実n次元数ベクトル空間の次元　　～　　数学についてのwebノート

・定理：数ベクトルの個数と、一次独立･従属の関係　　　　　
・定理：数ベクトルが基底となる十分条件,数ベクトルが基底とならない十分条件,一次独立なベクトルからの基底の生成、
・定理：数ベクトル空間の次元　

※実n次元数ベクトル空間関連ページ：実n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/基底/部分ベクトル空間　　　
※上位概念：一般のベクトル空間における次元の定義/数ベクトル空間一般における次元/実ベクトル空間における次元　　
※線形代数目次・総目次

定理：一次結合が一次従属となるための十分条件(1)：
　　　　　　　一次結合の個数・一次結合を構成するベクトルの個数と、一次従属

本題

実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlの一次結合を(l＋１)個つくる。
これら(l＋１)個の「v1, v2, …, vlの一次結合」は一次従属。
　

[文献]
永田
『理系のための線形代数の基礎』補題1.2.1(p.12);

※

詳細

定理：一次結合が一次従属となるための十分条件(2)：
　　　　　　　一次結合の個数・一次結合を構成するベクトルの個数と、一次従属

命題1

実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlの一次結合をm個つくる。
m>l ならば、m個の「v1, v2, …, vlの一次結合」は一次従属。

[文献]
永田
『理系のための線形代数の基礎』補題1.2.1(p.12);
佐武
『線形代数学』Ⅲ§1定理1系1(p.90);

命題2

上記命題の対偶：
実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlの一次結合をm個つくる。
m個の「v1, v2, …, vlの一次結合」が一次独立ならば、m≦l。

命題3

「実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlの一次結合」をl個つくる。
l個の「v1, v2, …, vlの一次結合」が一次独立ならば、
v1, v2, …, vlも一次独立であり、
v1, v2, …, vlはそれぞれ、
l個の「v1, v2, …, vlの一次結合」の一次結合として表せる。

※

詳細

→[トピック一覧：次元]
→線形代数目次・総目次

定理：数ベクトルの個数と、一次独立･従属の関係

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法
v1, v2, …, vm：m個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, mにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Rとして、vi=( vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vm ∈Ｒn 。
　　　　　　　なお、個数mが有限個であることに注意。

命題1

実n次元数ベクトルv1, v2, …, vmがm>n ならば、v1, v2, …, vmは一次従属。
　　（v1, v2, …, vmがm≦nならば、
　　　　v1, v2, …, vmは一次従属の場合もあれば一次独立の場合もある）　

[文献]
永田
『理系のための線形代数の基礎』定理1.2.2(p.13);
高橋
『経済学とファイナンスのための数学』定理A.1.2(pp.172-176);
佐武
『線形代数学』Ⅲ§1定理1系2(p.90);

命題2

上記命題の対偶として、次が得られる。
実n次元数ベクトルv1, v2, …, vmが一次独立ならば、v1, v2, …, vmはm≦n。
　　（v1, v2, …, vmが一次従属ならば、
　　　　v1, v2, …, vmはm>nの場合もあればm≦nの場合もある）　

図解


　　
　　Pの内側：n個より多い実n次元数ベクトル　
　　Pの外側：n個以下の実n次元数ベクトル　
　　Qの内側：一次従属な実n次元数ベクトル　
　　Qの外側：一次独立な実n次元数ベクトル　

証明

・実n次元数ベクトルはどれでも、
　Ｒnにおける単位ベクトルe1, e2, …, enの一次結合として表せる。（∵）　　　
　したがって、v1, v2, …, vmも、それぞれ、e1, e2, …, enの一次結合として表せる。…(1)
・Ｒnにおける単位ベクトルe1, e2, …, enの一次結合を、n個よりも多くつくると、
　　それらのの一次結合どおしは、一次従属。（∵）　　…(2)
・(1)(2)より、実n次元数ベクトルv1, v2, …, vmは、m>n ならば、一次従属。　

→[トピック一覧：次元]
→線形代数目次・総目次

定理：数ベクトルが基底となるための十分条件

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2, …, vn：n個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, nにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Rとして、vi=( vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vn ∈Ｒn 。
　　　　　　　なお、個数nが有限個であることに注意。　　
a1, a2, …, an ：スカラー。a1, a2, …, an ∈R　　

