体
field
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トピック一覧:体]
定義:可換体(体)、非可換体
※体の性質:加法、乗法、加法・乗法の関係
※関連ページ―代数系における諸概念:代数系、同型
※関連ページ−ほかの代数系:半群、群、環、順序環・順序体・順序同型写像
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代数系目次・総目次・参照文献
定義:
可換体・体 field ; Körper
[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録V§2(p.249);
ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
・可換体とは、さまざまな可換環のなかでも特に、加法の単位元「0」以外の元について乗法群をなすもの。
・可換体を体と呼ぶこともあれば、可換体と非可換体をあわせて体とよぶこともある。
・可換環、乗法群の語義に遡った定義は、以下の通り。
(設定)
X: 集合
x+y:X上の加法
xy :X上の乗法
X: 加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系。
※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(定義)
可換体(体)とは、
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
次の4条件を満たす代数系Xのことをいう。
条件A: 加群(加法について可換群)であること、
条件B: 乗法に関して可換半群であること
条件C: Xから加法の単位元を除いた集合X−{0}が、乗法群であること
(条件Bのもとで、条件Cが満たされると、X−{0}はアーベル群になる)
条件D: 「分配法則distributive law:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
加法・乗法が満たすこと。
(詳細な定義)
可換体(体)とは、
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
次の9条件を満たす代数系 Xのことをいう。
条件A-1: 加法が、「結合則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
条件A-2: 加法に「単位元0: ( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ x+0= x )を満たす0∈X」が存在する
条件A-3: Xのすべての元xに対して、
「加法に関する逆元−x:( ∀x∈X ) ( (−x)+x =0かつx+(−x)= 0 )を満たす(−x)∈X」
が存在する。
条件A-4: 加法が、「可換則:( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」を満たす
条件B-1: 乗法が、「結合則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
条件B-2: 乗法が、「可換則: ( ∀x,y∈X ) ( xy = yx ) 」を満たす
[条件C-1: 乗法が、「結合法則:( ∀x,y,z∈X−{0} ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす]
*条件C-1は条件B-1が満たされれば、自動的に満たされる
条件C-2: 乗法に「単位元1: ( ∀x∈X−{0} ) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1∈X」が存在する
条件C-3: x∈X−{0} に対して、
「乗法に関する逆元 x-1:( ∀x∈X ) ( x-1x =1かつxx-1=1 )を満たすx-1∈X」
が存在する。
*条件C-1~C-3は集合X−{0}が乗法群であることの要求となっているが、
これに条件B-2を加えると、集合X−{0}がアーベル群であることの要求となる。
条件D: 「分配則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
加法・乗法が満たすこと
※下位概念:順序体、実数体、
※活用例:ベクトル空間の定義、数ベクトルの定義、
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定義:
非可換体
[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37) ]
・非可換体とは、可換環とはならないさまざまな環のなかで、
加法の単位元「0」以外の元について乗法群をなすもの。
・環、乗法群の語義に遡った定義は、以下の通り。
(設定)
X: 集合
x+y:X上の加法
xy :X上の乗法
X: 加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系。
※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(定義)
非可換体とは、
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
次の4条件を満たす代数系Xのことをいう。
条件A: 加群(加法について可換群)であること、
条件B: 乗法に関して半群であるが、乗法に関して可換半群ではないこと
条件C: Xから加法の単位元を除いた集合X−{0}が、乗法群であること
条件D: 「分配法則distributive law:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
加法・乗法が満たすこと。
(詳細な定義)
非可換体とは、
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
次の9条件を満たす代数系 Xのことをいう。
条件A-1: 加法が、「結合則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
条件A-2: 加法に「単位元0: ( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ x+0= x )を満たす0∈X」が存在する
条件A-3: Xのすべての元xに対して、加法に関する逆元−xが存在する
条件A-4: 加法が、「可換則:( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」を満たす
条件B-1: 乗法が、「結合則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
条件B-2: 乗法が、「可換則: ( ∀x,y∈X ) ( xy = yx ) 」を満たさない
[条件C-1: 乗法が、「結合法則:( ∀x,y,z∈X−{0} ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす]
*条件C-1は条件B-1が満たされれば、自動的に満たされる
条件C-2: 乗法に「単位元1: ( ∀x∈X−{0} ) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1∈X」が存在する
条件C-3: x∈X−{0} に対して、乗法に関する逆元 x-1が存在する。
条件D: 「分配則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
加法・乗法が満たすこと
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Reference
日本数学会編集『
岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56環 (pp. 153-6), 項目104群(p.281);項目229.体 (p.643).
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-39)
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、附録V§2体の公理(p.249)。
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、2章2.1節半群A.二項演算。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)。
志賀浩二『群論への30講』朝倉書店、1989年、第3講群の定義、pp.16-18。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。 1章§1.1体。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p. 57.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.1-2.
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