〜が張る部分ベクトル空間[数学についてのwebノート]

〜が張る部分ベクトル空間 : トピック一覧

・定義:〜を含む最小の部分ベクトル空間〜が張る部分空間両者の一致
※部分ベクトル空間関連ページ:部分ベクトル空間の定義部分ベクトル空間の性質和・直和部分空間の次元   
※ベクトル空間関連ページ:ベクトル空間の定義一次結合線形従属・線形独立基底と次元  
※いろいろなベクトル空間における「〜が張る部分空間」:
       実ベクトル空間で張られた部分空間/実n次元ベクトル空間で張られた部分空間 
※高校で習ったようなベクトルを扱う場合は、実n次元ベクトル空間で張られた部分空間を見よ。  
線形代数目次 
総目次 
 


定義:〜を含む最小の部分ベクトル空間 

[ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間:定理2(p.37);永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.32);]

【舞台設定】

 K: (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
 V:K上のベクトル空間 
 +ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法 
 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:K上のベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法 
 S:Vの部分集合。Vに属すベクトルの集合。(Vの部分ベクトル空間でなくてよい。)  

【本題】

 Sを含む最小の「Vの部分ベクトル空間」とは、
 任意の「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」に含まれる「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」のこと。
つまり、
W0が、Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』である」とは、
 
W0が、以下の3条件を満たすこと。
 条件
1.W0Sであること。
 条件
2.W0が『V部分ベクトル空間』であること。(その必要十分条件)  
 条件
3.任意Wに対して、
     
Wが『V部分ベクトル空間(その必要十分条件) かつ WS WW0 
    が成立すること。 
    すなわち、「
Sを含むV部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系Цで表すと、
         (
WЦ)(W0W)   
【噛み砕いた説明】
Step1. Sを含むV部分ベクトル空間』」として、いろいろなものが考えられるが、そのすべてを考えるとしよう。これら、様々な「Sを含むV部分ベクトル空間』」を、W1,W2,W3,W4,…と名づけることにする。
            つまり、WiV部分ベクトル空間であって、SWi  
Step2. 「W0が、Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』である」とは、
     ・
W0が「Sを含むV部分ベクトル空間』」であって、
            つまり、W0V部分ベクトル空間であって、
                
SW0  
     ・W0W1 , W0W2 , W0W3 , W0W4 ,… を満たす
     ことをいう。   
※例:Sから生成された部分ベクトル空間  
※これはSが張る部分空間と一致する(→理由
Cf. 〜を含む最小のσ加法族 
※いろいろなベクトル空間における「〜を含む最小の部分ベクトル空間」:
  ・実ベクトル空間における「〜を含む最小の部分ベクトル空間」
  ・実n次元ベクトル空間における「〜を含む最小の部分ベクトル空間」 


トピック一覧:部分ベクトル空間
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定義:〜が張る部分空間、〜によって張られる部分空間  

[砂田『行列と行列式』§5.2(p.162);2ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間(p.37);
  松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133); ]]

【舞台設定】
 K: (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
 V:K上のベクトル空間 
 S:Vの部分集合。つまり、Vに属すベクトルの集合。
     (Vの部分空間である必要はない。また、無限個のベクトルがSに属していてもよい。) 

【本題】
Vに属すベクトルの集合Sが張る部分空間とは、あらゆる「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」の共通部分
記号《S》で表す
つまり、「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系Цとおくと、
 《S》≡Ц  
※これは、Sから生成された部分ベクトル空間〈S〉に一致する。 
※これは、Sを含む最小の部分ベクトル空間に一致する。(→理由
※いろいろなベクトル空間における「〜が張る部分ベクトル空間」:
  ・実ベクトル空間における「〜が張る部分ベクトル空間」
  ・実n次元ベクトル空間における「〜が張る最小の部分ベクトル空間」 

定義:有限個のベクトルが張る部分空間、有限個のベクトルに張られた部分空間  

[ホフマン『線形代数学I』2.2部分空間(p.37);]

【舞台設定】
 K: (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
 V:K上のベクトル空間 
 
v1, v2, , vlV上のベクトル。つまり、v1, v2, , vl V   

【本題】

v1, v2, , vlが張る部分空間とは、
あらゆる「
v1, v2, , vlを含む『Vの部分ベクトル空間』」の共通部分。
※これは、v1, v2, , vlのあらゆる一次結合の集合に一致→定理  
いろいろなベクトル空間における「〜が張る部分ベクトル空間」:
  ・
実ベクトル空間における「有限個のベクトルが張る部分ベクトル空間」
  ・
n次元ベクトル空間における「有限個のベクトルが張る最小の部分ベクトル空間」 



トピック一覧:部分ベクトル空間
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定理:「〜を含む最小の部分ベクトル空間」と、「〜が張る部分ベクトル空間」は一致する。

[砂田『行列と行列式』§5.2補題5.23の議論の骨格から(p.163);]
【舞台設定】

 K: (例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)  
 V:K上のベクトル空間 
 +ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法 
 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:K上のベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法 
 S:Vの部分集合。Vに属すベクトルの集合。(Vの部分ベクトル空間でなくてよい。)
 Ц:「Sを含む『Vの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系
 
W0Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』 
《S》:Sが張る『Vの部分ベクトル空間』 

【本題】

Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』W0と、「Sが張る『Vの部分ベクトル空間』」《S》は一致する。
【証明】
W0SかつSW0を示せばよい。
Step1: 
・「
Sを含むV部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系Цとおく。
・「
Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』W0は、「Sを含むV部分ベクトル空間』」である。
         ∵「
Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」の定義 
 したがって、
W0Ц       …(1-1) 
・《
S》の定義より、《S》=Ц   …(1-2) 
集合系の積集合の性質より、任意WЦにたいして、WЦ …(1-3)  
(1-3)(1-2)を代入すると、  
   
任意WЦにたいして、WS》 …(1-4) 
 となる。 
(1-1)(1-4)より、W0S》 
以上によって、
W0S》は示された。   
Step2: 
・「
Sを含むV部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系Цとおく。
・「
Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』W0は、
     (
WЦ )( WW0 )   …(2-1) 
 を満たす。 ∵「
Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』」の定義 
 したがって、
集合系の積集合の性質より、(2-1)のもとで、
     
ЦW0   …(2-2) 
 が成立する。
 《
S》=Ц (∵《S》の定義) を用いて、(2-2)を書きかえると、
 《
SW0 
以上によって、《
SW0 は示された。    

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門:行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。