Rnにおける線形独立/従属と一次結合の関係トピック一覧 〜 数学についてのwebノート

・定理:ベクトルを一次結合として表すことと一次独立/従属
    
互いの基底を成す「ベクトルの有限集合」の性質1互いの基底を成す「ベクトルの有限集合」の性質2:元の数
    
n次元数ベクトルの有限集合の基底の存在  
・定理:一次結合が一次従属であることと、一次結合の個数・一次結合を構成するベクトルの個数との、関連性 1/2                  

n次元数ベクトル空間関連ページ:n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/基底/次元/部分ベクトル空間  
上位概念:一般のベクトル空間における一次独立・一次従属/体上の数ベクトル空間における一次独立・従属 
線形代数目次総目次

定理:実n次元数ベクトルを一次結合として一意的に表わせることと一次独立/従属との関係

舞台
設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2, , vll個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
v1= ( v11, v12, , v1n )  ただし、v11 , v12 , , v1n R 
      
v2= ( v21, v22, , v2n )  ただし、v21 , v22 , , v2n R 
        :             :  
      
vl= ( vl1, vl2, , vln )  ただし、vl1 , vl2 , , vln R  
      したがって、
v1, v2, , vl n
      なお、個数
lが有限個であることに注意。 
a1, a2, , al , al1 スカラーa1, a2, , al , al1 R   

[文献]
佐武『
線形代数学』V§1補題1:証明付(p.87);
佐和『回帰分析2.1.2(i)(p.17)証明付;
矢野田代『社会科学者のための基礎数学』定理6.2(p.44):証明無.

定理

条件1:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl」が一次独立 
かつ   
条件
2:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl , u」が一次従属 
ならば
n次元数ベクトルuは、v1, v2, , vl一次結合として、一意的に、表わせる。
つまり、
条件
1かつ条件2ならば、  
  
u=a1v1a2v2alvl  
  が成り立ち、
かつa1, a2, , al は一意的である。  

定理

対偶

上記定理の対偶は、つぎのとおり。
  | 「
n次元数ベクトルuを、v1, v2, , vl一次結合として、一意的に、表わせないならば
  | 「
n次元数ベクトルv1, v2, , vl」が一次独立ない(=一次従属である)か、 
  | 
または
  | 「
n次元数ベクトルv1, v2, , vl , u」が一次従属ない(=一次独立である)か、
  | のいずれか。
だから、
 「
n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次独立である」ということが既に与えられているケースについては、
   | 「
n次元数ベクトルuを、v1, v2, , vl一次結合として一意的に表わせないならば、 
   | 「
n次元数ベクトルv1, v2, , vl , u」が一次従属ない(=一次独立である)
  といえる。   

活用例

n次元数ベクトルの有限集合の基底の存在の証明

定理

証明

条件の確認
・条件
1:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次独立」  
 
条件1' :「a1v1a2v2alvl= を満たす実数a1, a2, , al の組合せは、a1a2=…=al=0だけであって、
       
a1v1a2v2alv=を満たすが、a1a2=…=al=0は満たさない、a1, a2, , al の組合せは
       
存在しない」  ∵一次独立の定義  
・条件
2:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl , u」が一次従属 
 
条件2' :「a1v1a2v2alvlal1u= を満たすが、a1a2=…=alal1 =0は満たさない  
       
実数a1, a2, , al , al1 が存在する 」  ∵一次従属の定義 
   
step1:条件1かつ条件2ならば
    
a1v1a2v2alvlal1u=かつal1 ≠0を満たすスカラーa1, a2, , al , al1 が存在する、 
   を示す。
条件
2が成り立つならば、条件2'が成り立って、
  
a1v1a2v2alvlal1u= を満たすが、a1a2=…=alal1 =0を満たさない  
  
スカラーa1, a2, , al , al1 が存在する。
ところが、
条件
1が成り立ちかつ条件2が成り立つならば
  
a1v1a2v2alvlal1u= を満たすが、a1a2=…=alal1 =0を満たさない  
  
スカラーa1, a2, , al , al1 は、al1 =0を満たさない。
なぜなら、
 「
a1v1a2v2alvlal1u= を満たすが、a1a2=…=alal1 =0を満たさない  
  
