区間縮小法の原理　：　トピック一覧


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→参考文献・総目次


定理：区間縮小法の原理 nested interval theorem

　


　




→「区間縮小法の原理」その1-内容
→「区間縮小法の原理」その2-内容
→定理の証明：
　・「有界単調増加列の収束定理」⇒「区間縮小法」
→実数体における「区間縮小法の原理」の位置づけ
　・
　・「アルキメデス」＋「区間縮小法」⇒「デデキント」
　・「アルキメデス」＋「区間縮小法」⇒「Bs-W」









「区間縮小法の原理」その１−内容

【表現1：有界閉区間列の概念を用いて】


・有界閉区間の集合列I1,I2,I3,…が
　　　単調減少列（どの有界閉区間も、後続有界閉区間を含む）
　ならば、
　有界閉区間の集合列I1,I2,I3,…の共通部分に属す実数が存在する。　　　　　　

・つまり、
　有界閉区間の集合列I1,I2,I3,…について、
　　「I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃…⊃  In ⊃ …」⇒「I1∩I2∩I3∩…∩In∩…≠φ」

・簡潔に書くと、
　有界閉区間の集合列I1,I2,I3,…について、

∞
　　　　(∀i∈N) （Ii ⊃ Ii+1）　 ⇒　 ∩ Ii≠φ

i=1
 
　　　　　　　[神谷浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.5(p.75)]


[文献]
　・杉浦『解析入門I』定理3.3(pp.20-21):「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明
　・志賀『解析入門30講』第2講(pp.13-14):証明付　
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.11と系(pp.13-4):証明付。

[文献A-1]
　・加藤『微分積分学原論』定理2.1区間縮小法の原理(pp.24-25)：「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」;
　　　　　　　　　　　　定理3.4(p.27)「『アルキメデスの 公理＋区間縮小法』⇒デデキントの公理」 の証明：
　・黒田『微分積分学』定理2.15;注意2.12(p.59):「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明
　・『岩波数学辞典』156B-4(pp.417-418):principle of successive divisionとあるがgoogle,wikipediaでhitしないんだけど…;
　・赤『実数論講義』§5.5(pp.131-1３2):区間縮小法の原理の説明。「有界単調増加数列の収束定理⇒区間縮小法」の証明。
　　　　　　　　　　§5.6公理65(pp.144-5):区間縮小法の原理の補足説明。
　　　　　　　　　　§5.6(pp.134-142):「アルキメデスの公理＋区間縮小法」⇒デデキントの公理の証明
　・小平『解析入門I』定理1.24 (p.46):「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明
[文献A-2]
　・高木『解析概論』定理7(pp.10-11): 有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法⇒デデキントの公理を主張
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.5(pp.9-11)有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法⇒デデキントの公理を主張

[文献B]
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.5(p.75)「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定2章§5問題5(p.64)

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』2.3.13(p.57):実数の連続性公理の同値命題の列挙。証明なし。nested intervalの明記。





 


　


【表現2:有界閉区間列の概念を書き下して】


・有界閉区間列　[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3],…,[an,bn],…　（a1,a2,a3,…, b1,b2,b3,…は実数）について、
　　　「[a1,b1] ⊃[a2,b2]⊃[a3,b3]⊃…⊃[an, bn]⊃…」　⇒　 「[a1,b1]∩[a2,b2]∩[a3,b3]∩…∩[an, bn]∩…≠φ」

・簡潔に書くと、
　　[ ai , bi ]　（iは自然数、ai , bi は実数）について、

∞
　　　　(∀i∈N) （[ ai , bi ] ⊃ [ ai+1, bi+1 ]）　 ⇒　 ∩ [ ai , bi ]≠φ

i=1



【有界閉区間列の概念を用いずに】


・実数列 a1,a2,a3,…、 実数列 b1,b2,b3,…について、
　　　・実数列 a1,a2,a3,…は広義単調増加列、つまり、 a1≦a2≦a3≦…
　　　かつ
　　　・実数列 b1,b2,b3,…は広義単調減少列、つまり、 b1≧b2≧b3≧…
　　　かつ
　　　・任意の自然数iについて、ai <  bi  、　　つまり、　a1<b1, a2<b2, a3<b3,…　　
　が満たされるならば、　
　　「任意の自然数iについて、ai ≦ c≦ bi  」を満たす実数cが存在する。


　
「区間縮小法の原理」その2−内容


【有界閉区間列の概念を用いて】


・有界閉区間の集合列I1,I2,I3,…が
　　　単調減少列（すなわち、各有界閉区間が、それに後続する有界閉区間を含む）
　　　かつ　
　　　有界閉区間列I1,I2,I3,…の極限において、有界閉区間の幅が０に収束する　　　　
　ならば、
　有界閉区間の集合列I1,I2,I3,…の共通部分は、ただ一つの実数が属す一元集合となる。

