論理から集合へ　　


【基本】
 
　命題関数P(x)の真理集合　
　命題関数P(x,y)の真理集合　　　
　命題関数P(x1,…,xn)の真理集合　　　
 　命題関数P(x)の集合表現　
　命題関数P(x,y)の集合表現　
　命題関数P(x1,…,xn)の集合表現　

【述語・命題関数を論理演算で組み合わせた述語・命題関数】

　命題関数　　¬P(x)の真理集合　　
　命題関数P(x)∧Q(x)の真理集合　
　命題関数P(x)∨Q(x)の真理集合　
　命題関数P(x)⇒Q(x)の真理集合
　命題関数P(x)⇔Q(x)の真理集合　　　		 　命題関数　　¬P(x)の集合表現　
　命題関数P(x)∧Q(x)の集合表現　
　命題関数P(x)∨Q(x)の集合表現　
　命題関数P(x)⇒Q(x)の集合表現　
　命題関数P(x)⇔Q(x)の集合表現　

【述語・命題関数の量化】


　　　　　命題関数の普遍量化 ∀x P(x)の集合表現 　
　　　　　命題関数の否定と量化
　　　　　　　　　全否定「∀x∈Ω ¬P(x)」 「¬ (∃x∈Ω P(x) )」の集合表現　
　　　　　　　　　部分否定の集合表現　
　　　　　述語・命題関数の普遍量化 ∀x (P(x)⇒Q(x))の集合表現　　
　　　　　述語・命題関数の普遍量化 ∀x (P(x)⇔Q(x))の集合表現　 　

【関連ページ】


　・集合/述語・命題関数　
　・集合から論理へ　

→集合論目次・総目次
　

定義：n項述語・n変数命題関数の真理集合・外延



【関連】
　・一項述語・1変数命題関数の真理集合
　・二項述語・2変数命題関数の真理集合

【文献】

　・本橋『新しい論理序説』2.3(pp.30-31)「これまでは一つの変数に関する条件しか考えなかったが、二つ以上の条件についても同様にその真理集合を考えることが出来る」

　・中谷『論理』6.2(p.139)「3変数以上の命題関数の真理集合とそれを外延化したグラフも同様に考えることが出来る」 　

【定義】


【ざっくり】

　n項間の関係・条件Pの真理集合・外延　とは、

　n項間の関係・条件Pを満たすn組をすべてあつめた集合のこと。　


【きっちり】

　n項間の関係・条件Pの真理集合・外延とは、

　x1, x2, …, xnに代入されることで、
　　　　 n変項命題関数・n項述語「x1, x2, …, xnは〜の関係にある」「x1, x2, …, xnは〜という条件を満たす」
　を真の命題にする対象n個の組を

　すべてあつめた集合のこと。　
　
    
【かっちり】

　変項x1の議論領域をX1 , 変項x2の議論領域をX2 , … ,  変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数P( x1 , x2, … , xn )の真理集合・外延extensionとは、

　「『変項x1の議論領域X1から選んだ対象』と『変項x2の議論領域をX2から選んだ対象』と…と 『変項xnの議論領域をXn から選んだ対象』の組をすべてあつめた集合」
　　　X1×X2×…×Xn　
　から　

　x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を真にする組を、

　すべてあつめた集合のこと。

   
【記法】

　・ 「 X1, X2, …, Xnを議論領域とするn変項命題関数・n項述語 P( x1 , x2, … , xn ) の真理集合 」 を、

　　　{ ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) }　

　　と表す。　　[中谷『論理』6.2(pp.137-8)]
　　　　　　
　・略して、「関係・条件Pの真理集合」　{ ( x1 , x2 , … , xn ) | P( x1 , x2, … , xn ) }　。


【解説】


　・「『変項x1の議論領域X1から選んだ対象』と『変項x2の議論領域をX2から選んだ対象』と…と 『変項xnの議論領域をXn から選んだ対象』の組をすべてあつめた集合」
　　　X1×X2×…×Xn　
　　から　
　　どの組をとってきて変項x1, x2, …, xnに代入するか
　　に応じて
　　n変項命題関数・n項述語 P( x1 , x2, … , xn ) が表す命題は、定まる[→述語・命題関数の定義]。

