field

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 定義:可換体(体)非可換体  
体の性質:加法乗法加法・乗法の関係  
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関連ページ−ほかの代数系:半群順序環・順序体・順序同型写像 

代数系目次総目次参照文献

定義: 可換体・体 field ; Körper 
    
[本部『新しい代数4.1B(p.83);岩波数学辞典』項目229A(p.643);
    斉藤『数学の基礎:集合・数・位相2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録V§2(p.249);
    ホフマン『線形代数学I 1章§1.1(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎1.9(p.45);
    
神谷・浦井『経済学のための数学入門2.1.1(p. 57)]
可換体とは、さまざまな可換環のなかでも特に、加法の単位元「0」以外の元について乗法群をなすもの。
可換体を体と呼ぶこともあれば、可換体と非可換体をあわせて体とよぶこともある。
可換環乗法群の語義に遡った定義は、以下の通り。
(設定)
X: 集合
x+yX上の加法 
xy X上の乗法 
X:  加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系
  ※
代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。  
(定義)
可換体()とは、
 
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
 次の
4条件を満たす代数系Xのことをいう。
  条件
A: 加群(加法について可換群)であること、
  条件
B: 乗法に関して可換半群であること
  条件
C: Xから加法の単位元を除いた集合X−{0}が、乗法群であること
     
(条件Bのもとで、条件Cが満たされると、X−{0}はアーベル群になる)
  条件D: 「分配法則distributive law( x,y,zX ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
          
加法乗法が満たすこと。 
(詳細な定義) 
可換体
()とは、
 
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
 次の
9条件を満たす代数系 Xのことをいう。
  条件
A-1: 加法が、「結合則:( x,y,zX ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
  条件
A-2: 加法に「単位元0: ( xX ) ( 0+x = x かつ x+0= x )を満たす0X」が存在する
  条件
A-3: Xのすべてのxに対して、
         「
加法に関する逆元x( xX ) ( (x)+x =0かつx+(x)= 0 )を満たす(x)X
        が存在する。
  条件
A-4: 加法が、「可換則:( x,yX ) ( x+y = y+x )」を満たす
  条件
B-1: 乗法が、「結合則:( x,y,zX ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
  条件
B-2: 乗法が、「可換則: ( x,yX ) ( xy = yx ) 」を満たす
  
[条件C-1: 乗法が、「結合法則:( x,y,zX−{0} ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす]
        *条件C-1は条件B-1が満たされれば、自動的に満たされる
  条件C-2: 乗法に「単位元1: ( xX−{0} ) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1X」が存在する
  条件C
-3: xX−{0} に対して、
         「
乗法に関する逆元 x-1( xX ) ( x-1x =1かつxx-1=1 )を満たすx-1X
        が存在する。   
        *条件
C-1~C-3は集合X−{0}が乗法群であることの要求となっているが、
         これに条件
B-2を加えると、集合X−{0}がアーベル群であることの要求となる。
  条件
D: 「分配則:( x,y,zX ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
        
加法乗法が満たすこと
下位概念:順序体実数体、 
活用例:ベクトル空間の定義数ベクトルの定義、  

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定義:非可換体 
    
[本部『新しい代数4.1B(p.83);岩波数学辞典』項目229A(p.643);
    斉藤『数学の基礎:集合・数・位相2章§1定義2.1.8 (p.37) ]
非可換体とは、可換環とはならないさまざまなのなかで、
 加法の単位元「
0」以外の元について乗法群をなすもの。
乗法群の語義に遡った定義は、以下の通り。
(設定)
X: 集合
x+yX上の加法 
xy X上の乗法 
X:  加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系
  ※
代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。  
(定義)
非可換体とは、
 
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
 次の
4条件を満たす代数系Xのことをいう。
  条件
A: 加群(加法について可換群)であること、
  条件
B: 乗法に関して半群であるが、乗法に関して可換半群ではないこと
  条件
C: Xから加法の単位元を除いた集合X−{0}が、乗法群であること
  条件D: 「分配法則distributive law( x,y,zX ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
          
加法乗法が満たすこと。 
(詳細な定義) 
非可換体
とは、
 
加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
 次の
9条件を満たす代数系 Xのことをいう。
  条件
A-1: 加法が、「結合則:( x,y,zX ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
  条件
A-2: 加法に「単位元0: ( xX ) ( 0+x = x かつ x+0= x )を満たす0X」が存在する
  条件
A-3: Xのすべてのxに対して、加法に関する逆元xが存在する 
  条件
A-4: 加法が、「可換則:( x,yX ) ( x+y = y+x )」を満たす
  条件
B-1: 乗法が、「結合則:( x,y,zX ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
  条件
B-2: 乗法が、「可換則: ( x,yX ) ( xy = yx ) 」を満たさない
  
[条件C-1: 乗法が、「結合法則:( x,y,zX−{0} ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす]
        *条件C-1は条件B-1が満たされれば、自動的に満たされる
  条件C-2: 乗法に「単位元1: ( xX−{0} ) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1X」が存在する
  条件C
-3: xX−{0} に対して、乗法に関する逆元 x-1が存在する。 
  条件
D: 「分配則:( x,y,zX ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
        
加法乗法が満たすこと

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Reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(3) 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56 (pp. 153-6), 項目104(p.281);項目229. (p.643).
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-39)
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、附録V§2体の公理(p.249)
本部均『新しい数学へのアプローチ
5:新しい代数』共立出版、1969年、22.1節半群A.二項演算。
酒井文雄『共立講座
21世紀の数学8環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)
志賀浩二『
群論への30』朝倉書店、1989年、第3講群の定義、pp.16-18
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I』培風館、1976年。 1章§1.1体。 
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p. 57.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.1-2.

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