論理から集合へ　　

	【関連】 　・一項述語・1変数命題関数の真理集合/n項述語・n変数命題関数の真理集合　 【文献】 　・前原『数学基礎論入門』(p.77) 　・本橋『新しい論理序説』2.3問題4(p.31;p.35):変数ごとに。
	・中谷『論理』6.2(pp.137-8)

【定義】

【ざっくり】

　関係・条件Pの真理集合・外延　とは、

　関係・条件Pを満たすペアをすべてあつめた集合のこと。　


【きっちり】

　関係・条件Pの真理集合・外延とは、

　x,yに代入されることで、2項述語・2変数命題関数「x,yは関係Pにある」「x,yは条件Pを満たす」を真の命題にする対象のペアを

　すべてあつめた集合のこと。　
　
    
【かっちり】

　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数P(x,y)の真理集合・外延extensionとは、

　「『変項xの議論領域Xから選んだ対象』と『変項yの議論領域Yから選んだ対象』の順序対をすべてあつめた集合」X×Yから　

　　x,yに代入されると、P(x,y)を真にする順序対を、

　　すべてあつめた集合のこと。

   
【記法】

　・「変項xの議論領域X,変項yの議論領域Yにおける二項述語・２変数命題関数P(x,y)の真理集合」を、

　　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　

　　と表す。　　[中谷『論理』6.2(pp.137-8)]
　　　　　　
　・略して、「関係・条件Pの真理集合」　{ (x,y) | P(x,y) }　。

【解説】

　・「『変項xの議論領域Xから選んだ対象』と『変項yの議論領域Yから選んだ対象』のペアをすべてあつめた集合」X×Yから、
　　どのペアをとってきて変項x,yに代入するか
　　に応じて
　　二項述語・２変数命題関数P(x,y)が表す命題は、定まる[→述語・命題関数の定義]。

　・古典論理のなかで設定された命題は、
　　命題の真偽が、真か偽のいずれか一方に定まる（ように設定された）
　　[→古典論理-排中律]。

　・だから、
　　「『変項xの議論領域Xから選んだ対象』と『変項yの議論領域Yから選んだ対象』のペアをすべてあつめた集合」X×Yから、
　　どのペアをとってきて変項x,yに代入するか
　　に応じて、
　　二項述語・２変数命題関数P(x,y)は、
　　　《偽の命題》
　　　《真の命題》
　　のいずれか一方に定まる。

　・ということは、
　　x,yに代入されるペアは、
　　　type1:「x,yに代入されると、P(x,y)を《偽の命題》にする」ペア　　
　　　type2:「x,yに代入されると、P(x,y)を《真の命題》にする」ペア　　　
　　の二種類に分けられる。

　・もっというと、
　　x,yに代入するペアをとってくる「『変項xの議論領域Xから選んだ対象』と『変項yの議論領域Yから選んだ対象』のペアをすべてあつめた集合」X×Yには、
　　　type1:「x,yに代入されると、P(x,y)を《偽の命題》にする」ペア　
　　　type2:「x,yに代入されると、P(x,y)を《真の命題》にする」ペア　
　　の二種類のペアが属していることになる。
　
　・x,yに代入するペアをとってくる「『変項xの議論領域Xから選んだ対象』と『変項yの議論領域Yから選んだ対象』のペアをすべてあつめた集合」X×Yから、
　　　type1:「x,yに代入されると、P(x,y)を《偽の命題》にする」ペア　
　　をすべて排除して、
　　x,yに代入するペアをとってくる「『変項xの議論領域Xから選んだ対象』と『変項yの議論領域Yから選んだ対象』のペアをすべてあつめた集合」X×Yに属している
　　　type2:「x,yに代入されると、P(x,y)を《真の命題》にする」ペア　
　　のみをすべて集めてきた集合が、
　　二項述語・２変数命題関数P(x,y)の真理集合・外延　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　略して、　{ (x,y) | P(x,y) }　
　　に他ならない。

