「xがx₀に近づくときのf(x)の極限値はα」　"f has limit A as x approaches a"[Fischer212] 

　f(x)＝α

　f(x) 　　が存在する　

「変数xが、《f の定義域》のなかで、x₀ 以外の値をとりながら、x₀ に限りなく近づくとき、f (x) も 実数αに限りなく近づく」ではなく、

「変数xがx₀ に一致してしまうところまでふくめて、変数xが《f の定義域》のなかでx₀ に限りなく近づくとき、f (x) も 実数αに限りなく近づく」という事態を表す概念については、
「極限」概念の雛形を参照。

・様々な教科書を手に取って、「x→x₀のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」をどのように定義しているか、チェックしていくと、
　　下記2タイプの教科書が存在することに気づく。
　　　【教科書タイプ１】　「x→x₀のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　を、　「変数xが、《f の定義域》のなかで、x₀ 以外の値をとりながら、x₀ に限りなく近づくとき、f (x) も 実数αに限りなく近づく」（→左欄）　で定義する教科書。
　　　【教科書タイプ2】　「x→x₀のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　を、　「変数xがx₀ に一致してしまうところまでふくめて、変数xが《f の定義域》のなかでx₀ に限りなく近づくとき、f (x) も 実数αに限りなく近づく」　（→詳細）で定義する教科書。
・【教科書タイプ１】が多数派。しかし、【教科書タイプ2】には、杉浦『解析入門I』[定義2(p.51)定義3(p.52)命題6.4(p.55)]、Lang, Undergraduate Analysis[Chapter2§2(p.39)、赤『実数論講義』[定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]等の有力タイトルも含まれるので、無視できない。
・両者は、同一の言葉・記号を、別の事態で定義しているので、混乱のもと。

※なお、f の定義域をDとしたとき、　
　　　【教科書タイプ1】が採用する極限定義の意味での「x→x₀のときf(x)はαに収束する/f(x)の極限値はα」　f(x)→α (x→x₀)　は、
　　　【教科書タイプ2】が採用する極限定義の意味での 「 『関数fの　D−{x₀}　への制限』 f ^* (x)はx→x₀のときαに収束する/極限値αを持つ」 　f ^*(x)→α ( x→x₀ , x∈D−{x₀} )　[赤『実数論講義』定義6.1.3(p.163);定義6.1.4(pp.166-7)]　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「 D−{x₀}のなかでxがx₀に 近づくときf(x)はαに収束する/極限値αを持つ」　 　f (x)→α  ( x→x₀ , x∈D−{x₀} )　[杉浦『解析入門』定義3・注意1(pp.52-54)]
　　にあたる。