Rnの部分空間における一次独立：トピック一覧　　～　　数学についてのwebノート

　　・Rnの部分ベクトル空間において一次独立/従属なベクトルは、Rnにおいても一次独立/従属、
　　・Rnの部分ベクトル空間における一次独立なベクトルの最大個数の定義　
　　・Rnの部分ベクトル空間における一次独立なベクトルの最大個数の性質　

※実n次元数ベクトル空間関連ページ：実n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/次元　　　
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定理：Rnの部分ベクトル空間において一次独立/従属なベクトルは、Rnにおいても一次独立/従属　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法　
v1, v2, …, vl：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln )　∈Ｒn　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Ｒn　。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、個数lが、Ｒnのnと等しくなくてもよいことに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　
W： 　Rnの部分ベクトル空間。
　　　すなわち、Wは以下を満たす。　
　　　1. W⊂Rn　かつ　W≠φ　　　　　
　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　
　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　
　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、
　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　

命題

1.
　Rnの部分ベクトル空間Wにおいて線形独立な実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlは、
　Rnにおいても線型独立。　　
2.
　Rnの部分ベクトル空間Wにおいて線型従属な実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlは、
　Rnにおいても線型従属。　　

[文献]
なし
（あたりまえすぎて、
　載っていない？）

説明

(1) Rnの部分ベクトル空間Wは、
　　実n次元数ベクトルについては、Rnから全てを継承しているわけではないが、
　　ベクトルの加法、スカラー乗法という演算については、Rnからそのまま引き継ぎ、
　　また、Rnから引き継いだ実n次元数ベクトル間のこれらの演算の結果得られる実n次元数ベクトルも、
　　　　　すべて、Rnから引き継いでいる。…(1-1)
　　最後に、Rnの部分ベクトル空間Wは、Rnの係数体Rを全要素そのまま引き継いでおり、
　　Wの係数体もRである。（だから、Rnの部分ベクトル空間Wは実ベクトル空間である。）…(1-2)
(2) Wに属すl個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが線型独立であるとは、
　「このl個の実n次元数ベクトルv1 , v2 , …, vlにたいして、
　　　　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０　
　　を満たすl個の実数a1, a2, …, al の組合せは、
　　a1＝a2＝…＝al＝０だけであって、
　　a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せは存在しない」と定義される。
　　まず、この定義のなかの、「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」という式の構成要素をみると、
　　・v1, v2, …, vl　は、Rnの実n次元数ベクトルから抜き出してWにもってきたもの、
　　・ベクトルの加法、スカラー乗法という演算は、Rnからそのまま引き継ぎWにもってきたもの(∵1-1)、
　　・０は、Rnから引き継いだ実n次元数ベクトル間のこれらの演算の結果得られる実n次元数ベクトルとして、
　　　Rnの実n次元数ベクトルから抜き出してWにもってきたもの
　　となっている。　
　　したがって、
　　・Wに属す実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlは、そのままRnの実n次元数ベクトルとみなしてよい。…(2-0)
　　・Wに属す実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、Wにおいて考えられた
　　　　　「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」　　
　　　という等式は、
　　　そのまま、Rnの実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、Rnにおいて考えられた　
　　　　　「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」　　
　　　という等式とみなしてよい。…(2-1)　
　　次に、(1-2)より、Wは、Rnの係数体Rを全要素そのまま引き継いでいるから、
　　Wにおいて「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」を満たす実数a1, a2, …, al の組合せは、
　　Rnの係数体Rのなかにも、そのまま存在し、
　　「　『a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０』を満たす実数a1, a2, …, al の組合せを
　　　　Wにおいて考えると存在するが、
　　　　Rnにおいて考えると存在しない」ということは、ない。…(2-2)　　
　　反対に、　
　　「　『a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０』を満たす実数a1, a2, …, al の組合せを
　　　　Wにおいて考えると存在しないが、
　　　　Rnにおいて考えると存在する」ということも、ない。…(2-3)　
　　　　これは、(2-0)(2-1)と、(1-2)より、Wは、Rnの係数体Rを全要素そのまま引き継いでいることから、
　　　　Rnにおいて考えられた、『a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０』を満たす実数a1, a2, …, al の組合せは、
　　　　Wの枠内でも、すべて考え尽くされているとわかることによる。　　　　
　　したがって、　
　　Wに属す実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、Wにおいて「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」を満たす実数a1, a2, …, al の組合せは、(2-1)(2-2)より、
　　　Rnの実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、Rnにおいて考えられた「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」を満たす実数a1, a2, …, al の組合せとみなしてよい。
　　Wに属す実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、Wにおいて「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」を満たす実数a1, a2, …, al の組合せがa1＝a2＝…＝al＝０だけであって、a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せは存在しないというならば、
　　(2-3)より、　　
　　　Rnの実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlについて、Rnにおいて考えられた「a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０」を満たす実数a1, a2, …, al の組合せもa1＝a2＝…＝al＝０だけであって、a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せは存在しない
　すなわち、　　
　Wに属すl個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが線型独立であるならば、
　v1, v2, …, vlをRnの実n次元数ベクトルとみなしたときにも、Rnにおいて線型独立である。　
(3) Wに属すl個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが線型従属であるとは、
　「このl個の実n次元数ベクトルv1 , v2 , …, vlにたいして、
　　　　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl=０　
　　を満たすl個の実数a1, a2, …, al の組合せは、
　　a1＝a2＝…＝al＝０に加えて、
　　a1＝a2＝…＝al＝０以外の組合せも存在する」と定義される。