【一項述語・1変数命題関数の真理集合との関連】

※二項述語・２変数命題関数の真理集合の定義は、
　以下の手順にしたがって、　
　一項述語・1変数命題関数の真理集合の定義から得られる。
　だから、
　二項述語・２変数命題関数の真理集合の定義は、
　一項述語・1変数命題関数の真理集合の定義の枠内にある
　といえる。

　step1: 二項述語・２変数命題関数を一項述語・1変数命題関数で表現し直す。　　　　
　　　　　・P(x,y)の議論領域の直積X×Yを集合Ωで表し、
　　　　　　順序対(x,y)をζで表すことにする。
　　　　　・すると、
　　　　　　　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数P(x,y)は、
　　　　　　　集合Ωを議論領域とする一項述語・1変数命題関数Ψ(ζ)　
　　　　　　　と表現しなおせる。　　

　step2:　一項述語・1変数命題関数の真理集合をつくる。
　　　　　・集合Ωを議論領域とする一項述語・1変数命題関数Ψ(ζ)の真理集合をとる。
　　　　　・これは、　　{ ζ∈Ω| Ψ(ζ) }　　

　step3:　一項述語・1変数命題関数を二項述語・２変数命題関数に戻してみる。
　　　　・ΩとはX×Yを指す記号だった。
　　　　　ζとは(x,y)を指す記号だった。
　　　　　Ψ(ζ)とはP(x,y)を指す記号だった。
　　　　・このことから、
　　　　　「Ωを議論領域とするΨ(ζ)の真理集合」　　{ ζ∈Ω| Ψ(ζ) }　
　　　　　を、
　　　　　「X×Yを議論領域とするP(x,y)の真理集合」　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　
　　　　　に戻せる。

　　　　・よって、
　　　　　一項述語・1変数命題関数Ψ(ζ)の真理集合の定義に従った「X×Yを議論領域とする二項述語・２変数命題関数P(x,y)の真理集合」の定義
　　　　　　　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }
　　　　　が得られたことになる。　
　　　　　[この点は、自力]　　　　

	[文献]
	・中谷『論理』6.2(pp.138-9)

【定義】

【ざっくり】

　関係・条件Pのグラフとは、
　　「x,yは関係Pにある」「x,yは条件Pを満たす」の真理集合の外延的表現のこと。　　
　 
【きっちり】

　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数P(x,y)のグラフgraphとは、
  　P(x,y)の真理集合 { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } の外延的表現のこと。　　　

【具体例】

	【関連】 　・命題関数P(x)の集合表現 / n項述語・n変数命題関数の集合表現 　 【文献】
	・前原『数学基礎論入門』(p.77)

　(1) 以下の二表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。


　　【表現1：X,Yを議論領域とする述語・命題関数P(x,y)にa,bを代入してつくった命題P(a,b)】

　　　　　P(a,b)　 　　　　　　「a,bは関係Pにある」「a,bは条件Pを満たす」

　　【表現2】

　　　　　(a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　「(a,b)は《関係・条件Pを 満たすペアを全部あつめた集合》に属す」「(a,b)は《関係・条件Pの真理集合》に属す」

　

　　　【なぜ？】

　　　　　真理集合の定義より。
　
　　　
　(2) G＝{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }のとき（X×Yの部分集合Gの内包が関係・条件Pであると き）、
　　　以下の二表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　【表現1：X,Yを議論領域とする述語・命題関数P(x,y)にa,bを代入してつくった命題P(a,b)】

　　　　　P(a,b)　 　　　　　　「a,bは関係Pにある」「a,bは条件Pを満たす」

　　【表現2】
　　　　　　　　(a,b)∈G　　　　　　「(a,b)は集合Gに属す」「(a,b)は集合Gに属す」　

　　　【なぜ？】

　　　　　G＝{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }のときを考えるということで、(1)の{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) }をGに置き換えただけの話。

　(３) P(a,b)のグラフをGで表すとき、　　
　　以下の二表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　【表現1：X,Yを議論領域とする述語・命題関数P(x,y)にa,bを代入してつくった命題P(a,b)】

　　　　　P(a,b)　 　　　　　　「a,bは関係Pにある」「a,bは条件Pを満たす」

　　【表現2】

　　　　　(a,b)∈G　　　　　　「(a,b)は関係Pのグラフに属す」「(a,b)は条件Pのグラフに属す」　


　※活用例：¬P(a)⇔a { x∈Ω | P(x) }