スカラーa1, a2, , al , al1 が、al1 =0を満たす」ということは、
  「
スカラーa1, a2, , al が、a1v1a2v2alvl= を満たすが、a1a2=…=al=0を満たさない」
  ということになるが、
  これは、条件
1が成り立たないということにほかならず、
  「条件
1が成り立ちかつ条件2が成り立つならば」という設定と両立しないからである。
したがって、
条件
1が成り立ちかつ条件2が成り立つならば
    条件
2より、 
    
a1v1a2v2alvlal1u= を満たすが、a1a2=…=alal1 =0を満たさない  
    
スカラーa1, a2, , al , al1 が存在し、
    条件
1より、 
    これらの
スカラーa1, a2, , al , al1 は、al1 ≠0を満たす
ということになる。
以上から、
条件
1が成り立ちかつ条件2が成り立つならば
    
a1v1a2v2alvlal1u= を満たし、
    
a1a2=…=alal1 =0を満たさず、
    
al1 ≠0を満たす  
    
スカラーa1, a2, , al , al1 が存在する
といえる。
スカラーa1, a2, , al , al1 al1 ≠0を満たすならば、いつでも、a1, a2, , al , al1 a1a2=…=alal1 =0を満たさずにすむから、
上記は、次のように省略して表現できる。   、
条件
1が成り立ちかつ条件2が成り立つならば
    
a1v1a2v2alvlal1u= を満たし、かつ、al1 ≠0を満たす
    
スカラーa1, a2, , al , al1 が存在する。
step2
条件
1かつ条件2ならば
    
a1v1a2v2alvlal1u=かつal1 ≠0を満たすスカラーa1, a2, , al , al1 が存在する、 
ので、
条件
1かつ条件2ならば
  
a1v1a2v2alvlal1u= を、
  
al1u=(a1)v1(a2)v2(alvl) へ、
  さらに、
  
u=(a1/al1)v1(a2/al1)v2(al/al1)vl  (∵al1 ≠0)  
  へ変形できる。  
これで、
条件
1かつ条件2ならばuは、v1, v2, , vl一次結合として表わせる    
ことが示された。    
Step3: 一意性   
n次元数ベクトルuを、次の二通りの「v1, v2, , vl一次結合」として表わせるとする。…(仮定3-1)   
  
u=a1v1a2v2alvl  
  
u=a'1v1a'2v2a'lvl 
(仮定3-1)のもとでは、u=a1v1a2v2alvl=a'1v1a'2v2a'lvl であるから、
     
(a1a'1)v1(a2a'2)v2(ala'l)vl=   …(3-2)  
・条件
1:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次独立かつ(仮定3-1)のもとでは、   
   
(3-2)を満たす a1a'1 , a2a'2 , ,ala'l の組合せは、  
    
a1a'1 = a2a'2 = =ala'l =0 だけであるから、
    
a1=a'1 , a2=a'2 , , al=a'l  。
・つまり、
 条件
1:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次独立」が成り立っているならば,
  たとえ、
(仮定3-1)uを二通りの「v1, v2, , vl一次結合」として表わせたとしても、
  その2通りの表現は、実は同じもの。    
・したがって、 
条件
1:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl」が一次独立 
かつ   
条件
2:「n次元数ベクトルv1, v2, , vl , u」が一次従属 
ならば、   
uを表す一次結合a1v1a2v2alvl  は一意的だといえる。  

[トピック一覧:線形独立と一次結合の関係]
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互いの基底をなす「実n次元数ベクトルの2つの有限集合」の性質1

