群group

[トピック一覧：群]
定義：群･乗法群、加法に関する群･加法群、可換群･アーベル群、加法に関する可換群･加法群･加群　

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定義：群group、乗法群multiplicative group　　
　　　　[本部『新しい代数』3.1節A(p.33);『岩波数学辞典』項目104群A(p.281);
　　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);斎藤『線形代数入門』附録�V§1(p248);
　　　　　本橋『新しい論理序説』5章問題8 (p.99;109);　]
・群・乗法群とは、すべての元xが逆元をもつ単位元つき半群のことである。
・半群、単位元、逆元の語義に遡った説明は、以下のとおり。
（設定）
X:　集合
xy：X上の乗法　
X:　集合X に乗法xyを定めてつくった代数系。
　　※代数系を、X ではなく(X , xy )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
群・乗法群とは、
　集合X に乗法を定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の3条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　条件1：　乗法が、「結合法則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす、
　　条件2：　乗法に「単位元：　( ∀x∈X ) ( ex = x かつ xe = x )を満たすe∈X」が存在する
　　条件3：　Xのすべての元xに対して、乗法に関する逆元 x^-1が存在する。　
※乗法群ではない例：
　・いわゆる「掛け算」を乗法として自然数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]　　
　・いわゆる「掛け算」を乗法として整数の集合にさだめてつくった代数系　　　　　[本部『新しい代数』2.1節C(p.26);]
　・∩を乗法として、ベキ集合に定めてできた代数系　　　　[本部『新しい代数』2.1節C例4(p.27);]
※乗法群である例：
　・「掛け算」を乗法と定義した有理数、実数体、n次一般線形変換群　　

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定義：加法に関する群、加法群additive group　
　　[『岩波数学辞典』項目104群A(p.281); 斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);
　　　　酒井『環と体の理論』1.2節いろいろな代数系(p.4)]
・加法に関する群、加法群とは、すべての元xが逆元をもつ加法に関する単位元つき半群のことである。

　　　　　※斎藤は、この、加法に関する群を加法群と呼ぶが、
　　　　　　岩波数学辞典、本部などは、加法に関する群を加法群とは呼ばず、
　　　　　　加法に関する可換群に加法群なる名称を割り当てている。

・加法半群、加法に関する単位元0、加法の逆元の語義に遡った説明は、以下のとおり。
（設定）
X:　集合
x+y：X上の加法　
X:　集合X に加法x+yを定めてつくった代数系。
　　※代数系を、X ではなく(X , + )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
加法に関する群、加法群とは、
　集合X に加法を定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の3条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　条件1：　加法が、「結合法則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす、
　　条件2：　加法に「単位元0：　( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ 0+e = x )を満たす0∈X」が存在する
　　条件3：　Xのすべての元xに対して、加法に関する逆元−xが存在する。　
※加法群ではない例：
　・いわゆる「足し算」を加法として自然数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系
　　(1の逆元は、自然数のなかには存在しない)　　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]　　
※加法群である例：
　・いわゆる「足し算」を加法として整数の集合にさだめてつくった代数系
　　　　　　　　　　　　　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
　・「足し算」を加法と定義した有理数、実数　　
　

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定義：可換群 commutative group ・アーベル群 Abelian group 　
　　[『岩波数学辞典』項目104群A(p.281);項目7アーベル群A(p.10); 本部『新しい代数』3.1節A(p.34);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);斎藤『線形代数入門』附録�V§1(p248)]
・可換群・アーベル群とは、さまざまな群 Xのなかでもとくに、乗法xyが、
　　　　　　　可換則：( ∀x,y∈X ) ( xy = yx )　
　を満たす群Xのことをいう。
・群の定義まで遡った説明は、以下のとおり。
（設定）
X:　集合
xy：X上の乗法　
X:　集合X に乗法xyを定めてつくった代数系。
　　※代数系を、X ではなく(X , xy )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
可換群・アーベル群とは、
　集合X に乗法を定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の4条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　条件1：　乗法が、「結合法則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす、
　　条件2：　乗法に「単位元：　( ∀x∈X ) ( ex = x かつ xe = x )を満たすe∈X」が存在する
　　条件3：　Xのすべての元xに対して、乗法に関する逆元 x^-1が存在する。　
　　条件4：　乗法xyが、「可換則：( ∀x,y∈X ) ( xy = yx )」を満たす。　　
※可換群・アーベル群ではない例：
　・いわゆる「掛け算」を乗法として自然数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]　　
　・いわゆる「掛け算」を乗法として整数の集合にさだめてつくった代数系　　　　　[本部『新しい代数』2.1節C(p.26);]
※可換群・アーベル群である例：
　・「掛け算」を乗法と定義した有理数、実数体　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]　　

定義：加法に関する可換群・加法群・加群 additive group, module　
　　[『岩波数学辞典』項目49加群 (p.136);項目104群A(p.281);斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);本部『新しい代数』3.1節B(p.36);]
・加法群・加群とは、加法に関する群のなかでもとくに、
　　　　加法x+yが、「可換則：( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」　
　を満たす加法に関する群のこと。

　　　　　※斎藤は、加法に関する群を加法群と呼ぶが、
　　　　　　岩波数学辞典、本部などは、加法に関する群を加法群とは呼ばず、
　　　　　　加法に関する可換群のみを加法群と呼んでいる。

・加法に関する群の語義に遡った説明は、以下のとおり。
（設定）
X:　集合
x+y：X上の加法　
X:　集合X に加法x+yを定めてつくった代数系。
　　※代数系を、X ではなく(X , + )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
加法群・加群とは、
　集合X に加法を定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の4条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　　条件1：　加法が、「結合法則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす、
　　　条件2：　加法に「単位元0：　( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ 0+x = x )を満たす0∈X」が存在する
　　　条件3：　Xのすべての元xに対して、加法に関する逆元−xが存在する。
　　　条件4：　加法が、「可換則：( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」を満たす
※加法群ではない例：
　・いわゆる「足し算」を加法として自然数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]　　(1の逆元は、自然数のなかには存在しない)
※加法群である例：
　・線形空間・ベクトル空間　

　・いわゆる「足し算」を加法として整数の集合にさだめてつくった代数系 [斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
　・「足し算」を乗法と定義した有理数、実数体、　　

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日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56環 (pp. 153-6), 項目104群(p.281);項目229.体 (p.643).
本橋信義『新しい論理序説』(森毅・斎藤正彦・野崎昭弘編集『すうがくぶっくす』16巻) 朝倉書店、1997年、5章問題8 (p.99;109);。
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、2章2.1節半群A.二項演算。
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-36)
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、附録�V§1群の公理(p.248)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)。
志賀浩二『群論への30講』朝倉書店、1989年、第3講群の定義、pp.16-18。

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