1変数関数の高階導関数　：　トピック一覧

・定義：第2次微分係数 / 2階導関数･第2次導関数 / n階導関数･第n次導関数･高階導関数 / n回微分可能/cn級 / C∞級
・定理：関数の和のn階導関数/関数の積のn階導関数(ライプニッ ツの公式)/合成関数のn階導関数/逆関数のn階導関数/ベキ関数のn階導関数/指数関数のn階導関数/対数関数のn階導関数　
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定義：x=x0における第2次微分係数 second order differential coefficient

  関数y=f(x)の導関数 f '(x) がx=x0で微分可能なとき、
　その微分係数を f ''(x0) とかき、
　これを関数y=f(x)のx=x0における第2次微分係数という。
　　　　　　　　　
【文献】
　吹田・新保2章§1II(p.41);小平§3.4(p.127);笠原2.3[1](p.47)
　髙木19.高階微分法(p.51)







定義：2階導関数・第2次導関数　 second order derivative , second derivative　
　 関数y=f(x)の導関数 f '(x)が区間Iの各点で微分可能であるとき、　
　その導関数　　　　を2階導関数もしくは第2次導関数と呼ぶ。
 　y=f(x)の2階導関数もしくは第2次導関数は、以下のように表記する。
　　　　　　　　f '' (x)、　f (2) (x)、　y ''、　　2階導関数・第二次導関数

【文献】　吹田・新保2章§1II(p.41);小平§3.4(p.127);笠原2.3[1](p.47);髙木19.(p.51);杉浦II§1定義5(p.88)　



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定義：n階導関数・第n次導関数n-th derived function・
　　　高階導関数derived function of higher order

・関数y=f(x)のn階 導関数・第n次導関数とは、
　　f(x)の導関数f ' (x)の導関数 f ( 2 )(x) の導関数の…　
　といった具合に、f(x)をn回微分して得られる関数のこと。

　*　もちろん、
　　　n回微分可能でn階 導関数が存在することもあれば、
　　　n回微分不可能でn階 導関数が存在しないこともある。
・2階以上の導関数を総称して高階導関数と呼ぶ。
・関数y=f(x)のn階 導関数・第n次導関数は、
　次のように表記する。　　
　　　　f ( n ) (x)、　y ( n )、D n f (x) 　　
　　　　 　　　

【文献】
　　吹 田・新保2章§1II(p.41);小平§3.4(p.127)
　　髙木19.(p.51);杉浦II §1定義5(p.88);笠原2.3[1](p.47)







定義：n回微分可能
「関数 y = f (x)は区間 I上n回微分可能 」とは、　　
　f (x) が区間Iで微分可能、
　f (x) の導関数 f ' (x)も区間Iで微分可能、
　f (x) の第2次導関数 f (2)(x)も区間Iで微分可能、
　　：　　　
　f (x) の(n－1)階導関数 f (n－1)(x)も区間Iで微分可能
であることをいう。

【文献】
　吹 田新保2章§1II(p.41);小平§3.4(p.127);笠原2.3[1](p.49)







定義：Cn級　function of class C-n、　C∞ 級　

・「関数y=f(x)は区間 I上Cn級 function of class c-n 」　　
　　　ないし、「関数y=f(x)は区間 I上n回 連続微分可能 n-times continuously differentiable」　
　とは、

　　　f (x) が区間Iで微分可能、
　　　f (x) の導関数 f ' (x) も区間Iで微分可能、
　　　f (x) の第2次導関数 f (2)(x) も区間Iで微分可能、
　　　　：　　　
　　　f (x) の(n－1)階導関数 f (n－1) (x)も区間Iで微分可能

　であって、
　f(x)のn階導関数 f (n) (x) が区間Iで連 続であることをいう。

・「関数f(x)は区間I上C∞ 級」
　　　ないし、「関数f(x)は区間I上無限階 微分可能 infinitely differentiable 」　
　とは、

　　　f (x) が区間Iで微分可能、
　　　f (x) の導関数 f ' (x) も区間Iで微分可能、
　　　f (x) の第2次導関数 f (2)(x) も区間Iで微分可能、
　　　　：　　　
　　　f (x) の(n－1)階導関数 f (n－1) (x)も区間Iで微分可能
　　　f (x) の n階導 関数 f (n) (x)も区間Iで微分可能
　　　f (x) の(n＋1)階導関数 f (n＋1) (x)も区間Iで微分可能
　　　　：　　　
　　　　：　　　
　といった具合に、　　　
　関数f(x)が区間Iで何回でも微分可能であるこ とをいう。

【文献】　吹 田・新保p.47; 小平pp.143-144;笠原2.3[1](p.49);杉浦II §1定義5(p.88)



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定理：関数の和のn階導関数　　　


　関数 f(x), g(x) がそれぞれn回微分可能な関数ならば、
　　　つまり、
 　　　f(x), g(x)が微分可能、
　　　f(x), g(x)の導関数も微分可能、
　　　f(x), g(x)の第2次導関数も微分可能、
　　　　：　　　
　　　f(x), g(x)の(n－1)階導関数も微分可能
　　　ならば、　　
 a,bを定数として、　　
　　