本題

実n次元数ベクトル空間Rnにおいては、
n個の一次独立な実n次元数ベクトルがそろえば、基底となる。
つまり、
v1, v2, …, vn∈Ｒn が一次独立ならば、v1, v2, …, vnは、Ｒn の基底である。

[文献]
永田
『理系のための線形代数の基礎』系1.2.3(p.13);

※

ポイントは、「n個」と一次独立。

※

なぜ？→証明　

定理：数ベクトルが基底とならないことの十分条件

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法　
v1, v2, …, vn：n個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, nにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Rとして、vi=( vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vn ∈Ｒn 。
　　　　　　　なお、個数nが有限個であることに注意。　

本題

実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl　の個数lがnより少ないならば、
　v1, v2, …, vlが一次従属の場合もあれば一次独立の場合もありえる。　
　もし、ここで、v1, v2, …, vlが一次独立だとしても
　v1, v2, …, vlは、l<nである限り、Ｒn の基底になりえない。　

[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.2.4(p.14);

※

なぜ？→証明　

→[トピック一覧：次元]
→線形代数目次・総目次

定理：一次独立なベクトルからの基底の生成　

舞台
設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
v1, v2, …, vl：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Rとして、vi=( vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Ｒn 。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　

本題

実n次元数ベクトル空間Rnにおいては、
一次独立な実n次元数ベクトルに、適当な単位ベクトルを補充することによって基底をつくることができる。　
つまり、
v1, v2, …, vl∈Ｒnが一次独立ならば、
ある単位ベクトルei(1), ei(2) ,…, ei(n－l)　が存在して、　　　　
v1, v2, …, vn, ei(1), ei(2) ,…, ei(n－l)は、Ｒnの基底となる。

[文献]
永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.2.4(p.14);

補足

（補足説明：ベクトルの個数と上記定理の関連）　
実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl　の個数lで、場合分けをする。
[case1]　l > n　　
　実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl　の個数lが、nより多いならば、
　　v1, v2, …, vlは、つねに一次従属であって、一次独立であることはありえない。（∵）　
　　だから、この場合に、上記定理の仮定「v1, v2, …, vl∈Ｒnが一次独立ならば」が成り立つことはない。
　　このケースでは、上記定理に出番はない。　
[case2]　l = n　　
　実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl　の個数lがnならば、
　　v1, v2, …, vl＝vnが一次従属の場合もあれば一次独立の場合もありえる。　
　　もし、ここで、上記定理の仮定が成り立ち、v1, v2, …, vl＝vnが一次独立ならば、（∵）　
　　v1, v2, …, vl＝vnは、すでに、Ｒnの基底である。（∵）　
　　だから、このケースでは、上記定理は自明なのであって、ありがた味がない。　　　
[case3]　l < n　　
　実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl　の個数lがnより少ないならば、
　v1, v2, …, vlが一次従属の場合もあれば一次独立の場合もありえる。　
　もし、ここで、上記定理の仮定が成り立ち、v1, v2, …, vlが一次独立だとしても
　v1, v2, …, vlは、Ｒnの基底になりえない。　　　
　一次独立な実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが、基底の定義を満たすには、
　v1, v2, …, vlの一次結合として、Ｒnに属す「任意の」実n次元数ベクトルを表すことができなければならないが、
　これは不可能である。
　v1, v2, …, vlの一次結合としては表し得ない実n次元数ベクトルがあることは、
　次の点について考えてみると判然とする。
　｜Ｒnの単位ベクトルは、いつでもn個ある。　
　｜また、Ｒnの単位ベクトルは、いつでも一次独立である。（∵）　　
　｜つまり、Ｒnには、一次独立なn個の実n次元数ベクトルが、単位ベクトルを実例として存在している。　
　｜ところが、　　
　｜l < nという設定下で、v1, v2, …, vlの一次結合をn個つくると、　
　｜このn個の「v1, v2, …, vlの一次結合」は一次従属にしかならない。（∵）
　｜「v1, v2, …, vlの一次結合」としてあらわしうる、一次独立なベクトルの個数は、l以下である。（∵）　　　
　｜したがって、　
　｜単位ベクトルを実例とする、一次独立なn個の実n次元数ベクトルを、　
　｜　　　　　　　　　　　「v1, v2, …, vlの一次結合」として表そうとしても、　
　｜表せない(n－l)個のベクトルが存在することになる。　　　
　したがって、実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl　の個数lがnより少ないケースにおいて、
　「一次独立な実n次元数ベクトルに、適当な単位ベクトルを補充することによって基底をつくることができる」
　とする上記定理は、意義をもつ。　