設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2, , vll個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
v1= ( v11, v12, , v1n )  ただし、v11 , v12 , , v1n R 
      
v2= ( v21, v22, , v2n )  ただし、v21 , v22 , , v2n R 
        :             :  
      
vl= ( vl1, vl2, , vln )  ただし、vl1 , vl2 , , vln R  
      したがって、
v1, v2, , vl n
      なお、個数
lが有限個であることに注意。 
u1, u2, , umm個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
u1= ( u11, u12, , u1n )  ただし、u11 , u12 , , u1n R 
      
u2= ( u21, u22, , u2n )  ただし、u21 , u22 , , u2n R 
        :             :  
      
um= ( um1, um2, , umn )  ただし、um1 , um2 , , umnR 
      したがって、
u1, u2, , um n
      なお、個数
mが有限個であることに注意。 

[文献]
佐武
線形代数学』V§1補題2の証明のなか(pp.87-8);

本題

条件1l個のn次元数ベクトル{v1, v2, , vl }一次独立 
かつ   
条件
2u1, u2, , umがそれぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わされる  
かつ    
条件
3m個のn次元数ベクトル{u1, u2, , um}一次独立 
かつ 
条件
4v1, v2, , vlがそれぞれ、u1, u2, , um一次結合として表わされる  
ならば
{v1, v2, , vl } に属す任意のn次元数ベクトルv(i)に対して、
次の
3条件をともに満たす、n次元数ベクトルu(j)を、{u1, u2,, um}から一つ選ぶことができる。
 
1. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}   
  が
一次独立 
   
v(i){v1, v2, , vl } )(u(j){u1, u2, , um} )({v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次独立  
 
2. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}
  
に属すn次元数ベクトルをそれぞれ、
  
u1, u2, , um一次結合として表わせる
 
3. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}
   
に属すn次元数ベクトル一次結合として、
   
u1, u2, , umをそれぞれ、表わせる  

活用例

n次元数ベクトルの2つの有限集合が互いの基底をなすならば、元の数は同一

証明

Step1:
条件1{v1, v2, , vl }一次独立 
かつ   
条件
2u1, u2, , umがそれぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わされる  
かつ    
条件
4v1, v2, , vlがそれぞれ、u1, u2, , um一次結合として表わされる  
ならば
{v1, v2, , vl } に属す任意のn次元数ベクトルv(i)に対して、
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次独立」を満たすu(j)を、{u1, u2,, um}から一つ選ぶことができる
   
v(i){v1, v2, , vl } )(u(j){u1, u2, , um} )({v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次独立  
ということを示す。
・「条件
1{v1, v2, , vl }一次独立」より、
  
v(i)は、{v1, v2, , vl }{v(i) }一次結合として表せない。 ∵一次独立の必要十分条件
 したがって、
{v1, v2, , vl }のなかには、{v1, v2, , vl }{v(i) }一次結合として表せないものが存在する。
  …
(1-1)  
(1-1)と、互いに一次結合として表せる関係の推移性の対偶より、
 次の命題の少なくとも一つは成立しなければならない。  
  命題
1-1{v1, v2, , vl }のなかに、{u1, u2, , um}一次結合として表わされないものがある  
  命題
1-2{u1, u2, , um}のなかに、{v1, v2, , vl }一次結合として表わされないものがある 
  命題
1-3{u1, u2, , um}のなかに、{v1, v2, , vl }{v(i) }一次結合として表わされないものがある 
  命題
1-4{v1, v2, , vl }{v(i) }のなかに、u1, u2, , um一次結合として表わされないものがある    
 ところが、条件
2より、命題1-2は成立せず、条件4より、命題1-1も命題1-4も成立しない。
 したがって、条件
1から引き出された(1-1)、条件2,4のもとでは、命題1-3だけが成立するといえる。
 すなわち、
 条件
1 かつ 条件2 かつ 条件4 ならば
 
{u1, u2, , um}のなかに、{v1, v2, , vl }{v(i) }一次結合として表わされないn次元数ベクトルがある。
 この
n次元数ベクトルを、u(j)とおく。   
  …
(1-2)     
(1-2)で存在が示されたu(j)を、{v1, v2, , vl }{v(i) }に加え、{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}をつくる。
 
