半群
semi-group
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トピック一覧:半群]
・半群、加法半群、可換半群、加法に関して可換半群
・乗法に関して:左単位元・右単位元・単位元、単位元の唯一性、単位元つき半群・単位的半群・モノイド
・乗法に関して:逆元、逆元の唯一性
・加法に関して:左単位元・右単位元・単位元、単位元の唯一性、単位元つき半群・単位的半群・モノイド
・加法に関して:逆元、逆元の唯一性
※関連ページ―代数系における諸概念:代数系、同型
※関連ページ−ほかの代数系:群、環、体、順序環・順序体・順序同型写像
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定義:
半群semi-group
[本部『新しい代数』2.1節(p.23); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);
『岩波数学辞典』項目121構造A構造2)算法(p.326);項目104P;]
(設定)
X: 集合
xy:X上の乗法
X: 集合X に乗法xyを定めてつくった代数系。
※代数系を、X ではなく(X , xy )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(本題)
半群とは、
集合X に乗法xyを定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
乗法xyが、結合法則 ( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )
を満たす代数系 Xのことをいう。
※具体例:
・いわゆる「掛け算」を乗法として自然数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系 [斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
・いわゆる「掛け算」を乗法として整数の集合にさだめてつくった代数系 [本部『新しい代数』2.1節C(p.26);]
・∩を乗法として、ベキ集合に定めてできた代数系 [本部『新しい代数』2.1節C例4(p.27);]
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定義:
加法半群
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);]
(設定)
X: 集合
x+y:X上の加法
X: 集合X に加法x+yを定めてつくった代数系。
※代数系を、X ではなく(X , + )というペアで表したほうが、たぶん正確。でも慣例に従う。
(本題)
・加法半群とは、
集合X に加法x+yを定義してつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
加法 x+yが、結合法則 ( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )
を満たす代数系Xのことをいう。
※具体例:
・いわゆる「足し算」を加法として自然数の集合(0を含)にさだめてつくった代数系 [斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
・いわゆる「足し算」を加法として整数の集合にさだめてつくった代数系 [本部『新しい代数』2.1節C(p.26);]
・∪を加法として、ベキ集合に定めてできた代数系 [本部『新しい代数』2.1節C例4(p.27);]
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定義:
可換半群
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);『岩波数学辞典』項目121C代数系(p.327);]
(設定)
X: 集合
xy:X上の乗法
X: 集合X に乗法xyを定めてつくった代数系。
※代数系を、X ではなく(X , xy )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(本題)
・可換半群とは、半群のなかでもとくに、
乗法xyが、 ( ∀x,y∈X ) ( xy = yx )
を満たす半群のことをいう。
・詳しく言えば、
可換半群とは、
集合X に乗法xyを定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
次の2条件を満たす代数系 Xのことをいう。
条件1: 乗法xyが、「結合法則associative law:( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす
条件2: 乗法xyが、「可換法則commutative law: ( ∀x,y∈X ) ( xy = yx ) 」を満たす
※具体例:
・いわゆる「掛け算」を乗法として自然数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系 [斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
・いわゆる「掛け算」を乗法として整数の集合(0を除く)にさだめてつくった代数系 [斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
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定義:
加法に関して可換半群
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36)]
(設定)
X: 集合
x+y:X上の加法
X: 集合X に加法x+yを定めてつくった代数系。
※代数系を、X ではなく(X , + )というペアで表したほうが、たぶん正確。でも慣例に従う。
(本題)
・加法に関して可換半群とは、加法半群のなかでもとくに、
加法x+yが、 ( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )
を満たす加法半群のことをいう。
・詳しく言えば、
加法に関して可換半群とは、
集合X に加法x+yを定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
次の2条件を満たす代数系 Xのことをいう。
条件1:加法x+yが、「結合法則associative law:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
条件2:加法x+yが、「可換法則commutative law:( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x ) 」を満たす
※具体例:
・いわゆる「足し算」を加法として自然数の集合(0を含)にさだめてつくった代数系 [斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2.1.5 (p.36)]
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定義:
乗法の左単位元・右単位元・単位元unit element, neutral element,identity element、
[本部『新しい代数』2.1節C(p.26);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);
『岩波数学辞典』項目121C代数系(p.327);]
(設定)
X: 集合
xy:X上の乗法
X: 集合X に乗法xyを定めてつくった代数系で、特に、半群であるとする。
※代数系を、X ではなく(X , xy )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(本題)
・半群Xの乗法の左単位元とは、
( ∀x∈X ) ( ex = x )
を満たすe∈Xのことをいう。
・半群Xの乗法の右単位元とは、
( ∀x∈X ) ( xe = x )
を満たすe∈Xのことをいう。
・半群Xの乗法の単位元とは、
( ∀x∈X ) ( ex = xかつ xe = x )
を満たすe∈Xのことをいう。
(記法)
・乗法の単位元は、ふつう、「 e 」または「 1 」と表す。
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定理:
乗法の単位元の唯一性