※

なぜ？→証明

→[トピック一覧：次元]
→線形代数目次・総目次

定理：実n次元数ベクトル空間Rnの次元　　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　

[文献]
永田
『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.13);1.3(p.23)
神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1.4(p.115)
佐和『回帰分析』2.1.2(p.18);

本題

実n次元数ベクトル空間Rnの基底は、
いつでもn個の実n次元数ベクトルからなる。
つまり、
実n次元数ベクトル空間Rnの次元は、n。
　dim Rn=n　

※

「(Vの次元)は、Vに含まれる一次独立なベクトルの最大個数であるとともに、Vを張るために必要なベクトルの最小個数でもある」(佐和『回帰分析』2.1.2(p.18);)

証明

l個の任意の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、以下のことが成り立つ。
　・l<nのケース（v1, v2, …, vlが一次独立であるケースも一次従属であるケースも含む）
　　　l個の任意の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlは、Ｒnの基底とならない。
　　　　　なぜなら、Ｒnの基底であるための条件P2を満たせないから。（∵）
　・l>nのケース
　　　l個の任意の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlは、Ｒnの基底とならない。
　　　　　　なぜなら、l>nならば、定理によって、v1, v2, …, vlは常に一次従属となって、
　　　　　　　　　　　Ｒnの基底であるための条件P1:一次独立を満たせないから。　
　・l=nのケース
　　・l個の任意の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが一次独立ならば、　　　
　　　v1, v2, …, vlは、Ｒnの基底となる。（∵）
　　・l個の任意の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが一次従属ならば、　　　
　　　v1, v2, …, vlは、Ｒnの基底とならない。（Ｒnの基底であるための条件P1:一次独立を満たせないから。）
要するに、
　(i)　l=nかつ「v1, v2, …, vlが一次独立」ならば、　
　　　　　　　　v1, v2, …, vlは、Ｒnの基底となる。　
　(ii)　「l=nかつ『v1, v2, …, vlが一次独立』」が成り立たないならば、
　　　すなわち、l≠nまたは「l=nかつ『v1, v2, …, vlが一次従属』」ならば、　　　　
　　　　　　　　v1, v2, …, vlは、Ｒnの基底とならない。　
(i)(ii)の条件は、あらゆる場合を尽くしており、また(i)(ii)の結論は同時に成り立たないので、　
転換法により、
l個の任意の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、
　(i)'　v1, v2, …, vlが、Ｒnの基底ならば、
　　　　l=nかつ「v1, v2, …, vlが一次独立」　
　(ii)'　v1, v2, …, vlが、Ｒnの基底とならないならば、　　　　　　　　　
　　　　l≠nまたは「l=nかつ『v1, v2, …, vlが一次従属』」　
といえる。　
「v1, v2, …, vlが、Ｒnの基底である」ことの定義には、「v1, v2, …, vlが一次独立」ということが含まれているから、
　(i)'は、　
　(i)''　v1, v2, …, vlが、Ｒnの基底ならば、l=n　
といってよい。
以上で、
実n次元数ベクトル空間Rnの基底は、どれもn個の実n次元数ベクトルからなることが示された。

→[トピック一覧：次元]
→線形代数目次・総目次

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、15講基底と次元(pp.94-99):有限次元ベクトル空間のみ扱っている。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-b(p.173).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22):数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、附録A.1ベクトルとベクトル空間(pp.172-176)。

　

→[トピック一覧：次元]
→線形代数目次・総目次