一次独立な数ベクトルの集合の部分集合も一次独立だから、
 条件
1より、{v1, v2, , vl }{v(i) }一次独立。…(1-3) 
 
一次独立な数ベクトルの集合に、それらの一次結合として表せない数ベクトルを加えても、一次独立だから、
 
(1-2)(1-3)より、
 
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次独立となる。  
・以上から、  
 条件
1 かつ 条件2 かつ 条件4 ならば
   
v(i){v1, v2, , vl } )(u(j){u1, u2, , um} )({v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次独立
 が示された。   
Step2:
条件1{v1, v2, , vl }一次独立 
かつ   
条件
2u1, u2, , umがそれぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わされる  
かつ    
条件
4v1, v2, , vlがそれぞれ、u1, u2, , um一次結合として表わされる  
ならば
(1-2)で存在が示されたu(j)について、
  命題
2-1 {v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}に属すn次元数ベクトルをそれぞれ、 
       
v1, v2, , vl 一次結合として表わせる
  命題
2-2 {v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}に属すn次元数ベクトル一次結合として、 
       
v1, v2, , vl をそれぞれ表わせる
が成立することを示す。
v1, v2, , vl は、それぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わせる。…(2-1-1)
 実際、 
  
v11v1v2…………vl  
  
v2=0v11v2v3vl  
  :   :        :  
  
vl=0v1………vl11vl  
・条件
2より、{u1, u2, , um}から取り出したu(j)[(1-2)]v1, v2, , vl 一次結合として表わせる。…(2-1-2) 
(2-1-1)(2-1-2)から、命題2-1は、与えられた条件のもとで成立することが示された。
v1, v2, , vl のうちv(i) 以外は、それぞれ、(2-1-1)同様の方法で、
      
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次結合として表わせる。…(2-2-1) 
・条件
2より、{u1, u2, , um}から取り出したu(j)[(1-2)]v1, v2, , vl 一次結合として表わせる。
  すなわち、
u(j)a1v1a2v2a(i)v(i)alvl    …(2-2-2)  
   
u(j)は、{v1, v2, , vl }{v(i) }一次結合として表わされないように選ばれたのだった。 [(1-2)] 
 したがって、
(2-2-2)において、v(i) の係数a(i)≠0  
 よって、
(2-2-2)を次のように変形してよい。  
   
v(i)=−(a1/a(i))v1(a2/a(i))v2(a(i)-1/a(i))v(i)-1(a(i)+1/a(i))v(i)+1(al/a(i))vl( 1/a(i))u(j)   
 これは、  
 
v(i) も、{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次結合として表わせるということを示している。…(2-2-3)      

(2-2-1)(2-2-3)から、命題2-2は、与えられた条件のもとで成立することが示された。
Step3:
条件1{v1, v2, , vl }一次独立 
かつ   
条件
2u1, u2, , umがそれぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わされる  
かつ    
条件
4v1, v2, , vlがそれぞれ、u1, u2, , um一次結合として表わされる  
ならば
(1-2)で存在が示されたu(j)について、
step2でみたように、
  命題
2-1 {v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}に属すn次元数ベクトルをそれぞれ、 
       
v1, v2, , vl 一次結合として表わせる
  命題
2-2 {v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}に属すn次元数ベクトル一次結合として、 
       
v1, v2, , vl をそれぞれ表わせる
が成立するので、
条件
2・条件4・命題2-1・命題2-2を与件として互いに一次結合として表せる関係の推移性を適用すれば、
与えられた条件のもとで、
 
2. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}
  
に属すn次元数ベクトルをそれぞれ、
  
u1, u2, , um一次結合として表わせる
 
3. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}
   
に属すn次元数ベクトル一次結合として、
   
u1, u2, , umをそれぞれ、表わせる  
といえる。
Step4:
以上から、

条件1{v1, v2, , vl }一次独立 
かつ   
条件
2u1, u2, , umがそれぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わされる  
かつ    
条件
4v1, v2, , vlがそれぞれ、u1, u2, , um一次結合として表わされる  
ならば
(1-2){u1, u2,, um}から選ばれたu(j)について、
 
1. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}   
  が
一次独立 
   
v(i){v1, v2, , vl } )(u(j){u1, u2, , um} )({v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}一次独立  
 
2. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}
  
に属すn次元数ベクトルをそれぞれ、
  
u1, u2, , um一次結合として表わせる
 
3. {v1, v2, , vl }からv(i)を排除して、u(j)を付け加えたn次元数ベクトルの集合
       
{v1, v2, , vl }{v(i) }{u(j)}
   
に属すn次元数ベクトル一次結合として、
   
u1, u2, , umをそれぞれ、表わせる  
が満たされることが示された。

[トピック一覧:線形独立と一次結合の関係]
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互いの基底をなす「実n次元数ベクトルの2つの有限集合」の性質2:元の数は同一。

設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2, , vll個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
v1= ( v11, v12, , v1n )  ただし、v11 , v12 , , v1n R 
      
v2= ( v21, v22, , v2n )  ただし、v21 , v22 , , v2n R 
        :             :  
      
vl= ( vl1, vl2, , vln )  ただし、vl1 , vl2 , , vln R  
      したがって、
v1, v2, , vl n
      なお、個数
lが有限個であることに注意。 
u1, u2, , umm個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
u1= ( u11, u12, , u1n )  ただし、u11 , u12 , , u1n R 
      
u2= ( u21, u22, , u2n )  ただし、u21 , u22 , , u2n R 
        :             :  
      
um= ( um1, um2, , umn )  ただし、um1 , um2 , , umnR 
      したがって、
u1, u2, , um n
      なお、個数
mが有限個であることに注意。 

[文献]
佐武
線形代数学』V§1補題2(pp.87-8);

本題

条件1l個のn次元数ベクトルv1, v2, , vl」が一次独立 
かつ   
条件
2u1, u2, , umがそれぞれ、v1, v2, , vl 一次結合として表わされる  
かつ    
条件
3m個のn次元数ベクトルu1, u2, , um」が一次独立 
かつ 
条件
4v1, v2, , vlがそれぞれ、u1, u2, , um一次結合として表わされる  
ならば
l=m

活用例

n次元数ベクトルの有限集合の基底の存在の証明

証明

活用される性質:互いに一次結合として表せる関係の推移性互いの基底をなす「実n次元数ベクトルの2つの有限集合」の性質1 

[トピック一覧:線形独立と一次結合の関係]
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定理:実n次元数ベクトルの有限集合の基底の存在

設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
Rnn次元数ベクトル空間 
v1, v2, , vll個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
v1= ( v11, v12, , v1n )  ただし、v11 , v12 , , v1n R 
      
v2= ( v21, v22, , v2n )  ただし、v21 , v22 , , v2n R 
        :             :  
      
vl= ( vl1, vl2, , vln )  ただし、vl1 , vl2 , , vln R  
      したがって、
v1, v2, , vl n
      なお、個数
lが有限個であることに注意。 

[文献]
佐武『
線形代数学』V§1定理1(pp.89-90);

1.

任意のn次元数ベクトルの有限集合」{v1, v2, , vl }には、
 
v1=v2==vl = でないならば、
 次の
2条件を満たす部分集合S={vn(1), vn(2), , vn(m) }が存在する。 
 条件
1S属すm個のn次元数ベクトルvn(1), vn(2), , vn(m)一次独立 
 条件
2S属すm個のn次元数ベクトルvn(1), vn(2), , vn(m) 一次結合として、 
      
l個のn次元数ベクトルv1, v2, , vlの全てをそれぞれ、表わせる。
※これは、
任意のn次元数ベクトルの有限集合」には、その有限集合に限定した基底が存在するという主張にほかならない。    

2.

n次元数ベクトルの集合」{v1, v2, , vl }に対して、上記の条件を満たす部分集合Sは複数存在し得る。
これらの
部分集合S属すn次元数ベクトルの個数mは、
{v1, v2, , vl }に対して一意的に定まる。   

