240) 　・瀬山『「無限と連続の数学」−微分 積分学の基礎理論案内』定義4.1.4 (p.92) 　・高崎金久『数 理論理学入門』V. 述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方-最後の【例】