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証明：（自然な）内積の正値性　
(舞台設定)
R：実数体R　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　
x：実n次元数ベクトル。具体的に書くと、x₁, x₂, …, x_n∈Rとして、x=( x₁, x₂, …, x_n )∈Ｒⁿ　　

[性質3：正値性]
任意の実n次元数ベクトルx∈Rⁿにたいして、x・x≧０　であって、　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x・x=０となるのはxが零ベクトルである場合のみに限る。

[証明：正値性]
・任意の実n次元数ベクトルx=( x₁, x₂, …, x_n )にたいして、
　　x・x＝( x₁, x₂, …, x_n )・( x₁, x₂, …, x_n )　　　　
　　　　　＝x₁x₁＋x₂x₂＋…＋x_nx_n　　∵数ベクトル空間における自然な内積の定義　
・i=1,2,…,n　について、　　　　　
　　・x_i=０　ならば、x_ix_i=０　　∵０との積　　
　　・x_i>０　または　x_i<０　ならば、x_ix_i >０　　∵積の正負　　　
・上記２点より、
　　任意の実n次元数ベクトルx=( x₁, x₂, …, x_n )にたいして、x・x≧０　であって、
　　x・x=０となるのは、
　　　　x₁=x₂=…=x_n=０の場合　、すなわち、xが零ベクトルである場合
　　のみに限られる　　　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目317バナッハ空間(pp.922-):ノルムとノルム空間の解説が含まれている;項目341ヒルベルト空間B.(pp.1006-7)：内積の定義が含まれている.
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、�Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：ベクトル解析30講』朝倉書店、1988年、第11講(pp.78-80)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.238-9).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。

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