1
証明

次の手順で、{v1, v2, , vl }から、その部分集合Sを選ぶ。
[手順]
Step1:
case1:
  v1=v2==vl = ならば、S=φm=0 とする。(終わり)
case2:
  v1=v2==vl = でないならば、
 
{v1, v2, , vl }のなかで最初の非零ベクトルを、vn(1) とする。
  つまり、
   
v1が非零ベクトルのとき、vn(1)v1 
   
v1 = かつv2が非零ベクトルのとき、vn(1)v2 
   
v1 =v2 = かつv3が非零ベクトルのとき、vn(1)v3 
    :
   
v1 =v2 ==vl1= かつvlが非零ベクトルのとき、vn(1)vl 
  だから、
vn(1) は 
   
{v1, v2, , vl }の先頭に来て{vn(1), v2, , vl }となるか、
   
{ , , , vn(1), , vl }と言った具合に、並びの直後に来るか      
   いずれかである。        
 
{vn(1) }一次独立となる。()      
 →
Step2 

[文献]
佐武『
線形代数学』V§1極大集合の作り方(pp.87-88);

 

Step2:
case0:
 vn(1)=vlであって、{v1, v2, , vl }にはvn(1)以降にもはやn次元数ベクトルが存在しないならば、S={vn(1) }m=1 とする。(終わり)
case1:
 {v1, v2, , vl }で、vn(1)以降に位置するすべてのn次元数ベクトルが、それぞれ、vn(1)スカラー倍として表せる(従ってvn(1)一次結合として表せる)ならば、S={vn(1) }m=1 とする。(終わり)
case2:
 {v1, v2, , vl }で、vn(1)以降に位置するn次元数ベクトルのなかに、vn(1)スカラー倍として表せない(従ってvn(1)一次結合として表せない)ものがあれば、その最初のものを、vn(2) とする。
 
{ vn(1) , vn(2) }一次独立となる。(→対偶)      
 →
Step3 
Step3:
case0:
 vn(2)=vlであって、{v1, v2, , vl }にはvn(2)以降に、もはやn次元数ベクトルが存在しないならば、S={vn(1) , vn(2) }m=2 とする。(終わり)
case1:
 {v1, v2, , vl }で、vn(2)以降に位置するすべてのn次元数ベクトルが、それぞれ、vn(1) , vn(2) 一次結合として表せるならば、S={vn(1) , vn(2) }m=2 とする。(終わり)
case2:
 {v1, v2, , vl }で、vn(2)以降に位置するn次元数ベクトルのなかに、vn(1) , vn(2) 一次結合として表せないものがあれば、その最初のものを、vn(3) とする。
 
{ vn(1) , vn(2) , vn(3) }一次独立となる。(→対偶)  
 →
Step4 


Step-k :
case0:
 vn(k-1)=vlであって、{v1, v2, , vl }にはvn(k-1)以降に、もはやn次元数ベクトルが存在しないならば、S={vn(1) , vn(2) , vn(3) ,,vn(k-1) }m=k-1  とする。(終わり)
case1:
 {v1, v2, , vl }で、vn(k-1)以降に位置するすべてのn次元数ベクトルが、それぞれ、vn(1) , vn(2), vn(3) ,,vn(k-1) 一次結合として表せるならば、S={vn(1) , vn(2) , vn(3) ,,vn(k-1) }m=k-1 とする。(終わり)
case2:
 {v1, v2, , vl }で、vn(k-1)以降に位置するn次元数ベクトルのなかに、vn(1) , vn(2) , vn(3) ,,vn(k-1)一次結合として表せないものがあれば、その最初のものを、vn(k) とする。
 
{vn(1) , vn(2) , vn(3) ,,vn(k-1) }一次独立となる。(→対偶)   
 →
Step-(k+1)