　・古典論理のなかで設定された命題は、
　　命題の真偽が、真か偽のいずれか一方に定まる（ように設定された）
　　[→古典論理-排中律]。

　・だから、
　　「『変項x1の議論領域X1から選んだ対象』と『変項x2の議論領域をX2から選んだ対象』と…と 『変項xnの議論領域をXn から選んだ対象』の組をすべてあつめた集合」
　　　X1×X2×…×Xn　
　　から　
　　どの組をとってきて変項x1, x2, …, xnに代入するか
　　に応じて、
　　n変項命題関数・n項述語 P( x1 , x2, … , xn )は、
　　　《偽の命題》
　　　《真の命題》
　　のいずれか一方に定まる。

　・ということは、
　　x1, x2, …, xnに代入される組は、
　　　type1:「x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を《偽の命題》にする」組　　
　　　type2:「x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を《真の命題》にする」組　　　
　　の二種類に分けられる。

　・もっというと、
　　x1, x2, …, xnに代入する組をとってくるX1×X2×…×Xnという集合には、
　　　type1:「x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を《偽の命題》にする」組　　
　　　type2:「x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を《真の命題》にする」組　
　　の二種類の組が属していることになる。
　
　・x1, x2, …, xnに代入する組をとってくるX1×X2×…×Xnという集合から、
　　　type1:「x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を《偽の命題》にする」組　　
　　をすべて排除して、
　　x1, x2, …, xnに代入する組をとってくるX1×X2×…×Xnという集合に属している　
　　　type2:「x1, x2, …, xnに代入されると、P( x1 , x2, … , xn )を《真の命題》にする」組　
　　のみをすべて集めてきた集合が、
　　n変項命題関数・n項述語 P( x1 , x2, … , xn )の真理集合・外延　{ ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) }　　略して、　{　{ ( x1 , x2 , … , xn ) | P( x1 , x2, … , xn ) }　　
　　に他ならない。


【一項述語・1変数命題関数の真理集合との関連】

※n変項命題関数・n項述語の真理集合の定義は、
　以下の手順にしたがって、　
　一項述語・1変数命題関数の真理集合の定義から得られる。
　だから、
　n変項命題関数・n項述語の真理集合の定義は、
　一項述語・1変数命題関数の真理集合の定義の枠内にある
　といえる。

　step1: n変項命題関数・n項述語を一項述語・1変数命題関数で表現し直す。　　　　
　　　　　・P(x1,x2,…,xn)の議論領域の直積X1×X2×…×Xnを集合Ωで表し、
　　　　　　n組(x1,x2,…,xn)をζで表すことにする。
　　　　　・すると、
　　　　　　　 X1, X2, …, Xnを議論領域とするn変項命題関数・n項述語 P( x1 , x2, … , xn ) は、
　　　　　　　集合Ωを議論領域とする一項述語・1変数命題関数Ψ(ζ)　
　　　　　　　と表現しなおせる。　　

　step2:　一項述語・1変数命題関数の真理集合をつくる。
　　　　　・集合Ωを議論領域とする一項述語・1変数命題関数Ψ(ζ)の真理集合をとる。
　　　　　・これは、　　{ ζ∈Ω| Ψ(ζ) }　　

　step3:　一項述語・1変数命題関数をn変項命題関数・n項述語に戻してみる。
　　　　・ΩとはX1×X2×…×Xnを指す記号だった。
　　　　　ζとは(x1,x2,…,xn)を指す記号だった。
　　　　　Ψ(ζ)とはP( x1 , x2, … , xn )を指す記号だった。
　　　　・このことから、
　　　　　「Ωを議論領域とするΨ(ζ)の真理集合」　　{ ζ∈Ω| Ψ(ζ) }　
　　　　　を、
　　　　　「X1×X2×…×Xnを議論領域とするP( x1 , x2, … , xn )の真理集合」　 { ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } 　
　　　　　に戻せる。

