実n次元数ベクトル空間Rⁿにおけるノルムとノルム空間の定義　

定義：実n次元数ベクトル空間におけるノルム・ノルム空間 　　

　　[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.121-2);砂田『行列と行列式』§7.1(pp.241-2);松坂『集合・位相入門』§5-B例1(pp.277-8);矢野『距離空間と位相構造』1.1.1例1.3(pp.4-5)]

定義：単位ベクトル　　

定理：単位ベクトル化　　

【本題1】

任意の実n次元数ベクトルv∈Rⁿ　について、
　　vが零ベクトルでないならば、
　　「vのノルムの逆数（スカラーになる）」と、実n次元数ベクトルvとのスカラー積　　　　
　　　　( 1/‖v‖ ) v　　　
　　　は、
　　　ノルム1の実n次元数ベクトルになる。
以上を論理記号でかくと、
　　　∀v∈Rⁿ　（　v≠〇　⇒　‖ ( 1/‖v‖ ) v ‖=１　）　　　

　( 1/‖v‖ ) v をつくることを、vの単位ベクトル化という。　

※どうして、‖ ( 1/‖v‖ ) v ‖=１　といえるのか？
　・ノルムであるための要件1：非負性より、 v≠〇ならば、‖v‖>０　
　　　したがって、 v≠〇ならば、1/‖v‖ >０　　　　　　
　・ 　‖ ( 1/‖v‖ ) v ‖= ( 1/‖v‖ )‖v‖　　∵ノルムであるための要件2：線形性　　　

定義：ノルムから定められる距離　

　[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123);松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277);矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);志賀『固有値問題30講』8講(p.61);]

【舞台設定】
　R：実数体　
　Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
　x,y：実n次元数ベクトル。
　　　具体的に書くと、x₁,x₂,…,x_n∈Rとして、x=( x₁,x₂,…,x_n )∈Rⁿ　　
　　　　　　　　　　　y₁,y₂,…,y_n∈Rとして、y=( y₁,y₂,…,y_n )∈Rⁿ　　
　‖x‖：ノルム空間Rⁿに定義されているノルム　　　

【本題】　

定理：ノルム空間と距離空間　　

[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123);松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277);矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);志賀『固有値問題30講』8講(p.63);]　　　　

・実n次元数ベクトル空間Rⁿにノルムが定義され、ノルム空間（Rⁿ,‖‖）が設定されているならば、　　
　実n次元数ベクトル空間Rⁿの距離dを、「ノルムから定められる距離」によって定義することによって、　
　距離空間（Rⁿ,d）を設定することができる。
　つまり、
　「ノルムから定められる距離」によって、ノルム空間（Rⁿ,‖‖）はいつでも距離空間（Rⁿ,d）と見なせる。

(reference)