[本部『新しい代数』2.1節定理2.1(p.27);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39);]
・半群Xに左単位元と右単位元が存在するならば、両者は一致し、単位元となる。
・半群Xに単位元があるならば、それはただ一つである。
(証明)
本部『新しい代数』2.1節定理2.1(p.27);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39);
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定義:
単位元つき半群・単位的半群unitary semigroup、モノイドmonoid
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);『岩波数学辞典』項目121C代数系(p.327);]
単位元つき半群・単位的半群とは、さまざまな半群のなかで特に、単位元をもつ半群のことをいう。
半群、単位元の語義に遡った説明は、以下のとおり。
(設定)
X: 集合
xy:X上の乗法
X: 集合X に乗法xyを定めてつくった代数系。
※代数系を、X ではなく(X , xy )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(本題)
単位元つき半群・単位的半群とは、
集合X に乗法を定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
次の2条件を満たす代数系 Xのことをいう。
条件1: 乗法が、「結合法則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )」を満たす、
条件2: 乗法に「単位元: ( ∀x∈X ) ( ex = xかつ xe = x )を満たすe∈X」が存在する
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定義:
乗法の逆元inverse element
[本部『新しい代数』2.1節C(p.27);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);
『岩波数学辞典』項目104群A(p.281)]
(設定)
X: 単位元つき半群
e: 単位元つき半群Xの単位元
(本題)
単位元つき半群Xの元xの逆元とは、
x' x =x x' =e
を満たすx'のこと。
(記法)
x ∈Xの逆元を、x-1で表す。
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定理:
乗法の逆元の唯一性
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39);]
・単位元つき半群Xのある元xに逆元 x-1があるならば、それはただ一つである。
(証明)
斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39)その略解(p.249);
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定義:
加法の左単位元・右単位元・単位元unit element, neutral element,identity element、
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36); 『岩波数学辞典』項目104群A (p.281);]
(設定)
X: 集合
x+y:X上の加法
X: 集合X に加法x+yを定めてつくった代数系で、特に、加法半群であるとする。
※代数系を、X ではなく(X , + )というペアで表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。
(本題)
・加法半群Xの加法の左単位元とは、
( ∀x∈X ) ( e+x = x )
を満たすe∈Xのことをいう。
・加法半群Xの加法の右単位元とは、
( ∀x∈X ) ( x+e = x )
を満たすe∈Xのことをいう。
・加法半群Xの加法の単位元とは、
( ∀x∈X ) ( e+x = xかつ x+e = x )
を満たすe∈Xのことをいう。
(記号)
・加法半群Xの加法の単位元eを、「0」で表す。
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定理:
加法の単位元の唯一性
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39);]
・加法半群Xに単位元0があるならば、それはただ一つである。
(証明)
本部『新しい代数』2.1節定理2.1(p.27);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39);
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定義:
加法に関する単位元つき半群・単位的半群unitary semigroup
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36);『岩波数学辞典』項目121C代数系(p.327);]
加法に関する単位元つき半群・単位的半群とは、さまざまな加法半群のなかで特に、単位元0をもつ加法半群のことをいう。
加法半群、単位元の語義に遡った説明は、以下のとおり。
(設定)
X: 集合
x+y:X上の加法
X: 集合X に加法x+yを定めてつくった代数系。
※代数系を、X ではなく(X , + )というペアで表したほうが、たぶん正確。でも慣例に従う。
(本題)
加法に関する単位元つき半群・単位的半群とは、
集合X に加法を定義してつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
次の2条件を満たす代数系 Xのことをいう。
条件1: 加法が、「結合法則:( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) ) 」を満たす、
条件2: 加法に「単位元: ( ∀x∈X ) ( e+x = xかつ x+e = x )を満たすe∈X 」が存在する
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定義:
加法の逆元inverse element
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1定義2.1.3 (p.36); 『岩波数学辞典』項目104群A(p.281)]
(設定)
X: 加法に関する単位元つき半群
0: 加法に関する単位元つき半群Xの単位元
(本題)
加法に関する単位元つき半群Xの元xの逆元とは、
x' +x =x +x' =0
を満たすx'のこと。
(記法)
x ∈Xの逆元を、−xで表す。
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定理:
加法の逆元の唯一性
[斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39);]
加法に関する単位元つき半群Xのある元xに逆元 −xがあるならば、それはただ一つである。
(証明)
斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』2章§1問題1(p.39)その略解(p.249);
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Reference
日本数学会編集『
岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56環 (pp. 153-6), 項目104群(p.281);項目229.体 (p.643).
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、2章2.1節半群A.二項演算。
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-36)
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)。
志賀浩二『群論への30講』朝倉書店、1989年、第3講群の定義、pp.16-18。
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