　　　　・よって、
　　　　　一項述語・1変数命題関数Ψ(ζ)の真理集合の定義に従った「X1×X2×…×Xnを議論領域とするn変項命題関数・n項述語P( x1 , x2, … , xn )の真理集合」の定義
　　　　　　　　 { ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } 　
　　　　　が得られたことになる。　
　　　　　[この点は、自力]　　　　


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定義：n項述語・n変数命題関数のグラフ



[文献]

　・中谷『論理』6.2(p.139)「3変数以上の命題関数の真理集合とそれを外延化したグラフも同様に考えることが出来る」 　

【定義】


【ざっくり】

　n項間の関係・条件Pのグラフとは、
　　「x1, x2, …, xnは〜という関係・条件を満たす」の真理集合の外延的表現のこと。　　
　 
【きっちり】

　変項x1の議論領域をX1 , 変項x2の議論領域をX2 , … ,  変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数P( x1 , x2, … , xn )のグラフgraphとは、
　P( x1 , x2, … , xn ) の真理集合 {  ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } の外延的表現のこと。　　　

【具体例】






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定義：集合の内包・意味

　文献調査中。
　「集合から論理へ」の枠内に入れる予定。
　直積X×Yの部分集合の内包、ということになるのか。
　外延的に表現された集合であるグラフにも、内包が存在する、とするといいのかな。グラフの内包。


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定義：n項述語・n変数命題関数の集合表現　



【関連】
　・命題関数P(x)の集合表現/2変項命題関数P(x,y)の集合表現　　　
【文献】

　・前原『数学基礎論入門』(p.78)「変数の個数が3以上の場合にも、公式5.7や公式5.8と同様な公式が成立する」　

　(1) 以下の二表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。


　　【表現1：】

　　　　　変項x1の議論領域をX1,変項x2の議論領域をX2,…,変項xnの議論領域をXnとするn項述語・n変数命題関数に、
　　　　　a1 , a2, … , anを代入してつくった命題　　　　　　　　　
　　　　　　P( a1 , a2, … , an )　 　　　「( a1 , a2 , … , an )は関係・条件Pを満たす」
　　　　　　

　　【表現2】

　　　　　( a1 , a2 , … , an )∈ {  ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } 　「( a1 , a2 , … , an )は《関係・条件Pを満たすn組を全部あつめた集合》に属す」「( a1 , a2 , … , an )は《関係・条件Pの真理集合》に属す」

　

　　　【なぜ？】

　　　　　真理集合の定義より。
　
　　　
　(2) G＝ {  ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } のとき（X1×X2×…×Xnの部分集合Gの内包が関係・条件Pであると き）、
　　　以下の二表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　【表現1】

　　　　　変項x1の議論領域をX1,変項x2の議論領域をX2,…,変項xnの議論領域をXnとするn項述語・n変数命題関数に、a1 , a2, … , anを代入してつくった命題　　　　　　　　　
　　　　　　P( a1 , a2, … , an )　 　　　「( a1 , a2 , … , an )は関係・条件Pを満たす」

　　【表現2】
　　　　　　　　( a1 , a2 , … , an )∈G　　　　　　「( a1 , a2 , … , an )は集合Gに属す」「( a1 , a2 , … , an )は集合Gに属す」　



　　　【なぜ？】

　　　　　G＝ {  ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } ののときを考えるということで、(1)の {  ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ X1×X2×…×Xn | P( x1 , x2, … , xn ) } のをGに置き換えただけの話。

　(３) P( a1 , a2, … , an )のグラフをGで表すとき、　　
　　以下の二表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　【表現1】

　　　　　変項x1の議論領域をX1,変項x2の議論領域をX2,…,変項xnの議論領域をXnとするn項述語・n変数命題関数に、a1 , a2, … , anを代入してつくった命題　　　　　　　　　
　　　　　　P( a1 , a2, … , an )　 　　　「( a1 , a2 , … , an )は関係・条件Pを満たす」

　　【表現2】

　　　　　　( a1 , a2 , … , an )∈G　　　「( a1 , a2 , … , an )は関係Pのグラフに属す」「( a1 , a2 , … , an )は条件Pのグラフに属す」　


　※活用例：¬P(a)⇔aの元ではない { x∈Ω | P(x) }　　　








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