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証明：（自然な）内積の線形性　
(舞台設定)
R：実数体R　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　
x₁,x₂,y,x,y₁,y₂：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x₁₁, x₁₂, …, x_1n∈Rとして、x₁=( x₁₁, x₁₂, …, x_1n )∈Ｒⁿ　　
　　　　　　　　　　　x₂₁, x₂₂, …, x_2n∈Rとして、x₂=( x₂₁, x₂₂, …, x_2n )∈Ｒⁿ　　　
　　　　　　　　　　　y₁, y₂, …, y_n∈Rとして、y=( y₁, y₂, …, y_n )∈Ｒⁿ　　
　　　　　　　　　　　x₁, x₂, …, x_n∈Rとして、x=( x₁, x₂, …, x_n )∈Ｒⁿ　　
　　　　　　　　　　　y₁₁, y₁₂, …, y_1n∈Rとして、y=( y₁₁, y₁₂, …, y_1n )∈Ｒⁿ　　
　　　　　　　　　　　y₂₁, y₂₂, …, y_2n∈Rとして、y=( y₂₁, y₂₂, …, y_2n )∈Ｒⁿ　

[性質1：線形性1]
　　任意の実n次元数ベクトルx₁,x₂,y∈Rⁿにたいして、(x₁+x₂)・y＝x₁・y＋x₂・y　
　　任意の実n次元数ベクトルx,y₁,y₂∈Rⁿにたいして、x・( y₁+y₂ ) ＝x・y₁＋x・y₂　
　　　　　　　　　　すなわち、(∀x₁,x₂,y∈Rⁿ) ( (x₁+x₂)・y＝x₁・y＋x₂・y )　
　　　　　　　　　　　　　　　(∀x,y₁,y₂∈Rⁿ) ( x・( y₁+y₂ ) ＝x・y₁＋x・y₂ )　　
　　※なぜ？→証明　
[性質2：線形性2]　
　　任意の実n次元数ベクトルx,y∈Rⁿと任意の実数aにたいして、
　　　　　　　　　　　　　　　　(ax)・y=a (x・y), x・(ay)=a (x・y)　　
　　　　　　　　すなわち、(∀x,y∈Rⁿ) (∀a∈R) ( (ax)・y=a (x・y) , x・(ay)=a (x・y) )　
　　※なぜ？→証明　

[線形性1：証明]　　
任意の実n次元数ベクトルx₁=( x₁₁, x₁₂, …, x_1n ), x₂=( x₂₁, x₂₂, …, x_2n ), y=( y₁, y₂, …, y_n )にたいして、
(x₁+x₂)・y ＝ (( x₁₁, x₁₂, …, x_1n )+( x₂₁, x₂₂, …, x_2n ))・y　　
　　　　　 ＝ ( x₁₁＋x₂₁, x₁₂＋ x₂₂, …, x_1n＋x_2n )・y　∵数ベクトル空間におけるベクトル和の定義　　
　　　　　 ＝ ( x₁₁＋x₂₁, x₁₂＋ x₂₂, …, x_1n＋x_2n )・( y₁, y₂, …, y_n )　
　　　　　 ＝ (x₁₁＋x₂₁)y₁＋(x₁₂＋x₂₂)y₂＋…＋( x_1n＋x_2n ) y_n　∵数ベクトル空間の自然な内積の定義
　　　　　 ＝ x₁₁ y₁＋x₂₁ y₁＋ x₁₂ y₂＋x₂₂ y₂＋…＋ x_1n y_n＋x_2n y_n　　∵実数の分配則　
　　　　　 ＝ ( x₁₁ y₁＋x₁₂ y₂＋…＋ x_1n y_n ) ＋ ( x₂₁ y₁＋x₂₂ y₂＋…＋x_2n y_n )　∵実数の結合則　　　　
　　　　　 ＝ x₁・y＋x₂・y　∵数ベクトル空間における自然な内積の定義　　

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[線形性2：証明]　　
任意の実n次元数ベクトルx=( x₁, x₂, …, x_n ),y=( y₁, y₂, …, y_n )と任意の実数aにたいして、
　(ax)・y= (a( x₁, x₂, …, x_n ))・y=( ax₁, ax₂, …, ax_n )・y　∵数ベクトル空間におけるスカラー積の定義　
　　　　　=( ax₁, ax₂, …, ax_n )・( y₁, y₂, …, y_n )　
　　　　　=ax₁y₁＋ax₂y₂＋…＋ax_ny_n　　　∵数ベクトル空間の自然な内積の定義　　　　
　　　　　= a ( x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ny_n )　　　∵実数の分配則　　　　
　　　　　=a (x・y)　　　　　　　　　　∵数ベクトル空間の自然な内積の定義　
　x・(ay)=x・(a( y₁, y₂, …, y_n ))=x・( ay₁, ay₂, …, ay_n )　　　
　　　　　=( x₁, x₂, …, x_n )・( ay₁, ay₂, …, ay_n )　
　　　　　=x₁ay₁＋x₂ay₂＋…＋x_nay_n　　∵数ベクトル空間の自然な内積の定義　　　　
　　　　　= a ( x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ny_n )　　　∵実数の分配則　　　　
　　　　　=a (x・y)　　　　　　　　　　　∵数ベクトル空間の自然な内積の定義　　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目317バナッハ空間(pp.922-):ノルムとノルム空間の解説が含まれている;項目341ヒルベルト空間B.(pp.1006-7)：内積の定義が含まれている.
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、�Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：ベクトル解析30講』朝倉書店、1988年、第11講(pp.78-80)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.238-9).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。

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