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セブンアンドワイ

定義：Rnの部分ベクトル空間における一次独立なベクトルの最大個数　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法　
v1, v2, …, vr：r個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　vr1, vr2, …, vrn∈Rとして、vr=( vr1, vr2, …, vrn )　∈Ｒn　
W： 　Rnの部分ベクトル空間。
　　　すなわち、Wは以下を満たす。　
　　　1. W⊂Rn　かつ　W≠φ　　　　　
　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　
　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　
　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、
　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　

定義

「Rnの部分ベクトル空間Wにおける線形独立な実n次元数ベクトルの最大個数はrである」とは、　
　r個の線形独立な「Wに属す実n次元数ベクトル」は存在するが、
　(r+1)個以上の線形独立な「Wに属す実n次元数ベクトル」は存在せず、
　(r+1)個以上の「Wに属す実n次元数ベクトル」は、どれも、線型従属となる　　
ことをいう。　


[文献]

佐武
『線形代数学』Ⅲ§2(p.94)

柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2(p.6);

詳細

「Wに属す実n次元数ベクトル」をr個集めた集合は、Wからどのr個を選ぶかに応じて多様である。
また、「Wに属す実n次元数ベクトル」を(r+1)個集めた集合も、Wからどの(r+1)個を選ぶかに応じて多様である。
Wからr個の実n次元数ベクトルを取るあらゆる選びかたを試してみると、
　少なくとも一通りは、
　　線形独立な「Wに属す実n次元数ベクトル」をr個集めた集合を
　　つくることができるが、
Wから(r+1)個の実n次元数ベクトルを取るあらゆる選びかたを試してみても、
　　線形独立な「Wに属す実n次元数ベクトル」を(r+1)個集めた集合を
　　つくることは決してできず、
　　「Wに属す実n次元数ベクトル」を(r+1)個集めた集合はどれも
　　線型従属になってしまう　　
　　　　┌　このとき、
　　　　│　(r+1)個以上の実n次元数ベクトルをWからどのように選んでも、
　　　　│　そのなかに、
　　　　│　線型従属な(r+1)個の実n次元数ベクトルが含まれてしまうから、
　　　　│　定理より、Wから実n次元数ベクトルを(r+1)個集めた集合はどれも
　　　　└　線型従属となる　　
という事態を、
「Rnの部分ベクトル空間Wにおける線形独立な実n次元数ベクトルの最大個数はrである」という。　

※

「Rnの部分ベクトル空間Wにおける線形独立な実n次元数ベクトルの最大個数」は、
「Rnの部分ベクトル空間Wの次元」に等しくなる。
ここから、佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.94);柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.2(p.6)は、
「Rnの部分ベクトル空間Wにおける線形独立な実n次元数ベクトルの最大個数」を、
「Rnの部分ベクトル空間Wの次元」の定義としている。

。

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定理：Rnの部分ベクトル空間における一次独立なベクトルの最大個数　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法　
v1, v2, …, vl：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n )　∈Ｒn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln )　∈Ｒn　
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、個数lが、Ｒnのnと等しくなくてもよいことに注意。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　
W： 　Rnの部分ベクトル空間。
　　　すなわち、Wは以下を満たす。　
　　　1. W⊂Rn　かつ　W≠φ　　　　　
　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　
　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　
　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法に関して、
　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　

命題

実n次元数ベクトル空間Rnの部分ベクトル空間Wにおける
線形独立なベクトルの最大個数rは、
　　０≦r≦n　
を満たす。　　

[文献]
佐武
『線形代数学』Ⅲ§2(p.94)
柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.2(p.7);

証明

Rnの部分ベクトル空間Wにおけるl個の実n次元数ベクトル
　　　　v1, v2, …, vl　
が線型独立ならば、
v1, v2, …, vlは、Rnにおいて線型独立である。（∵）　　
v1, v2, …, vlが、Rnにおいて線型独立ならば、
数ベクトルの個数と一次独立･従属の関係より、
　l≦n　。
したがって、　
Rnの部分ベクトル空間Wにおける線形独立なベクトルの最大個数は、
nを超えない。　　

※関連

Rnの部分ベクトル空間の基底と線型独立なベクトルの最大個数

。

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、15講基底と次元(pp.94-99):有限次元ベクトル空間のみ扱っている。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-b(p.173).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
柳井晴夫・竹内啓『UP応用数学選書10:射影行列･一般逆行列･特異値分解』 東京大学出版会、1983年、§1.2(p.6)。
木村英紀『線形代数：数理科学の基礎』東京大学出版会、2003年、3.1一次独立(p.51)。

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、I章§4(pp.33-4)

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、2.4基底と次元(pp.36-41)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§1ベクトル(pp.26-)。


数理統計学のテキスト
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。

　

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