・つまり、
　　　「『[a1,b1] ⊃ [a2,b2] ⊃ [a3,b3] ⊃…⊃ [an, bn] ⊃ …』　かつ　『( bi − ai )→0 (i→∞)』」⇒「『[a1,b1]∩[a2,b2]∩[a3,b3]∩…∩[an, bn]∩…＝{ c }』となって、 ai→c (i→∞)  , bi→c (i→∞)」
　簡潔に書くと、

 ∞
　　 (∀i∈N) （[ ai , bi ] ⊃ [ ai+1, bi+1 ]）　かつ　( bi − ai )→0 (i→∞)　⇒　 ∩ [ ai , bi ]＝{ c }， ai→c (i→∞)  , bi→c (i→∞)　　 

i=1

・区間縮小法とは、上記の定理による、有界閉区間列I1,I2,I3,…の共通部分に属す「1個の実数」の確定のこと。

【有界閉区間列の概念を用いずに】


・実数列 a1,a2,a3,…、 実数列 b1,b2,b3,…について、
　　　・実数列 a1,a2,a3,…は広義単調増加列、つまり、 a1≦a2≦a3≦…
　　　かつ
　　　・実数列 b1,b2,b3,…は広義単調減少列、つまり、 b1≧b2≧b3≧…
　　　かつ
　　　・任意の自然数iについて、ai <  bi  、　　つまり、　a1<b1, a2<b2, a3<b3,…　　
　　　かつ　　　　
　　　・　( bi − ai )→0 (i→∞)　
　が満たされるならば、　
　　「任意の自然数iについて、ai ≦ c≦ bi  」を満たす実数cが、ただ一つ存在し、
　　ai→c (i→∞)  , bi→c (i→∞)。
　　[加藤『微分積分学原論』定理2.1(pp.24-25);・赤『実数論講義』§5.5(pp.131-1３2)]
　　

・実数列 a1,a2,a3,…、 実数列 b1,b2,b3,…について、
　　　 a1≦a2≦a3≦…≦an≦…≦bn≦…≦b3≦b2≦b1　　　　
　　　かつ　　　　
　　　( bi − ai )→0 (i→∞)　
　が満たされるならば、　
　　「任意の自然数iについて、ai ≦ c≦ bi  」を満たす実数cが、ただ一つ存在し、
　　ai→c (i→∞)  , bi→c (i→∞)。
　　[黒田『微分積分学』定理2.15;・『岩波数学辞典』156B-4(pp.417-418):]




　
「区間縮小法の原理」−証明


ここで使う定理。[杉浦参照]
・有界単調増加数列の収束定理　
・数列の大小関係の極限操作後の保存　　
・実数の稠密性


[文献:その1その2両方]
　●杉浦『解析入門I』定理3.3(pp.20-21):「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明

[文献:その2だけ]
　・加藤『微分積分学原論』定理2.1区間縮小法の原理(pp.24-25)：「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」;
　・黒田『微分積分学』定理2.15;注意2.12(p.59):「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明
　・赤『実数論講義』§5.5(pp.131-1３2):有界単調増加数列の収束定理⇒区間縮小法
　・高木『解析概論』定理7(pp.10-11): 有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.5(pp.9-11)有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法

[文献B:その1だけ]
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.5(p.75)「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明











　
「区間縮小法の原理」−位置づけ


・　　アルキメデスの公理とあわせると、実数体の連続性公理と同値になる。
　　つまり、アルキメデスの公理と区間縮小法の原理は、実数体の連続性公理と同じ内容で、表現が異なるだけ。
　　だから、アルキメデスの公理と区間縮小法の原理を、「実数体の連続性公理」として実数体の定義に組み入れて
　　　　　「実数体の連続性公理」にされたワイエルストラウスの公理を、ここから導き出された定義として、提示しても、構わないことになる。
　　　　　　


・高木『解析概論』定理7(pp.10-11)岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.5(pp.9-11)は、
　　区間縮小法⇒デデキントの公理を証明できると主張して、
　「区間縮小法の原理」単体で、実数体の連続性公理と同値と述べている。



・「『アルキメデス+区間縮小法』⇒デデキントの公理」を証明している文献　

・「区間縮小法⇒デデキントの公理」を証明したと主張する文献
・「『アルキメデス+区間縮小法』⇒ワイヤストラスの公理」を証明している文献　
・「『アルキメデス+区間縮小法』⇒ボルツァノ・ワイヤストラスの定理」（コンパクト性は？）を証明している文献
・「区間縮小法⇔コー シーの収束条件」
　（だから、『アルキメデス+区間縮小法』⇔『アルキメデス+コー シーの収束条件』）
　を証明している文献

・「『アルキメデス+区間縮小法』⇒中 間値の定理」を証明している文献

・「『アルキメデス+区間縮小法』⇒ハイネ･ボレルの被覆定理」を証明している文献

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