[論点1]
Sが条件1S属すm個のn次元数ベクトルvn(1), vn(2), , vn(m)一次独立」を満たすことは、上記手順のなかの説明によって明らか。
[論点2]
{v1, v2, , vl }のなかでSに選ばれなかったn次元数ベクトルは、すべて、それぞれ、S={vn(1), vn(2), , vn(m) }一次結合として表せる。この点は、上記手順から、明らか。 
[論点3]
S
属すm個のn次元数ベクトルvn(1), vn(2), , vn(m)の各々は、すべて、S={vn(1), vn(2), , vn(m) }一次結合として表せる。実際、
      
vn(1)1vn(1)vn(2)   vn(m)  
      
vn(2)=0vn(1)1vn(2)vn(3)vn(m)   
       :
      
vn(m)=0vn(1)      vn(m-1)1vn(m)   
[論点4]
論点3,4より、
S
    条件
2S属すm個のn次元数ベクトルvn(1), vn(2), , vn(m) 一次結合として、 
         
l個のn次元数ベクトルv1, v2, , vlの全てをそれぞれ、表わせる」
を満たすといえる。  

2
証明

互いの基底をなす「実n次元数ベクトルの2つの有限集合」の性質2:元の数は同一を使う。

[トピック一覧:線形独立と一次結合の関係]
線形代数目次総目次

一次結合が一次従属となるための十分条件(1):一次結合の個数・一次結合を構成するベクトルの個数と、一次従属

設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
Rnn次元数ベクトル空間 
+n次元数ベクトル空間Rnに定められたベクトルの加法 
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
    
n次元数ベクトル空間Rnに定められたスカラー乗法 
v1, v2, , vll個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
v1= ( v11, v12, , v1n )  ただし、v11 , v12 , , v1n R 
      
v2= ( v21, v22, , v2n )  ただし、v21 , v22 , , v2n R 
        :             :  
      
vl= ( vl1, vl2, , vln )  ただし、vl1 , vl2 , , vln R  
      したがって、
v1, v2, , vl n
      なお、個数
lが有限個であることに注意。
a1, a2, , al スカラーa1, a2, , al R   

[文献]
永田『
理系のための線形代数の基礎』補題1.2.1(p.12);

本題1

n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次結合(l+1)個つくる。
これら
(l+1)個の「v1, v2, , vl一次結合」は一次従属
つまり、

 w1a11v1+a12v2++a1lvl  (a11, a12, , a1l Rv1, v2, , vl n ) 
 
w2a21v1+a22v2++a2lvl  (a21, a22, , a2l Rv1, v2, , vl n ) 
 :  
 
wlal1v1+al2v2++allvl  (al1, al2, , all Rv1, v2, , vl n ) 
 
w(l+1)a(l+1)1 v1+a(l+1)2v2++a(l+1)lvl  (a(l+1)1, a(l+1)2, , a(l+1)l Rv1, v2, , vl n ) 

一次従属。  

v1, v2, , vl一次結合」もn次元数ベクトルであることに注意。

なぜ?→証明 

[トピック一覧:線形独立と一次結合の関係]
線形代数目次総目次

 

一次結合が一次従属となるための十分条件(2)一次結合の個数・一次結合を構成するベクトルの個数と、一次従属

設定

R実数体(実数をすべて集めた集合)  
Rnn次元数ベクトル空間 
+n次元数ベクトル空間Rnに定められたベクトルの加法 
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:
    
n次元数ベクトル空間Rnに定められたスカラー乗法 
v1, v2, , vll個のn次元数ベクトル
      具体的に書くと、
      
v1= ( v11, v12, , v1n )  ただし、v11 , v12 , , v1n R 
      
v2= ( v21, v22, , v2n )  ただし、v21 , v22 , , v2n R 
        :             :  
      
vl= ( vl1, vl2, , vln )  ただし、vl1 , vl2 , , vln R  
      したがって、
v1, v2, , vl n
      なお、個数
lが有限個であることに注意。
a1, a2, , al スカラーa1, a2, , al R   

[文献]
永田『
理系のための線形代数の基礎』補題1.2.1(p.12);
佐武『線形代数学』V§1定理11(p.90);

