実数体の定義−条件Eにある、
　　命題E-1：空集合以外の、Xのいかなる部分集合にも、
　　　　　　その部分集合が(集合Xのなかで)上に有界ならば、その部分集合の(集合Xでの)上限が存在する
　　　　　　(∀A⊂X)
　　　　　　　　（ A≠φ かつ （∃ b∈X）(∀ a∈A) (a≦b)
　　　　　　　　　　　⇒ (∃b^*∈X) （ (∀ a∈A) (a≦b^* ) かつ (∀b∈X )（ (∀ a∈A) (a≦b) ⇒ (b^*≦b)）））
　　命題E-2：空集合以外の、Xのいかなる部分集合にも、
　　　　　　その部分集合が(集合Xのなかで)下に有界ならば、その部分集合の(集合Xでの)下限が存在する
　　　　　　(∀A⊂X)
　　　　　　　　（A≠φ かつ（∃b∈X）(∀a∈A) (b≦a )
　　　　　　　　　　　⇒ (∃b^*∈X) （ (∀ a∈A) (b^*≦a) かつ (∀b∈X )（ (∀ a∈A) (b≦a ) ⇒b≦b^*）））
は同値となることの証明。　


命題E-1⇒命題E-2の証明
[神谷浦井『経済学のための数学入門』p.64;吹田・新保『理工系の微分積分学』4;杉浦『解析入門I』8.]

Rの下に有界な任意の空でない部分集合は、必ず最大下界(下限)をもつ。
[神谷浦井『経済学のための数学入門』p.64;吹田・新保『理工系の微分積分学』4;杉浦『解析入門I』8.]
（証明）
　　Rの下に有界な任意の空でない部分集合Eを考える。
　　　この想定では、すなわち、
　　　K≦x , for ∀x∈E　　　　　　　　　　　　　　　　…………(1)
　　　となるKが存在することになり、(「下に有界」の定義より)
　　　KはEの「下界の1つ」ということになる。
　　ここから、集合
　　　−E={−x | x∈E}　　　　　　　　　　　　　　 　　…………(2)
　　を考えてみる。
　　Eが下に有界なので、−Eは上に有界となる。
　　　　なぜなら、(1)より、
　　　　　　　−x≦−K, for ∀x∈E
　　　　さらに、(2)より、これは以下のように書き換えられる。
　　　　　　　−x≦−K, for ∀−x∈−E
　　　　これは、−Eが「上に有界」であり、
　　　　　　　　−Kが「上界のひとつ」である、　　　　　…………(3)
　　　　ということに他ならない。（「上に有界」「上界」の定義より）
　　−Eが「上に有界」だとわかったので、
　　実数の連続性公理が適用され、
　　部分集合−Eは、上限sup(−E)を持つことになる。
　　すなわち、任意の−Eの「上界のひとつ」−Kに対して、
　　　　　　　　　　　　 [(3)より−Kが−Eの「上界のひとつ」]
　　　sup (−E)≦−K　　　　　　　　（supの定義より）
　　上式は以下のように書き換えても同じこと。
　　　K≦−sup (−E)　
　　KはEの任意の「下界の1つ」であった。したがって、上式は、
　　Eが−sup (−E)という最大下界(下限)をもつことを示している。
　　　　　　　　　　　　 （最大下界(下限)の定義より）
　　∴ inf(E)=―sup(−E)　は存在する。

→[トピック一覧：実数体・実数]　　
→総目次　　　　

（reference）
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)

解析学テキストのなかで。
小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

数理経済学テキストのなかで。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

→[トピック一覧：実数体・実数]　　
→総目次