【文献】『理工系の微分積分学』2章§1II(p.42);小平『解析入門I』§3.4定理3.11:証明付(pp.127-8);高木『解析概論』19.高階微分法(p.52)

定理：関数の積のn階導関数「ライプニッツの公式・法則」　

　　　　

※なぜ？→証明

【文献】『理工系の微分積分学』2章§1II(p.42);小平『解析入門I』§3.4定理3.11:証明付(p.127);笠原『微分積分学』2.3[1]定理2.13:証明付(p.48);高木『解析概論』19.高階微分法(p.51);杉浦『解析入門』II§1命題1.5(p.88)


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定理：合成関数のn階導関数

【設定】　　　　
・f(x)：区間Iで定義されたxの関数　　
・g(y)：区間Jで定義されたyの関数　
・区間Iのfによる像f(I)は、区間Jに含まれているとする、
・g(f(x))：fとgの合成関数　

【本題】　　　　
　f(x)がIでn回微分可能、g(y)がJでn回微分可能ならば、
　　　つまり、　
　　　f(x)が区間Iで微分可能、g(y)が区間Jで微分可能、
　　　f(x)の導関数f ' (x)も区間Iで微分可能、g(y)の導関数g ' (y)も区間Jで微分可能、
　　　f(x)の第2次導関数f ( 2 )(x)も区間Iで微分可能、g(y)の第2次導関数g ( 2 )(y)も区間Jで微分可能、
　　　　：　　　
　　　f(x)の(n－1)階導関数f ( n－1 ) (x)も区間Iで微分可能、g(y)の(n－1)階導関数g ( n－1 ) (y)も区間Jで微分可能
　　　ならば、　
　合成関数g(f(x))はIでn回微分可能なxの関数であって、
　そのn次導関数(dn/dxn) g(f(x)) は、
　　　　　　f ' (x)、f '' (x)、…、f (n) (x)、g' (f(x))、g'' (f(x))、…、g (n) (f(x))
　の多項式として表される。

※合成関数の高階導関数は簡単な公式で表されない。

Cf,2変数関数の合成関数のn階導関数

【文献】小平『解析入門I』§3.4定理3.12:証明付(p.129);高木『解析概論』19.高階微分法(p.52)

定理：逆関数のn階導関数　


　逆関数の高階導関数は簡単な公式で表されない。　　

【文献】小平『解析入門I』§3.4定理3.13:証明付(p.130);高木『解析概論』19.高階微分法(p.52)
　

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定理：ベキ関数xkのn階導関数　

　　ベキ関数xk  ( k∈N) のn階導関数　　　
　　　　　n≦k のとき、　(dn/ dxn) x k = k (k－1)(k－2)…(k－n+1) x k－n　　　
　　　　　n＞k のとき、　(dn/ dxn) x k = 0　　　　
　　　　　　∵　1階微分公式　(x k ) ' = k x k-1 ( k∈N)　を繰り返す　
　　　x a ( x＞０、a∈R) のn階導関数　　　
　　　　　　　(dn/ dxn) x a = a (a－1)(a－2)…(a－n+1) x a－n　　
　　　　　　　∵　1階微分公式　(x a) ' =a x a-1( a∈R)　を繰り返す　

【文献】小平『解析入門I』§3.4-b(p.131)

定理：指数関数のn階導関数　　　

　　　指数関数のn階導関数(dn/ dxn) e x = e x　　∵　1階微分公式　(e x) ' = e x 　を繰り返す　　

【文献】小平『解析入門I』§3.4-b(p.131)

定理：対数関数のn階導関数

　　対数関数のn階導関数　指数関数n階導関数　　

証明：　
　　　　log xに1回目の微分を施すと、　
　　　　　　　(d/ dx) log x =x－１　　∵自然対数の微分　
　　　　となって、ベキ関数になる。
　　　　ベキ関数の高次微分の公式を用いて　
　　　　これに残り(n－１)回の微分を施すと、　
　　　　　　　(dn－１/ dxn－１) x－１ = (－１)n－１ (n－１) ! x－n　　
　　　　　　　　　∵ベキ関数の高次微分　(dn/ dxn) x a = a (a－1)(a－2)…(a－n+1) x a－n

　　　　　　　　　　で、nを(n－1)、αを(－1)とすればよい。
【文献】　小平『解析入門I』§3.4-b(p.131)


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（reference）

『岩波数学辞典（第三版）』. 項目333　微分法[pp.983-986]
吹田新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.41-43.
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、2.3高階導関数[1]n階導関数(pp.47-9)。
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.49-52.
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、pp.72-89.
神谷和也・浦井憲一『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.207-209.
高木貞治『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、19.高階微分法あ(pp.51-52).
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp.127-131。
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.47-52.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、II§1(pp.88-9). 　ただし、いきなり多次元。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.49-55..
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984.
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