命題1

n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次結合m個つくる。
m>l ならばm個の「v1, v2, , vl一次結合」は一次従属
つまり、

 w1a11v1+a12v2++a1lvl  (a11, a12, , a1l Rv1, v2, , vl n ) 
 
w2a21v1+a22v2++a2lvl  (a21, a22, , a2l Rv1, v2, , vl n ) 
 :  
 
wmam1v1+am2v2++amlvl  (am1, am2, , aml Rv1, v2, , vl n ) 

であって、
m>l ならばw1, w2, , wm一次従属。 

命題2

上記命題の対偶
n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次結合m個つくる。
m個の「v1, v2, , vl一次結合」が一次独立ならばml
つまり、

 w1a11v1+a12v2++a1lvl  (a11, a12, , a1l Rv1, v2, , vl n ) 
 
w2a21v1+a22v2++a2lvl  (a21, a22, , a2l Rv1, v2, , vl n ) 
 :  
 
wmam1v1+am2v2++amlvl  (am1, am2, , aml Rv1, v2, , vl n ) 

であって、
w1, w2, , wm一次独立ならばml。 

図解

命題1と命題2を図解すると、次のようになる。
 
  
Pの内側:「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wml個より多い(m>l )  
  Pの外側:「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wml個以下(ml) 
  
Qの内側:「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wm一次従属 
  
Qの外側:「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wm一次独立 
つまり、命題
1・命題2が言わんとしていることは、
v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wmは、
個数
m一次独立/一次従属に関して、
次の三つのケースのいずれかに分けられるということ。
 
[case1: 上図のPの内側]
  「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wmの個数ml個より多く(m>l )、なおかつ一次従属 
 
[case2: 上図のPQのあいだ]
  「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wmの個数ml個以下、なおかつ一次従属 
 
[case3: 上図のQの外側]
  「v1, v2, , vl一次結合w1, w2, , wmの個数ml個以下、なおかつ一次独立 
この
3ケースにわかれるので、
m>l ならばcase1のみに該当して、w1, w2, , wm一次従属(命題1)
w1, w2, , wm一次独立ならばcase3のみに該当して、ml (命題2) 
とだけ断言できて、
ml のときには、一次独立/一次従属に関してなんともいえず、
一次従属のときも、個数についてなんともいえない、
ということになる。  

命題3

 [佐武『線形代数学』V§1定理11(p.90);]  
n次元数ベクトルv1, v2, , vl一次結合」をl個つくる。
l個の「v1, v2, , vl一次結合」が一次独立ならば
v1, v2, , vl一次独立であり、
v1, v2, , vlはそれぞれ、l個の「v1, v2, , vl一次結合」の一次結合として表せる。
つまり、

 w1a11v1+a12v2++a1lvl  (a11, a12, , a1l Rv1, v2, , vl n ) 
 
w2a21v1+a22v2++a2lvl  (a21, a22, , a2l Rv1, v2, , vl n ) 
 :  
 
wlal1v1+al2v2++allvl  (al1, al2, , all Rv1, v2, , vl n ) 

であって、
w1, w2, , wl一次独立ならば、 
v1, v2, , vl一次独立であり、 
 
v1b11w1+b12w2++b1lwl  (b11, b12, , b1l Rw1, w2, , wl n ) 
 
v2b21w1+b22w2++b2lwl  (b21, b22, , b2l Rw1, w2, , wl n ) 
 :  
 
vlbl1w1+bl2w2++bllwl  (bl1, bl2, , bll Rw1, w2, , wl n ) 

と表せる。  

命題1

証明

w1, w2, , wl, w(l+1)一次従属。()  
w1, w2, , wl, w(l+1)一次従属であって、m>l ならば
  
w1, w2, , wl, w(l+1),w(l+2), , wm一次従属。 ()  

[文献]
永田『
理系のための線形代数の基礎』補題1.2.1(p.12);

命題2
命題3

証明

n次元数ベクトルの有限集合の基底の存在を、
{ w1, w2, , wm } {v1, v2, , vl } に適用する。

[文献]
佐武『線形代数学』V§1定理11(p.90);

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(reference)
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